9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第6节直线与圆锥曲线的位置关系高考AB卷理

【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第 6 节 直线与圆锥曲线的位置关系高考 AB 卷 理

直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2014?全国Ⅱ,10)设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 B. D. 9 3 8 9 4 )
2

63 C. 32 解析 易知直线 AB 的方程为 y=

3 3 2 2 (x- ),与 y =3x 联立并消去 x 得 4y -12 3y-9= 3 4

9 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=3 3,y1y2=- . 4

S△OAB= |OF|?|y1-y2|= ?
答案 D

1 2

1 3 3 9 2 (y1+y2) -4y1y2= 27+9= .故选 D. 2 4 8 4

2.(2013?大纲,8)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 4 3 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )

x2 y2

?1 3? A.? , ? ?2 4? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?
x2 y2

?3 3? B.? , ? ?8 4? ?3 ? D.? ,1? ?4 ?

解析 如图:设直线 A2M 的方程为 y=-(x-2)=2-x, 代入椭圆方程 + =1,并整理得 7x -16x+4=0, 4 3
2

16 2 ?2 12? ∴2+x= ,∴x= ,∴M 点坐标为? , ?. 7 7 ?7 7 ?

?26 24? 设直线 A2N 的方程为 y=-2(x-2)=4-2x,同理可得 N 点坐标为? , ?, ?19 19?
1

24 19 3 3 ∵kA1M= = ,kA1N= = . 2 4 26 8 +2 +2 7 19

12 7

?3 3? ∴直线 PA1 斜率的取值范围是? , ?. ?8 4?
答案 B 3.(2013?全国Ⅱ,20)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x 1 +y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.

x2 y2 a b

x2 y2 x2 y2 y1-y2 1 1 2 2 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则 2+ 2=1, 2+ 2=1, =-1, a b a b x1-x2
由此可得

b2(x1+x2) y2-y1 =- =1. a2(y1+y2) x2-x1

1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 所以 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

y0 1 1 = .所以 y0= x0, x0 2 2
1 即 y1+y2= (x1+x2). 2 所以可以解得 a =2b ,又由题意知,
2 2

M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3.
所以 a =6,b =3. 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)将 x+y- 3=0 代入 + =1, 6 3 4 3 ? x = ? 3 , ?x=0, 4 6 解得? 或? 所以可得|AB|= ; 3 3 ?y= 3. ? ?y=- 3 由题意可设直线 CD 方程为 y=x+m, 所以设 C(x3,y3),D(x4,y4),
2 2

x2 y2

x2 y2

2

将 y=x+m 代入 + =1 得 3x +4mx+2m -6=0, 6 3 则|CD|= 2 (x3+x4) -4x3x4=
2 2 2

x2 y2

2

2

4 2 9-m , 3

又因为 Δ =16m -12(2m -6)>0,即-3<m<3, 所以当 m=0 时,|CD|取得最大值 4, 1 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|?|CD|= . 2 3 轨迹与轨迹方程 4.(2016?全国Ⅲ,20)已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分 别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 解
2

?1 ? 由题设 F? ,0?,设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab≠0, ?2 ?
2 2

?a ? ?b ? ? 1 ? 且 A? ,a?,B? ,b?,P?- ,a?, ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 1 a+b?. Q?- ,b?,R?- , ? ? 2 ? ? 2
2 ? 记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0. (1)证明 由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.

a-b a-b 1 ab 记 AR 的斜率为 k1, FQ 的斜率为 k2, 则 k1= = =- =-b=k2.所以 AR∥FQ. 2= 2 1+a a -ab a a
(2)设过 AB 的直线为 l,设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0), 1 则 S△ABF= |b-a||FD| 2 1? 1 ? = |b-a|?x1- ?, 2? 2 ?

S△PQF=

|a-b| . 2

1? |a-b| ? 由题设可得|b-a|?x1- ?= ,所以 x1=1,x1=0(舍去). 2? 2 ? 设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y). 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE 可得 1(x≠1). 当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.
3

2 y a+b 2 = (x≠1).而 =y,所以 y =x- a+b x-1 2

所以,所求轨迹方程为 y =x-1. 5.(2016?全国Ⅰ,20)设圆 x +y +2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不 重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交 于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. (1)证明 因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA| +|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x+1) +y =16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为:
2 2 2 2

2

x2 y2
4

+ =1(y≠0). 3

(2)解 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

y=k(x-1), ? ? 2 2 2 2 2 2 由?x y 得(4k +3)x -8k x+4k -12=0. + = 1 ? ?4 3
8k 4k -12 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 12(k +1) 2 所以|MN|= 1+k |x1-x2|= . 2 4k +3 1 过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m:y=- (x-1),A 到 m 的距离为 2
2 2 2

k

k2+1

,所以|PQ|=

2

4 -?
2 2

? 2 ?2 ? = 2 ? k +1?

4

4k +3 . k2+1

故四边形 MPNQ 的面积

S= |MN||PQ|=12

1 2

1 1+ 2 . 4k +3

可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3). 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3).

直线与圆锥曲线的位置关系
4

1.(2015?重庆,10)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D,若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a +b ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(- 2,0)∪(0, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 解析 由题意 A(a,0),B?c, ?,C?c,- ?,
2 2

x2 y2 a b

)

? ?

b2? a?

? ?

b2? a?

b2 b2 -0 a a 由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上,设 D(x,0),由 BD⊥AC 得 ? =-1,解得 c- c-x a-c x= b4 b4 b4 2 2 2 b2 2 2 ,所以 c-x= 2 <a+ a +b =a+c,所以 2<c -a =b ? 2< a (c-a) a (c-a) a a
2

1? 0< <1,因此渐近线的斜率取值范围是(-1,0)∪(0,1),选 A. 答案 A 2.(2014?辽宁,10)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. C. 1 2 3 4
2 2

b a

)

B. D.

2 3 4 3

解析 ∵A(-2,3)在抛物线 y =2px 的准线上,∴- =-2,∴p=4,∴y =8x,设直线 2
? ?x=k(y-3)-2 2 AB 的方程为 x=k(y-3)-2①,将①与 y2=8x 联立,即? 2 ,得 y -8ky+ ?y =8x ?

p

2

24k+16=0②,则 Δ =(-8k) -4(24k+16)=0,即 2k -3k-2=0,解得 k=2 或 k=-
?x=8 ? 1 8-0 4 (舍去),将 k=2 代入①②解得? ,即 B(8,8),又 F(2,0),∴kBF= = ,故选 2 8-2 3 ? ?y=8

2

2

D. 答案 D

x2 y2 3.(2015?山东,15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛 a b
物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 ________.
5
2

b ? ?y= x, b b 解析 由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x.由? a a a ? ?x2=2py,
得 x =2p ? x,
2 2pb 2pb ?2pb,2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? 2 ?. 2 2

b a

a

a

? a

a ? p?

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? 2pb ∴kAF=
2

?

a2

2pb

- 2 .

p

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1, - 2 ? b? b2 5 ∴ ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a? 2pb
2

p

a

2

a
设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 3 ∴e= . 2 答案 3 2
2

c2 a2+b2 5 9 =1+ = . a a2 4 4

4.(2012?浙江, 16)定义: 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距 离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:
2 2 2

y=x 的距离,则实数 a=________.
|4| 解析 曲线 C2 到 l 的距离 d 等于圆心到直线的距离减去半径,即 d= - 2= 2, 2 所以曲线 C1 到 l 的距离为 2, 则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x +a>x, ∴x -x+a>0.设 C1:y=x +a 上一点为(x0,y0), 则点(x0,y0)到直线 l 的距离
2 2 2

d=

?x0-1? +a-1 ? 2? 4 ? |x0-y0| -x0+x +a ?
2 =
2 0

2

2



2

a-


1 4 9 = 2,所以 a= . 4 2
6

答案

9 4

5.(2016?北京,19)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 ,A(a,0),B(0,b), 2

O(0,0),△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上一点, 直线 PA 与 y 轴交于点 M, 直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证: |AN|?|BM| 为定值. (1)解 由已知 =
2 2 2

c a

3 1 , ab=1. 2 2

又 a =b +c ,解得 a=2,b=1,c= 3. ∴椭圆方程为 +y =1. 4 (2)证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1). 设椭圆上一点 P(x0,y0),则 +y0=1. 4 当 x0≠0 时,直线 PA 方程为 y= -2y0 令 x=0 得 yM= . x0-2 从而|BM|=|1-yM|=?1+ 直线 PB 方程为 y= 令 y=0 得 xN=

x2

2

x2 0

y0 (x-2), x0-2

? ?

2y0 ? . x0-2? ?

y0-1 x+1. x0

-x0 . y0-1

∴|AN|=|2-xN|=?2+ ∴|AN|?|BM|=?2+ =? =? =?

? ?

x0 ? . y0-1? ?

? ?

x0 ? ? 2y0 ? ??1+ ? y0-1? ? ? x0-2?

?x0+2y0-2???x0+2y0-2? ? ? ? ? x0-2 ? ? y0-1 ? ?x0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4? ? x0y0-x0-2y0+2 ? ? ?4x0y0-4x0-8y0+8?=4. ? ? x0y0-x0-2y0+2 ?
2 2

当 x0=0 时,y0=-1, |BM|=2,|AN|=2,
7

所以|AN|?|BM|=4. 故|AN|?|BM|为定值. 6.(2016?江苏,22)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x-y-2=0,抛物线 C:

y2=2px(p>0).

(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程; (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. ①求证:线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p); ②求 p 的取值范围. (1)解 ∵l:x-y-2=0,∴l 与 x 轴的交点坐标为(2,0). 即抛物线的焦点为(2,0),∴ =2,p=4. 2 ∴抛物线 C 的方程为 y =8x. (2)①证明 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2).
? ?y1=2px1, 则? 2 则 ?y2=2px2, ?
2 2

p

? ? ? y ∴k ? ?x =2p,
2 2 2

y2 1 x1= , 2p

PQ



y1-y2 2p = , 2 y1 y2 y1+y2 2 - 2p 2p

又∵P、Q 关于 l 对称.∴kPQ=-1,即 y1+y2=-2p, ∴ ∴

y1+y2
2 2

=-p,又∵PQ 的中点一定在 l 上, = +2=2-p.

x1+x2 y1+y2
2

∴线段 PQ 的中点坐标为(2-p,-p). ②解 ∵PQ 的中点为(2-p,-p),

y1+y2=-2p, ? ?y1+y2=-2p, ? ? 2 ∴? 即? 2 y2 1+y2 2 2 x1+x2= =4-2p, ? ?y1+y2=8p-4p , ? 2p ?
∴?
? ?y1+y2=-2p,
2

即关于 y 的方程 y +2py+4p -4p=0,有两个不等实根.∴Δ >0. ?y1y2=4p -4p, ?

2

2

4 ? 4? 2 2 即(2p) -4(4p -4p)>0,解得 0<p< ,故所求 p 的范围为?0, ?. 3 ? 3?

8

x 1 2 7.(2015?浙江,19)已知椭圆 +y =1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 1 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 y=- x+b.

m

x ? ? 2 +y =1, 由? 消去 y,得 1 ? ?y=-mx+b,
2

2

?1+ 12?x2-2bx+b2-1=0. ?2 m ? m ? ?
1 x 4 2 2 因为直线 y=- x+b 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点, 所以 Δ =-2b +2+ 2>0, ① m 2 m
2

mb ? 1 m +2 ? 2mb 将 AB 中点 M? 2 , 2 ?代入直线方程 y=mx+ 解得 b=- 2 ,② 2 2m ?m +2 m +2?
由①②得 m<- 6 6 或 m> . 3 3

2

2

1 ? 6 ? ? 6? (2)令 t= ∈?- ,0?∪?0, ?, m ? 2 2? ? ? 3 4 2 -2t +2t + 2 . 1 2 t+ 2

则|AB|= t +1?

2

t2+
且 O 到直线 AB 的距离为 d= 设△AOB 的面积为 S(t), 1 所以 S(t)= |AB|?d 2 = 1 2 2 2 ? 2 1? -2?t - ? +2≤ . 2 2 ? ?

1 2

t2+1

.

1 2 当且仅当 t = 时,等号成立. 2

9

故△AOB 面积的最大值为

2 . 2

x2 y2 3 8.(2015?天津,19)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 ,点 a b 3 b2 4 3 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= .
4 3 (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范 围.

c2 1 解 (1)由已知有 2= , a 3
又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c . 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有 S? 3 ? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +?2? =?2? ,解得 k= 3 . 2 ? ? ? ? k + 1 ? ?
2 2 2 2 2 2 2

(2)由(1)得椭圆方程为
2

x2 y2 3 (x+c),两个方程联立,消 2+ 2=1,直线 FM 的方程为 y= 3c 2c 3
2

去 y,整理得 3x +2cx-5c =0, 5 ? 2 3 ? 解得 x=- c,或 x=c.因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 3 ? ? 由|FM|= (c+c) +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 ? 3 ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=

y ,即 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立. x+1

y=t(x+1), ? ? 2 2 消去 y,整理得 ?x y + =1, ? 3 2 ?
2x +3t (x+1) =6, 又由已知,得 t= 6-2x 2, 2> 3(x+1)
2 2 2 2

3 解得- <x<-1,或-1<x<0. 2

10

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0, ? 2 ?
因此 m>0,于是 m= 2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. x 3 3 ? ?3 2
2

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 3? ? 得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ? 2 3? ? 2 2 3? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ? 3 3 ? ? 9.(2014?北京,19)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与 圆 x +y =2 的位置关系,并证明你的结论. 解 4 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为
2 2 2 2

2

x2 3

2 - ,

x2 y2

+ =1. 2
2 2 2 2 2

所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2

c a

2 . 2

(2)直线 AB 与圆 x +y =2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0,即 tx0+2y0=0, 2y0 解得 t=- .

x0

当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
2 2

t2

y0-2 (x-t), x0-t

11

圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2y0 2 2 又 x0+2y0=4,t=- ,

|2x0-ty0| (y0-2) +(x0-t)
2 2

.

x0

2y0 |2x0+ | 故 d= = x +y + 2 +4
2 0 2 0

2

x0

?4+x0? ? x0 ? ? ?
2 x4 0+8x0+16 2 2x0

2

4y0

2

= 2.

x0
2

此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 轨迹与轨迹方程 10.(2015?四川,20)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是

2

x2 y2 a b

2 ,过点 P(0,1)的动 2

直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长 为 2 2.

(1)求椭圆 E 的方程; |QA| |PA| (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 = 恒成立? |QB| |PB| 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,点( 2,1)在椭圆 E 上, 2 1
2 2

+ =1, b ? ?a 因此?a -b =c , c 2 ? ?a= 2 ,
2 2 2

解得 a=2,b= 2, 所以椭圆 E 方程为 + =1. 4 2 (2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点, 如果存在定点 Q 满足条件, |QC| |PC| 则有 = =1,即|QC|=|QD|, |QD| |PD| 所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为(0,y0), 当直线 l 与 x 轴垂直时, 设直线 l 与椭圆相交于 M, N 两点, 则 M, N 的坐标分别为(0, 2),
12

x 2 y2

(0,- 2), 由 |QM| |PM| |y0- 2| 2-1 = ,有 = , |QN| |PN| |y0+ 2| 2+1

解得 y0=1,或 y0=2, 所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只可能为(0,2), |QA| |PA| 下面证明:对任意直线 l,均有 = , |QB| |PB| 当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立, 当直线 l 的斜率存在时, 可设直线 l 的方程为 y=kx+1, A、 B 的坐标分别为(x1, y1), (x2,

y2), x y ? ? + =1, 2 2 联立? 4 2 得(2k +1)x +4kx-2=0, ? ?y=kx+1,
其判别式 Δ =(4k) +8(2k +1)>0, 4k 2 所以 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 , 2k +1 2k +1 1 1 x1+x2 因此 + = =2k,
2 2 2 2

x1 x2

x1x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(-x2,y2),

又 kQA=

y1-2 kx1-1 1 = =k- , x1 x1 x1

y2-2 kx2-1 1 1 kQB′= = =-k+ =k- , -x2 -x2 x2 x1
所以 kQA=kQB′,即 Q,A,B′三点共线, |QA| |QA| |x1| |PA| 所以 = = = , |QB| |QB′| |x2| |PB| 故存在与 P 不同的定点 Q(0,2), |QA| |PA| 使得 = 恒成立. |QB| |PB| 11.(2014?广东,20)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y2 a b

5 . 3

13

(2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程. 解 (1)由题意知 c= 5,e= =
2 2 2

c a

5 , 3

∴a=3,b =a -c =4, 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 9 4 (2)设两切线为 l1,l2, ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,l2∥x 轴或 l2⊥x 轴, 可知 P(±3,±2); ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设 l1 的斜率为 k,则 k≠0,则 l2 的斜率为- 1

x2 y2

k



l1 的方程为 y-y0=k(x-x0),与 + =1 联立,
9 4 整理得(9k +4)x +18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0) -36=0, ∵直线与椭圆相切,∴Δ =0,得 9(y0-kx0) k -(9k +4)[(y0-kx0) -4]=0, ∴-36k +4[(y0-kx0) -4]=0, ∴(x0-9)k -2x0y0k+y0-4=0, ∴k 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0 的一个根, 1 2 2 2 同理- 是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0 的另一个根,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

k

? 1? y0-4 2 2 ∴k??- ?= 2 ,得 x0+y0=13,其中 x0≠±3, ? k? x0-9
∴点 P 的轨迹方程为 x +y =13(x≠±3), 检验 P(±3,±2)满足上式. 综上:点 P 的轨迹方程为 x +y =13. 12.(2014?湖北,21)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距 离多 1.记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个 公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 解 (1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
2 2 2 2 2 2

2

即 (x-1) +y =|x|+1, 化简整理得 y =2(|x|+x).
2

14

? ?4x,x≥0, 2 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y =? ? ?0,x<0.

(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y =4x,C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组?
2

2

?y-1=k(x+2), ? ?y =4x, ?
2

可得 ky -4y+4(2k+1)=0.① 1 (a)当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x= . 4

?1 ? 故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点? ,1?. ?4 ?
(b)当 k≠0 时, 方程①的判别式为 Δ =-16(2k +k-1).② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0), 则由 y-1=k(x+2), 2k+1 令 y=0,得 x0=- .③
2

k

? ?Δ <0, 1 (ⅰ)若? 由②③解得 k<-1,或 k> . 2 ?x0<0, ?

?1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,故此 ?2 ?
时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ? 1? ?Δ =0, ? ?Δ >0, ? 1 ? (ⅱ)若? 或? ,由②③解得 k∈?-1, ?,或 k∈?- ,0?. 2 ? 2 ? ? ? ?x0<0 ?x0≥0 ? ? ? 1? 即当 k∈?-1, ?时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2? ?

? 1 ? 当 k∈?- ,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. ? 2 ?
1? ? 1 ? ? 故当 k∈?- ,0?∪?-1, ?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2? ? 2 ? ?
? ?Δ >0, 1 1 (ⅲ)若? 由②③解得-1<k<- ,或 0<k< . 2 2 ?x0<0, ?

1? ? 1? ? 即当 k∈?-1,- ?∪?0, ?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2? ? 2? ? 故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.

?1 ? 综合(1)(2)可知,当 k∈(-∞,-1)∪? ,+∞?∪{0}时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个 ?2 ?
15

1? ? 1 ? ? 公 共 点 ;当 k∈ ?- ,0? ∪ ?-1, ? 时 , 直 线 l 与 轨 迹 C 恰 好有 两 个 公共 点 ;当 2? ? 2 ? ?

k∈?-1,- ?∪?0, ?,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 2 2

? ?

1?

? ? ?

1?

?

13.(2013?辽宁,20)如图,抛物线 C1:x =4y,C2:x =-2py(p>0).点 M(x0,y0)在抛物线

2

2

C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O).
1 当 x0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- . 2

(1)求 p 的值; (2)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O). 解 (1)因为抛物线 C1:x =4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y′= ,且切线 AM 的斜 2 1 率为- . 2 1? ? ∴切点 A?-1, ?, 4? ? 1 1 切线 AM:y=- (x+1)+ . 2 4 因为点 M(1- 2,y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是
2

x

y0=- (2- 2)+ =-
2

1 2

1 4

3-2 2 ,① 4

y0=-

(1- 2) 3-2 2 =- .② 2p 2p

由①②得 p=2.

x1? ? x2? x1+x2 ? (2)设 N(x,y),A?x1, ?,B?x2, ?,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点知 x= ,③ 4? ? 4? 2 ?
2 x2 1+x2 y= .④

2

2

8

切线 MA、MB 的方程为

x1 x2 1 y= (x-x1)+ ,⑤
2 2 4 4

y= (x-x2)+ .⑥

x2

x2 2

16

由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0= 因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即 x0=-4y0, 所以 x1x2=-
2 x2 1+x2 2

x1+x2
2

,y0=

x1x2
4

.

6

,⑦

4 2 由③④⑦得 x = y,x≠0. 3 4 2 当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x = y. 3 4 2 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x = y. 3 圆锥曲线的综合问题 14.(2014?福建,9)设 P,Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P,Q 两 10 点间的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 ) B. 46+ 2 D.6 2
2 2

x2

2

解析 设圆的圆心为 C,则 C(0,6),半径为 r= 2,点 C 到椭圆上的点 Q( 10cos α , sin α )的距离|CQ| = ( 10cos α ) +(sin α -6) = 46-9sin α -12sin α = 2 2 2 50-9(sin α + ) ≤ 50=5 2,当且仅当 sin α =- 时取等号,所以|PQ|≤ 3 3
2 2 2

|CQ|+r=5 2+ 2=6 2,即 P,Q 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 答案 D 15.(2014?湖北, 9)已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且∠F1PF2 π = ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 A. 4 3 3 B. 2 3 3 )

C.3

D.2

x2 解析 假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F1,F2 分别在左、右焦点.设椭圆的方程为 2 a
+ 2=1(a>b>0),双曲线的方程为 2- 2=1(m>0,n>0),它们的离心率分别为 e1,e2,则

y2 b

x2 y2 m n

17

|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2 中,4c =(a+m) +(a-m) -2(a+m)(a-m)cos 2 2 ?a? ?m? 2 2 2 ? a +3m =4c ? ? ? +3? ? =4, ?c? ?c?

2

2

2

π 3

? a?2 ?m?2?? 1? 1+ ? 则?? ? ? +3? ? ?? ? 3? ??c? ?c? ?
2 ?a m? 1 1 a m 4 3, ≥? + ? ? + = + ≤ ?c c? e1 e2 c c 3 当且仅当 a=3m 时,等号成立 ,故选 A. 答案 A 16.(2014?四川,10)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 → → 侧,OA?OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 )
2

解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设 y1>0,y2<0),直线 AB 的方程为 x=ty+m,且 直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0).由?
?x=ty+m ? ?y =x ?
2

消去 x,得 y -ty-m=0,所以 y1y2=-m.

2

→ → 2 又OA?OB=2,所以 x1x2+y1y2=2,(y1y2) +y1y2-2=0,因为点 A、B 在抛物线上且位于 x 1 1 1 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2.又 F( ,0),于是 S△ABO+S△AFO= ?2?(y1-y2)+ ? 4 2 2 1 9 2 ?y1= y1+ ≥2 4 8 y1 9 2 9 2 4 y1? =3,当且仅当 y1= ,即 y1= 时取“=”,所以△ABO 与 8 y1 8 y1 3

△AFO 面积之和的最小值是 3. 答案 B 17.(2016?山东,21)平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 抛物线 E:x =2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.
2

x2 y2 a b

3 , 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A,B, 线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. ①求证:点 M 在定直线上;
18

②直线 l 与 y 轴交于点 G,记△PFG 的面积为 S1,△PDM 的面积为 S2,求 的最大值及取得 最大值时点 P 的坐标. (1)解 由题意知

S1 S2

a2-b2 3 1 ? 1? 2 2 = ,可得 a =4b ,因为抛物线 E 的焦点 F?0, ?,所以 b= , a 2 2 ? 2?

a=1,所以椭圆 C 的方程为 x2+4y2=1.
(2)①证明 设 P?m, ?(m>0),由 x =2y,可得 y′=x,所以直线 l 的斜率为 m,因此直 ? 2?
2

?

m2?

线 l 的方程为 y- =m(x-m).即 y=mx- . 2 2

m2

m2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

x +4y =1, ? ? 联立方程? m2 y=mx- , ? 2 ?
得(4m +1)x -4m x+m -1=0. 由 Δ >0,得 0<m< 2+ 5(或 0<m <2+ 5).(*) 4m 2m m -m y0 且 x1+x2= 2 ,因此 x0= 2 ,将其代入 y=mx- ,得 y0= ,因为 = 2 4m +1 4m +1 2 2(4m +1) x0 - 1 . 4m
3 3 2 2 2 2 2 3 4

2

2

1 所以直线 OD 方程为 y=- x, 4m 1 ? ?y=- x, 4 m 得点 M 的纵坐标 yM=-1, 联立方程? 4 ? ?x=m, 1 所以点 M 在定直线 y=- 上. 4 ②解 由①知直线 l 的方程为 y=mx- ,令 x=0,得 y=- ,所以 G?0,- ?, 2? 2 2 ?

m2

m2

?

m2?

? m ? ? 1? 又 P?m, ?,F?0, ?, ? 2 ? ? 2?
-m ? 2m ?, D? 2 , 2 ? ?4m +1 2(4m +1)?
3 2

2

19

1 (m +1)m 所以 S1= ?|GF|?m= , 2 4

2

S2= ? |PM|? |m-x0|= ?
2

1 2

1 2m +1 2m +m m(2m +1) S1 2(4m +1)(m +1) ? 2 = .所以 = . 2 2 2 2 4 4m +1 8(4m +1) S2 (2m +1)

2

3

2

2

2

2

S1 (2t-1)(t+1) 2t2+t-1 1 1 1 1 设 t=2m +1,则 = = =- 2+ +2,当 = , S2 t2 t2 t t t 2 S1 9 即 t=2 时, 取到最大值 , S2 4
此时 m= 2 ? 2 1? ,满足(*)式,所以 P 点坐标为? , ?. 2 ? 2 4?

S1 9 ? 2 1? 因此 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为? , ?. S2 4 ? 2 4? x2 y2 18.(2015?山东,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b
为 3 ,左、右焦点分别是 F1,F2.以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的 2

圆相交,且交点在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 E: 2+ 2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 4a 4b

x2

y2

A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
|OQ| (ⅰ)求 的值; |OP| (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 解 (1)由题意知 2a=4,则 a=2,

又 =

c a

3 2 2 2 ,a -c =b , 2

可得 b=1,所以椭圆 C 的方程为

x2
4

+y =1. + =1. 16 4

2

(2)由(1)知椭圆 E 的方程为

x2

y2

|OQ| (ⅰ)设 P(x0,y0), =λ ,由题意知 |OP|

Q(-λ x0,-λ y0).
因为 +y0=1, 4

x2 0

2

20

又 即

(-λ x0) (-λ y0) + =1, 16 4 λ 4
2

2

2

?x0+y2 ? ? 4 0?=1, ? ?

2

|OQ| 所以 λ =2,即 =2. |OP| (ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0, 由 Δ >0,可得 m <4+16k ,① 8km 则有 x1+x2=- 2, 1+4k 4m -16 x1x2= 2 . 1+4k 4 16k +4-m 所以|x1-x2|= . 2 1+4k 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 1 所以△OAB 的面积 S= |m||x1-x2| 2 = 2 16k +4-m |m| 2 1+4k 2 (16k +4-m )m 2 1+4k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



=2 设

?4- m 2? m . ? 1+4k ?1+4k2 ? ?
m2
2

2

1+4k

=t,

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ ≥0,可得 m ≤1+4k .② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-t)t=2 -t +4t, 故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为 3S, 所在△ABQ 面积的最大值为 6 3. 19.(2015?湖南,20)已知抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0)的
21
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6. (1)求 C2 的方程; → → (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且AC与BD同向. ①若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率; ②设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角 三角形. 解 (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以
2

a2-b2=1.①
又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y,由此易 3? 9 6 ? 知 C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6, ?,所以 2+ 2=1.② 2? 4a b ? 联立①,②得 a =9,b =8. 故 C2 的方程为 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). → → → → ①因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由?
? ?y=kx+1, ?x =4y ?
2 2 2 2 2 2

y2 x2

得 x -4kx-4=0.

2

而 x1,x2 是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④

y=kx+1, ? ? 2 2 2 2 由?x y 得(9+8k )x +16kx-64=0. + = 1 ? ?8 9
16k 而 x3,x4 是这个方程的两根,所以 x3+x4=- 2, 9+8k

x3x4=-

64 2,⑤ 9+8k

将④,⑤代入③,得
22

16 k 4?64 2 16(k +1)= 2 2+ 2, (9+8k ) 9+8k 16 ?9(k +1) 2 2 2 即 16(k +1)= ,所以(9+8k ) =16?9, 2 2 (9+8k ) 解得 k=±
2 2 2

2 2

6 6 ,即直线 l 的斜率为± . 4 4

(ⅱ)由 x =4y 得 y′= , 所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y-y1= (x-x1), 即 y= - . 2 2 2 4 令 y=0 得 x= ,即 M? ,0?, 2 ?2 ? → ?x1 ? 所以|FM|=? ,-1?. ?2 ?

x

x1

x1x x2 1

x1

?x1

?

x1 → → → x1 而|FA|=(x1,y1-1),于是FA?FM= -y1+1= +1>0, 2 4
因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM 是钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 20.(2013?安徽,18)设椭圆 E: 2+ =1 的焦点在 x 轴上. a 1-a2 (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别为椭圆 E 的左,右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴 于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 解 1 5 2 2 (1)因为焦距为 1,所以 2a -1= ,解得 a = . 4 8
2 2

2

2

x2

y2

8x 8y 故椭圆 E 的方程为 + =1. 5 3 (2)设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0), 其中 c= 2a -1. 由题设知 x0≠c,则直线 F1P 的斜率 kF1P= 直线 F2P 的斜率 kF2P=
2

y0 , x0+c

y0 y0

x0-c

. (x-c).

故直线 F2P 的方程为 y= 当 x=0 时,y=

x0-c

cy0 ? cy0 ? ,即点 Q 的坐标为?0, ?. c -x0? c-x0 ? y0 . c-x0

因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Q= 由于 F1P⊥F1Q,

23

所以 kF1P?kF1Q=
2 2

y0
2

x0+c c-x0

?

y0

=-1.

化简得 y0=x0-(2a -1)① 将①代入椭圆 E 的方程, 由于点 P(x0,y0)在第一象限, 解得 x0=a ,y0=1-a , 即点 P 在定直线 x+y=1 上.
2 2

24



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图