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中考二次函数图象与系数的关系


中考二次函数图象与系数的关系. (2014?天津)12. (3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于 x 的一元 二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根,有下列结论: ①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2. 其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

分析:由图象可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点,进而判 断①;先根据抛物线的开口向下可知 a<0,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,根 据对称轴在 y 轴右侧得出 b 与 0 的关系,然后根据有理数乘法法则判断②; 一元二次方程 ax2+bx+c ﹣ m=0 没有实数根,则可转化为 ax2+bx+c=m ,即可以理解为 y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点,即可求出 m 的取值范围,判断③即可. 解:①∵二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,故①正确;②∵抛物线的 开口向下,∴a<0,∵抛物线与 y 轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴 x=﹣ >0,

∴ ab<0,∵ a<0,∴ b>0,∴ abc<0,故② 正确;③ ∵ 一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 没有实数根, ∴ y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点,由图可得,m>2,故③ 正确.故选 D. 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以 及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 15.二次函数的图象如图,对称轴为 x ? 1 . 若关于 x 的一元二次方程 x ? bx ? t ? 0 ( t 为实数)
2

y

在 ? 1 ? x ? 4 的范围内有解,则 t 的取值范围是 A. t ? ?1 C. ? 1 ? t ? 8 B. ? 1 ? t ? 3 D. 3 ? t ? 8





1

4

x

【解析】由对称轴为 x ? 1 ,得 b ? ?2 ,
2 再由一元二次方程 x ? 2 x ? t ? 0 在 ? 1 ? x ? 4 的范围内有解,

得 y (1) ? t ? y (4) , 即 ? 1 ? t ? 8 ,故选 C. (2014 淄博) (4 分)(2014 年山东淄博)如图,二次函数 y=x +bx+c 的图象过点 B (0, ﹣2) . 它与反比例函数 y=﹣ 的图象交于点 A (m, 4) ,则这个二次函数的解析式为( )
2

A.y=x ﹣x﹣2

2

B.y=x ﹣x+2

2

C.y=x +x﹣2

2

D.y=x +x+2

2

考点: 待定系数法求二次函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 将 A 坐标代入反比例解析式求出 m 的值,确定出 A 的坐标,将 A 与 B 坐标代入 二次函数解析式求出 b 与 c 的值, 即可确定出二次函数解析式.
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解答: 解:将 A(m,4)代入反比例解析式得:4=﹣ ,即 m=﹣2, ∴ A(﹣2,4) , 将 A(﹣2,4) ,B(0,﹣2)代入二次函数解析式得: ,

解得:b=﹣1,c=﹣2, 2 则二次函数解析式为 y=x ﹣x﹣2. 故选 A. 点评: 此题考查 l 待定系数法求二次函数解析式,以及反比例函数图象上点的坐标特征, 熟练掌握待定系数法是解本题的关键. (2014 莱芜)12.已知二次函数 y=ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示。下列结论:①abc﹥0

②2a-b﹤③4a-2b+c﹤④ ? a ? c ? ﹤ b2 其中正确的个数有
2

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

(2014 聊城)12. (3 分) (2014?聊城)如图是二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)图象的一部分, x=﹣1 是对称轴,有下列判断: ① b﹣2a=0;② 4a﹣2b+c<0;③ a﹣b+c=﹣9a;④ 若(﹣3,y1) , ( ,y2)是抛物线上两点,则 y1>y2,其中正确的是( )

2

② ③ A.①

③ ④ B.①

② ④ C.①

③ ④ D.②

考点: 二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有 分析: 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系,需要根据图形,逐一判断. 解答: 解:∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,

b=2a, ∴b﹣2a=0,∴①正确; ∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣1,和 x 轴的一个交点是(2,0), ∴抛物线和 x 轴的另一个交点是(﹣4,0), ∴把 x=﹣2 代入得:y=4a﹣2b+c>0,∴②错误; ∵图象过点(2,0),代入抛物线的解析式得:4a+2b+c=0, 又∵b=2a, ∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a, ∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a,∴③正确; ∵抛物线和 x 轴的交点坐标是(2,0)和(﹣4,0),抛物线的对称轴是直线 x=﹣1, ∴点(﹣3,y1)关于对称轴的对称点的坐标是((1,y1), ∵( ,y2),1< ,

∴y1>y2,∴④正确; 即正确的有①③④, 故选 B. 点评: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴 特殊点的关系,也要掌握在图象上表示一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解的方法.同时注意特殊点的运用. 2 (2014 年山东泰安)20.二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)中的 x 与 y 的部 分对应值如下表: X 0 1 3 ﹣1 y 3 5 3 ﹣1
w w w .x k b 1.c o m

下列结论: (1)ac<0; (2)当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小. 2 (3)3 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的一个根; 2 (4)当﹣1<x<3 时,ax +(b﹣1)x+c>0. 其中正确的个数为( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 分析:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小 题分析判断即可得解. 2 解: 由图表中数据可得出: x=1 时,y=5 值最大,所以二次函数 y=ax +bx+c 开口向下,a<0; 又 x=0 时,y=3,所以 c=3>0,所以 ac<0,故(1)正确; ∵二次函数 y=ax +bx+c 开口向下,且对称轴为 x=
2

=1.5,∴当 x>1.5 时,y 的值随 x 值

的增大而减小,故(2)错误; 2 ∵x=3 时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3 是方程 ax +(b﹣1) x+c=0 的一个根,故(3)正确;

∵x=﹣1 时, ax +bx+c=﹣1, ∴x=﹣1 时, ax + (b﹣1) x+c=0, ∵x=3 时, ax + (b﹣1) x+c=0, 2 且函数有最大值,∴当﹣1<x<3 时,ax =(b﹣1)x+c>0,故(4)正确. 故选 B. 点评:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与 x 轴的交点,二 次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键. (2014?威海)11.(3 分)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法: 2 ①c=0;②该抛物线的对称轴是直线 x=﹣1;③当 x=1 时,y=2a;④am +bm+a>0(m≠﹣1). 其中正确的个数是( )
2

2

2

2

A.1 考点: 分析: 解答:

B.2

C.3

D.4

二次函数图象与系数的关系. 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛 物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解:抛物线与 y 轴交于原点,c=0,故① 正确; 该抛物线的对称轴是: 当 x=1 时,y=2a+b+c, ∵对称轴是直线 x=﹣1, ∴ ,b=2a, ,直线 x=﹣1,故②正确;

又∵c=0, ∴y=4a,故③错误; 2 x=m 对应的函数值为 y=am +bm+c, x=﹣1 对应的函数值为 y=a﹣b+c,又 x=﹣1 时函数取得最小值, 2 2 ∴a﹣b+c<am +bm+c,即 a﹣b<am +bm, ∵b=2a, 2 ∴am +bm+a>0(m≠﹣1).故④正确. 故选:C. 2 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的 交点抛物线与 x 轴交点的个数确定. 2 (2014 年山东烟台)11.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0) , 对称轴为直线 x=2,下列结论: ① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④ 当 x>﹣1 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 其中正确的结论有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

分析:根据抛物线的对称轴为直线 x=﹣

=2,则有 4a+b=0;观察函数图象得到当 x=﹣3

时,函数值小于 0,则 9a﹣3b+c<0,即 9a+c<3b;由于 x=﹣1 时,y=0,则 a﹣b+c=0,易 得 c=﹣5a,所以 8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得 a<0,于是有 8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线 x=2,根据二次函数的性质得到当 x>2 时,y 随 x 的增大 而减小. 解:∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =2,∴b=﹣4a,即 4a+b=0,所以① 正确;

∵当 x=﹣3 时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,即 9a+c<3b,所以② 错误; ∵抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0) ,∴a﹣b+c=0, 而 b=﹣4a,∴a+4a+c=0,即 c=﹣5a,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a, ∵抛物线开口向下,∴a<0,∴8a+7b+2c>0,所以③ 正确; ∵对称轴为直线 x=2, ∴当﹣1<x<2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小,所以④ 错误.故选 B. 点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) ,二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小, 当 a>0 时, 抛物线向上开口; 当 a<0 时, 抛物线向下开口; 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置,当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称 轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右;常数项 c 决定抛物线与 y 轴 2 交点. 抛物线与 y 轴交于(0,c) ;抛物线与 x 轴交点个数由△决定,△=b ﹣4ac>0 时, 2 2 抛物线与 x 轴有 2 个交点; △=b ﹣4ac=0 时, 抛物线与 x 轴有 1 个交点; △=b ﹣4ac<0 时, 抛物线与 x 轴没有交点. (2014 陕西)10.二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像如图所示,则下列结论中正确的
2

2

是( ) A.c>-1 B.b>0 C.2a+b≠0 D. 9 a +c>3b
2



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