9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习54:整数解


装 订 线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛(54) 整数解 一、内容提要 1. 求方程或不等式的整数解,就是求适合等式或不等式的未知数的整数值,包括判断无整数解. 求整数解常用的性质、法则: ①.数的运.算性质: 整数+整数=整数, 整数-整数=整数, 整数×整数=整数, 整数的自然数次幂=整数, 整数÷(这个整数的约数)=整数. ②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当 b2-4ac 是完全平方数时,才有整数根. 有时用韦 达定理 x1+x2 与 x1x1 都是整数, 来确定整数解, 但必须检验 (因为它们只是整数解必要条件) . ③.运用二元一次方程求整数解(见第 10 讲). ④.用列举法. 3. 判定方程或不等式没有整数解,常用反证法.即设有整数解之后,把整数按某一模 m 分类,逐 一推出矛盾. 2. 1 二、例题 例 1.求下列方程的正整数解: ① xy+x+y=5; ② x2+y2=1991. 解:①先写成关于 x 的方程, (y+1)x=5-y. x= 5 ? y ? y ?1? 6 6 . ? ? ?1 ? y ?1 y ?1 y ?1 当 y+1 取 6 的约数±1,±2,±3,±6 时,x 的值是整数. ∵-1+ 6 >0, 且 x>0, y>0, y ?1 ∴ y=1 或 y=2. ∴ 1<y+1<6 . ∴原方程有正整数解 ? ① ?x ? 2 ?x ? 1 ; 或? . ?y ? 1 ?y ? 2 又解:把左边写成积的形式: x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6. ∵6=1×6=2×3, 而正整数 y+1>1, x+1>1. ∴? ?x ? 1 ? 3 ?x ? 1 ? 2 或? ?y ?1 ? 2 ?y ?1 ? 3 ?x ? 1 ?x ? 2 ;或 ? . ?y ? 2 ?y ? 1 解得 ? ②要等式成立,x, y 必须是一奇一偶,设 x=2a, y=2b-1 (a,b 都是正整数). 左边 x2+y2=(2a)2+(2b-1)2=4(a2+a+b2-b)+1. ∴a, b 不论取什么整数值,左边的数都是除以 4 余 1,而右边 1991 是除以 4 余 3. ∴等式永远不能成立. ∴原方程没有正整数解. 例 2. 一个正整数加上 38 或 129 都是完全平方数,求这个正整数. 若把正整数改为整数呢? 解:设这个正整数为 x,根据题意,得 2 ? ? x ? 38 ? a (1) (a,b 都是正整数). ? ? ? b 2 (2) ?x ? 1 2 9 (2)-(1):b2-a2=91 . (b+a)(b-a)=91, ∵91=1×91=7×13 且 b+a>b-a. ∴? ?b ? a ? 91 ?b ? a ? 1 或? ?b ? a ? 13 ?b ? a ? 7 解得, ? ?a ? 45 ?a ? 3 ; 或? . ?b ? 46 ?b ? 10 2 由方程(1)知 a> 38 , ∴只有 ? 由方程(2)知 b> 129 . ?a ? 45 适合. ?b ? 46 ∴ x=a2-38=1987. 答(略). 如果改为整数 ,则两组的解都适合. 另一个解是:x=a2-38=9-38=-29. 例 3. 一个自然数与 3 的和是 5 的倍数,与 3 的差是 6 的倍数,则这个自然数的最小值 是多少? 解法一:用列举法 与 3 的和是 5 的倍数的自然数有:2,7,12,17,22,27,… 与 3 的差是 6 的

赞助商链接

更多相关文章:
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习30:概念的分类
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习30:概念的分类_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初中数学竞赛练习(30) 概念的分类 一、内容提要...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲 练习59:或者与并且
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲 练习59:或者与并且_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(59) “或者”与“并且”...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习37:不等关系
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习37:不等关系_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(37) 不等关系 一、内容提要...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习46:完全平方数...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习46:完全平方数和完全平方式_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛精品标准教程及练习为...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习55:未知数比方...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习55:未知数比方程个数多的方程组解法_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(55) ...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习43:面积法
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习43:面积法_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛(43) 面积法 一、内容提要 因为面积...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲 练习21:比较大小
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲 练习21:比较大小_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛(21) 比较大小 一、内容提要 ...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习38:平行和垂直
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习38:平行和垂直_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(38) 平行和垂直 一、内容...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习51:待定系数法
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习51:待定系数法_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(51) 待定系数法 一、内容...
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习49:对称式
初中数学竞赛培优讲义 含答案 共70讲练习49:对称式_学科竞赛_初中教育_教育专区。装订线 初中数学竞赛培优讲义 初 中数学竞赛练习(49) 对称式 一、内容提要 一....
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图