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2017-2018学年高一数学人教A版必修2课件:1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积_图文

新课标导学

数 学
必修② ·人教A版

第一章
空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1 2 3

自主预习学案

互动探究学案

课时作业学案

自主预习学案

北京奥运会结束后,国家对体育场馆都进行了改造,从专业比赛场馆逐步 成为公众观光、健身的综合性体育场馆,国家游泳中心也完成了上述变身,新 增了内部开放面积,并建成了大型的水上乐园.经营方出于多种考虑,近几年 内“水立方”外墙暂不承接商业化广告,但出于长远考虑,决定为水立方外墙

订制特殊显示屏,届时“水立方”将重新焕发活力,大放异彩.能否计算出
“水立方”外墙所用显示屏的面积?

1.柱体的表面积 平行四边形 ,一边是棱柱的侧棱, (1)侧面展开图:棱柱的侧面展开图是 ____________ 底面周长 ,如图①所示;圆柱的侧面展开图是______ 矩形 ,其 另一边等于棱柱的___________ 中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图②所示.

(2)面积:柱体的表面积S表=S侧+2S底.特别地,圆柱的底面半径为r,母线 2πrl ,表面积S表=___________. 长为l,则圆柱的侧面积S侧=________ 2πr(r+l) [归纳总结] 表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,常把 多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积,侧面积是指侧面的 面积,与表面积不同.一般地,表面积=侧面积+底面积.

2.锥体的表面积 三角形 拼成的,则侧面积 (1)侧面展开图:棱锥的侧面展开图是由若干个 ________ 和 ,如图①所示;圆锥的侧面展开图是 ______ 扇形 ,扇形的 为各个三角形面积的 ____ 母线 ,扇形的弧长等于圆锥的____________ 底面周长 半径是圆锥的______ ,如图②所示. (2) 面积:锥体的表面积 S表= S侧 + S 底 . 特别地,圆锥的底面半径为

r,母线长为l,则圆锥的侧面积S侧= πr(l+r) . πrl ,表面积S表=___________ _____

3.台体的表面积

梯形 拼接而成的,则侧面 (1)侧面展开图:棱台的侧面展开图是由若干个_______ 和 ,如图①所示;圆台的侧面展开图是扇环,其侧面积 积为各个梯形面积的 ____
可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图②所示. (2) 面积:台体的表面积 S 表 = S 侧 +S上底+S下底.特别地,圆台的上、下 底面半径分别为 r′ 、 r ,母线长为 l , π(r+r′)l 则侧面积S =____________ ,表面积


π(r2+r′2+rl+r′l) S表=______________________.

4.柱体的体积 两底面 之间的距离,即从一底面上任意一点向另一 (1)棱柱(圆柱)的高是指_______ 个底面作垂线,这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. Sh 特别地,圆柱的底面半径为r, (2)柱体的底面积S,高为h,其体积V=____.
2h π r 高为h,其体积V=______.

5.锥体的体积 顶点 垂足 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,_________ 与________ (垂线 与底面的交点)之间的距离.
1 Sh 3 (2)锥体的底面积为S ,高为h,其体积V=________.特别地,圆锥的底面半 1 2 径为r,高为h,其体积V=________. 3πr h

6.台体的体积 两个底面 (1)圆台(棱台)的高是指______________ 之间的距离. (2) 台 体 的 上 、 下 底 面 面 积 分 别 是 S′ 、 S , 高 为 h , 其 体 积 V =
1 ___________________. 3(S+ SS′+S′)h 特别地,圆台的上、下底面半径分别为r、r′,高为h,其 1 2 2 π( r + rr ′+ r ′ )h 体积V=________________________. 3

1.圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于 导学号 09024136 ( C ) A.72 B.42π C.67π D.72π

[解析] S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.

2.(2016· 葫芦岛市高一检测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 导学号 09024137 ( C ) A.2 C.6 B.4 D.8

[ 解析]

由三视图可知,该几何体是一个底面是一个腰长为 2 的等腰直角三

角形,高为 3 的直三棱柱. 1 该三棱柱的体积 V=Sh=2×2×2×3=6.∴选 C.

3 导学号 09024138 3. 已知圆锥 SO 的高为 4, 体积为 4π, 则底面半径 r=____.

[ 解析]

1 2 设底面半径为 r,则3πr ×4=4π,解得 r= 3,即底面半径为 3.

3 2 πa 4 4.一个圆锥的轴截面为边长为 a 的正三角形,则其表面积为________.

导学号 09024139

[ 解析]

a 如右图所示,圆锥的底面半径 r=2,母线长 l=a,则其表面积为 S

3 2 aa 表=πr(r+l)=π× ( +a)= πa . 22 4

互动探究学案

命题方向1 ?空间几何体的表面积
(2016· 全国卷Ⅱ文)如图是由圆柱与圆锥组 合 而 成 的几 何 体 的三 视 图 ,则 该 几 何体 的 表 面积为 导学号 09024140 ( C A.20π C.28π ) B.24π D.32π

[ 解析]

该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底

面圆的面积组成.其中,圆锥的底面半径为 2,母线长为 ?2 3?2+22=4,圆柱 的底面半径为 2,高为 4,故所求表面积 S=π×2×4+2π×2×4+π×22=28π.

『规律方法』

空间几何体的表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平

面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

〔跟踪练习 1〕圆柱的侧面展开图是邻边长分别为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱 的表面积为( C ) 导学号 09024141 A.6π(4π+3) C.6π(4π+3)或 8π(3π+1)
[ 解析]

B.8π(3π+1) D.6π(4π+1)或 8π(3π+2)

圆柱的侧面积 S侧 = 6π×4π = 24π2. 由于圆柱的底面周长和母线长不

明确,因此进行分类讨论:

①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底
=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1); ②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=

9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).

命题方向2 ?空间几何体的体积
已知一个三棱台上、 下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角 形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高 和体积. 导学号 09024142
[ 解析] 如图,在三棱台 ABC-A′B′C′中,O′、O 分别为上、下底面

的中心,D、D′分别是 BC,B′C′的中点,则 DD′是梯形 BCC′B′的高, 1 所以 S 侧=3×2×(20+30)×DD′=75DD′.

3 又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面面积之和为 S 上+S 下= 4 ×(202+302)=325 3(cm2). 13 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3,所以 DD′= 3 (cm), 3 10 3 3 O′D′= 6 ×20= 3 (cm),OD= 6 ×30=5 3(cm), 所以棱台的高 h=O′O = D′D -?OD-O′D′? =
2 2

13 3 2 10 3 2 ? 3 ? -?5 3- 3 ? =4 3(cm),

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 h V=3(S 上+S 下+ S上· S下) 4 3 3 3 3 2 2 = 3 ×( 4 ×20 + 4 ×30 + 4 ×20×30) =1 900(cm3).

『规律方法』

求几何体体积的常用方法:

(1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和 高都易求的形式即可.

(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱
锥等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.

〔跟踪练习 2〕 将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中, 量得水 面高度为 6 cm, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中, 则水面高 度为( B ) 导学号 09024143 A.6 3 cm B.6 cm C.2 18 cm D.3 12 cm [ 解析] 由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为 h,
h 圆锥的轴截面为正三角形,可设边长为 a,由右图可得, = 3 2a 3 1 3 2 r 2 3 ∴r= 3 h.故 V 圆柱=6×π×2 =24π(cm ), V 圆锥=3π· ( 3 h) · h. 1 , 2a 又 V 圆柱=V 圆锥,∴h=6 cm.
3 3

命题方向3 ?与三视图有关的几何体的表面积与体积
(2016· 浙江, 文)某几何体的三视图如图所
2 80 示(单位:cm),则该几何体的表面积是____cm ,体积 3 40 是____cm . 导学号 09024145

[解析] 由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体 和 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 组 合 而 成 的 , 故 表 面 积 为 S = 4×4×2 + 4×2×4 + 2×2×4=80(cm2),体积为V=4×4×2+2×2×2=40(cm3).

『规律方法』

(1)解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图,然

后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据. (2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成,求几何体的体积时, 依据需要先将几何体分割分别求解,最后求和.

〔跟踪练习 3〕(2016· 北京文)某四棱柱的三视图如 3 2 图所示,则该四棱柱的体积为______. 导学号 09024146

[ 解析]

通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形,则四棱柱的底面积 S

?1+2?×1 3 = =2,通过侧(左)视图可知四棱柱的高 h=1,所以该四棱柱的体积 V 2 3 =Sh=2.

命题方向4 ?简单组合体的体积与表面积
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 导学号 09024147 ( A )

1 A.3+π

2 B.3+π

1 C.3+2π

2 D.3+2π

[ 解析]

由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图

1 1 1 1 中 数 据 可 得 三 棱 锥 的 体 积 V1 = 3 × 2 ×2×1×1 = 3 , 半 圆 柱 的 体 积 V2 = 2 1 ×π×1 ×2=π,∴V=3+π.
2

『规律方法』

求组合体的表面积与体积的方法

(1)分析结构特征. (2)设计计算方法. 根据组成形式,设计计算方法,特别要注意“拼接面”面积的处理.利用

“切割”“补形”的方法求体积.
(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.

〔跟踪练习 4〕某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A ) 导学号 09024148 A.16+8π C.16+16π B.8+8π D.8+16π

[ 解析]

如图所示,该几何体是个组合体,其下面是半个圆柱,上面是个长

1 方体.该几何体的体积为 V=2×π×22×4+4×2×2=16+8π.

考虑问题不全面致误
把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的 体积. 导学号 09024149

[ 错解]

如图所示,设卷成的圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,

则根据题意有 2πr=4,h=l=2, 2 8 2 ∴r=π,∴V 圆柱=πr h=π. 8 故这个圆柱的体积为π.

[错因分析]

错误的原因是考虑问题不全面,出现漏解.事实上,把矩形卷

成圆柱时,也可以使4为圆柱的高,即母线长,使2为圆柱的底面周长.
[ 正解] 设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l.

如上图所示, 2 当 2πr=4,l=2 时,r=π,h=l=2, 8 ∴V 圆柱=πr h=π.
2

如下图所示, 1 当 2πr=2,l=4 时,r=π,h=l=4, 4 ∴V 圆柱=πr h=π.
2

8 4 综上所述,这个圆柱的体积为π或π.

〔跟踪练习 5〕一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积. 导学号 09024150

[ 错解]

由三视图知三棱柱的底面三角形是正三角形, 且底面边长为 2 3cm,

各侧面为矩形,侧棱长为 4 cm,所以三棱柱的侧面积为 S 侧=2 3×4×3=24 3 (cm2).

[ 错因分析]

侧视图中的数据 2 3cm 应为底面正三角形的高, 错解中误认为

是正三角形的边长.

[ 正解]

由三视图易知,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱

长为 4 cm,如图所示. 因为正三角形 ABC 和正三角形 A′B′C′的高为 2 3cm, 2 3 所以正三角形 ABC 的边长 AB=sin60° =4(cm). 故三棱柱的侧面积为 S 侧=4×4×3=48(cm2).
[ 警示] 键. 正确识读三视图是解答由三视图提供的几何体的面积与体积的关

转化思想在立体几何中的应用 ——割与补、等积变换
1.等积变换
(1)直线a∥b(如图(1)),c是a上一 点,则对于 a 上任一点 D ,有 S△ABC = S△ABD. (2)若平面α∥平面ABC,且平面α

经过点D,则对于平面α内任一点P,
有VD-ABC=VP-ABC. (3)对于三棱锥A-BCD,有VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC.

2.割与补 当一个几何体的形状不规则时,无法直接运用体积公式求解,这时一般通 过分割与补形,将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体,从而求出原 几何体的体积,这种方法就称为割补法.

如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正 方形,且△ADE、△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求多面体的体积. 导学号 09024151

[ 思路分析]

[ 解析]

如图,取 AD 中点 M,过 M 作 MN⊥EF 于 N,取 BC 的中点 G,过

G 作 GH⊥EF 于 H,则原几何体可分割为左棱锥 E-ADN、右棱锥 F-BCH、侧 1 面为矩形的三棱柱 ADN-BCH,且两锥高各是2,棱柱高 1,连接 EM,则 EM= 3 2 ,MN= 32 12 2 ? 2 ? -?2? = 2 .

1 2 1 1 2 1 2 2 2 ∴V=2×1× 2 ×1+2×3×2× 2 ×1×2= 4 + 12 = 3 .

〔跟踪练习 6〕三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB︰A1B1=1︰2,则三棱锥 A1- ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1 的体积之比为( C ) 导学号 09024152 A.1︰1︰1 B.1︰1︰2 C.1︰2︰4 D.1︰4︰4

[ 解析]

设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S.

1 1 1 4 ∴VA1-ABC=3S△ABC· h=3Sh,VC-A1B1C1=3S△A1B1C1· h=3Sh, 1 7 又 V 台=3h(S+4S+2S)=3Sh, ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 =3Sh- 3 - 3 =3Sh.∴体积比为 1︰2︰4.∴应选 C.

1. 长方体三个面的面积分别为 2、 6 和 9, 则长方体的体积是 导学号 09024153 (A ) A.6 3
[ 解析]

B.3 6

C.11

D.12

设长方体长、宽、高分别为 a、b、c,则 ab=2,ac=6,bc=9,相

乘得(abc)2=108,∴V=abc=6 3.

2. 圆锥的母线长为 5, 底面半径为 3, 则其侧面积等于 导学号 09024154 ( B A.15 B.15π C.24π D.30π

)

[解析] S侧=πrl=π×3×5=15π.

3.(2016 全国Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的表面积为 导学号 09024155 ( B ) A.18+36 5 C.90
[ 解析]

B.54+18 5 D.81

由三视图,知该几何体是一个斜四棱

柱,所以该几何体的表面积 S=2×3×6+2×3×3 +2×3×3 5=54+18 5,故选 B.

+2 2 4.棱台的上、下底面面积分别是 2,4,高为 3,则棱台的体积等于6 _______.

[ 解析]

1 体积 V=3(2+ 2×4+4)×3=6+2 2.

导学号 09024156

课时作业学案



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