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2017-2018版高中数学第一章导数及其应用章末复习课学案新人教B版选修2_2

第一章 导数及其应用 题型一 导数与曲线的切线 利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种,一类是求 “在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类 是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为 Q(x1,y1),由 y0-y1 =f′(x1)和 y1=f(x1)求出 x1,y1 的值,转化为第一种类型. x0-x1 例 1 已知函数 f(x)=e -ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x)在点 A 处的切 线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x <e . (1)解 由 f(x)=e -ax,得 f′(x)=e -a. 又 f′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=e -2x,f′(x)=e -2. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 1 x x x x 2 x x 当 x<ln 2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值 f(ln 2)=e ln 2 -2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明 令 g(x)=e -x ,则 g′(x)=e -2x. 由(1)得 g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0. 故 g(x)在 R 上单调递增, 又 g(0)=1>0, 因此,当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e . 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=ax +2ln(2-x)(a∈R), 设曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切 1 2 2 线为 l,若 l 与圆 C:x +y = 相切,求 a 的值. 4 解 依题意有:f(1)=a,f′(x)=2ax+ ∴l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0, ∵l 与圆相切, ∴ |2-a| 2 (x<2), x-2 2 2 x 2 x x a- 2 1 11 = ? a= , 2 8 +1 11 ∴a 的值为 . 8 题型二 导数与函数的单调性 求解函数 y=f(x)单调区间的步骤: (1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 y′=f′(x); (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间. 特别要注意定义域,写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连 接. 例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=(x-3)e ,x∈(0,+∞); (2)f(x)=x(x-a) . 解 (1)f′(x)=(x-3)′e +(x-3)(e )′=(x-2)e , 令 f′(x)>0,解得 x>2,又 x∈(0,+∞), ∴函数的单调增区间为(2,+∞),函数的单调减区间为(0,2). 2 x x x 2 x (2)函数 f(x)=x(x-a) =x -2ax +a x 的定义域为 R, 由 f′(x)=3x -4ax+a =0,得 x1= ,x2=a. 3 ①当 a>0 时,x1<x2. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞, ),(a,+∞), 3 单调递减区间为( ,a). 3 ②当 a<0 时,x1>x2, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,a),( ,+∞), 3 单调递减区间为(a, ). 3 ③当 a=0 时,f′(x)=3x ≥0,∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),即 f(x)在 R 上是单调递增的. 综上,a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞, ),(a,+∞),单调递减区间为( ,a); 3 3 2 2 2 2 3 2 2 a a a a a a a a a a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,a),( ,+∞),单调递减区间为(a, ); 3 3 a=0 时,函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞). 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=sin x,x∈[0,2π ]; (2)y=xlnx. 解 (1)函数的定义域是[0,2π ], f′(x)=cos x,令 cos x>0, π π 解得 2kπ - <x<2kπ + (k∈Z), 2 2 π 3π 当 x∈[0,2π ]时,0<x< ,或 <x<2π , 2 2 π 3π 令 cos x<0,解得 <x< , 2 2 π 3π π 3π 因此,f(x)的单调递增区间是(0, )和( ,2π ),单调递减区间是( , ). 2 2 2 2 (2)函数的定义域是(0,+∞), f′(x)=ln x+1,令 ln x+1>0 得 x>e-1, 因此,f(x)的单调递增区间是(e ,+∞),单调递减区间是(0,e ). 题型三 数形结合思想在导数中的应用 -1 -1 3 1.应用导数求函数极值的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号. 若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是 f(x)的极值点. 2.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极植与 f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为 最小值; 特别地,①当 f(x)在(a,b)上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,②当 f(x)在 (a,b)内只有一个极值点时,若在这一个点处 f(x)有极大(小)值,则可以断定 f(x)在该点 处 f(x)有极大(小)值,则可以断定 f(x)在该点处取


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