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高中数学选修2-2知识点


高中数学选修 2----2 知识点
第一章 导数及其应用

一.导数概念的引入 1. 导 数 的 物 理 意 义 : 瞬 时 速 率 。 一 般 的 , 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。容易 n 知道,割线 PP 的斜率是 kn ? n

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P 趋近于 P 时,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 n xn ? x0 f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

数就是切线 PT 的斜率 k,即 k ? lim

?x ?0

3. 导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有 时也记作 y? ,即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?

? ?1

;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ;
x x 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a

6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e
x

x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

2)导数的运算法则

1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最 小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明

知识结构 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 数学归纳法 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” 包括 , ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都具有性质 P , S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素 也都具有性质 P. 演绎推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法 归纳推理 类比推理

M ·a S

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式 都正确的前提下,得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证 明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示: 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、 几何中的计算问题等.

第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi (a ? R, b ? R ) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2.相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d

⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

a 2 ? b2

⑷ z ? a ? bi z, z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数). 3.复数运算 ⑴复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;

⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分母实数化) 4.常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;

(7) ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ? 1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
? 1 ? 3i 2 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? 3n?1 ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1 2

2

(9 ) 设 ? ?

5.复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? 复平面内的点Z ? (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? 平面向量OZ ?

??? ?



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