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福州市2013届第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷

福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(文科)试卷
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 参考公式:
n

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b ?

?x y
i i ?1

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

n

? ? , a ? y ? bx

2 i

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.i 是虚数单位,复数 A.第一象限

2?i 在复平面上所对应的点在( 1? i
C.第三象限

) D.第四象限 U A B 阴影部分表示

B.第二象限 ) C.7

2.如图设全集 U 为整数集,集合 A={x∈N|1≤x≤8},B={0,1,2},则下图中 的集合的真子集的个数为( A.3 B.4 D.8

3.设命题 p:函数 y=cos2x 的最小正周期为 的是( ) B. ? p 为真 x y 值为( A.210 2 20 4 40

? ? ;命题 q:函数 y=sinx 的图象关于直线 x= 对称,则下列判断正确 2 2
C.p ? q 为真 D.p ? q 为真 5 60 6 70 8 80

A.p 为真

4.对于有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表:

? ? 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.52 x ? a ,据此模型来预测当 x=20 时,y 的估计
) B.210.5 C.211.5 D.212.5 )

? ? ? ? 5. a // b ”是“存在唯一实数 ? ,使得 a ? ?b ”的( “
A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 )
y 1 x -1 o x y y

6.函数 y= log 5 (1-x)的大致图象是(
y

o

o

1 x

o
1 x

B A D C 7.△ABC 中,若 sinB 既是 sinA,sinC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠B 的值是(

)

A.30

0

B.45

0

C.60

0

D.90

0

8.在区间[0, ? ]上随机取一个数 x ,则事件“sinx+cosx= A.

1 4

B.

1 3

C.

9.若运行如右图所示相应的程序,则输出 S 的值是(

WHILE i<=2012 S=S+1/(i*(i+1)) i=i+1 WEND PRINT S 高三数学(文科) —1— (共 8 页) END )

1 2

6 ”发生的概率为( 2 i=1 2 D. S=0 3

)

A.

2012 2011

B.

2011 2012

C.

2012 2013

D.

2013 2012

10.已知函数 f(x)=Msin( ? ? x ? ? )(M>0, ? >0,| ? |< ( )

? )半个周期内的图象如 图所示,则函数 f(x)的解析式为 2
y 2

? ? A.f(x)=2sin(x+ ) B.f(x)=2sin(2x- ) 6 6 ? ? C.f(x)=2sin(x- ) D.f(x)=2sin(2x+ ) 6 6
11.若点(m,n)在第一象限,且在直线 2x+3y=5 上,则 A.

?

?
6

o

? 3

x

2 3 ? 的最小值为( m n
D.5

)

24 5

B.

26 5
)

C.4

12.能够把圆 O:x2+y2=16 的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数” ,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是( A.f(x)=x3

B.f(x)=tan

x 2

C.f(x)= e ? e
x

?x

D.f(x)=ln[(4-x)(4+x)]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准方程为 3
? log 2 x , x ? 0 ,则函数 f(x)的零点为 x ?? 2 ? 1 , x ? 0




14.若函数 f(x)= ?

?x ? y ? 2 ? 1 15.已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)为平面区域 ? x ? 上的一个动点,则的最大 2 ? ? y?x
值是 。
x1 x x

16.已知点 A( x1 , 2 ),B( x 2 , 2 2 )是函数 y= 2 的图象上任意不同两点,依据图象可知线段 AB 总是位于 A、 B 两点之间函数图象的上方,因此有结论

2 x1 ? 2 x2 ?2 2

x1 ? x2 2

成立。运用类比思想方法可知,若点 A(x1,sinx1) , 成立。

B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(x∈(0, ? )) 的图象上任意不同两点,则类似地有 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在函数 y=3x+2 的图象上(n∈N*), (Ⅰ)证明:数列{ an+1} 是等比数例; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和。

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2sin ? x ? cos ? x+2 (I)求 ? 的值; 高三数学(文科) —2— (共 8 页)

3 cos2 ? x- 3 (其中 ? >0);且函数 f(x)的最小正周期为 ? ,

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

? 1 个单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来 的倍(纵坐标不变), 2 6

得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调区间。

19.(本小题满分 12 分) 某学校为促进学生的全面发展,积极开展丰富多样的社团活动,根据调查,学校在传统民族文化的继承方 面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示: 社团 泥塑 剪纸 年画 320 240 200 人数 为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,已知从“剪纸” 社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少 2 人。 (I) 求三个社团分别抽取了多少同学; (II)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务,已知 “剪纸”社团被抽取的同学中 有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率。

20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1, 2, P 是椭圆短轴的一个端点, F 点 且焦距为 6, 1F2 PF a b
的周长为 16。 (I)求椭圆 C 的方程; (II)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线 l 被椭圆 C 所截线段中点坐标。 5

21.(本小题满分 12 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAC 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AC 相切的直路 l (宽度不计),切点为 M,并把该地块分为两部分,现以 O 为坐标原点,以边 OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系, 若池边 AC 满足函数 y= ? 的距离为 t(0<t<2). (I)当 t=

1 2 x +2(0≤x≤2)的图象, 且点 M 到边 OA 2 y
A B

1 时,求直路 l 所在的直线方程; 2

(II)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到 最大值,最大值是多少? O x C

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx+bx2 的图象过点(1,0) (I)求 f(x)的解析式; (II)若 f(x)≥

t ? ln x (t 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; x
高三数学(文科) —3— (共 8 页)

(III)当 m>0 时,讨论 F(x)= f(x)+

x 2 m2 ? 1 在区间(0,2)上极点的个数。 ? 2 m

参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. y 2 ? 4 2 x 14. 1 或 0 15.3 16. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2
2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因点 (an , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 2 的图象上,? an?1 ? 3an ? 2 , 令 bn ? a n ? 1,故只需证 ?bn ?是等比数列, ··························· 分 ··········· ·········· ····· 2 ·········· ··········· ·····

bn?1 an?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 3 ? an ? 1? ? ? ? ? 3 , b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,················4 分 ··········· ····· ·········· ····· bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

?数列 ?bn ?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.
即数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列. ····················· 6 分 ··········· ·········· ·········· ··········· (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? 3
n ?1

, ········································8 分 ··········· ·········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ······· y

A ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········ ? an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ·········································9 分 B 所以数列 ?a n ?的前 n 项和

Sn ? (2 ? 1) ? (2 ? 3 ? 1) ? ??? ? 2 ? 3n?1 ? 1
C ? 2(1 ? 3 ? ??? ? 3n?1 ) ? n ····································· 分 ···································· 10 ·········· ··········· ··········· ···· O

x

1 ? 3n ? 2? ?n 1? 3

高三数学(文科) —4— (共 8 页)

··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ··········· ··········· ·········· ? 3n ? n ? 1. ···········································12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
3

··········· ··· 2 ·········· ···· ) , ··········· ···· 分

因为 ? ? 0 ,函数 f ( x) 周期为 ? ······························· 3 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 所以 T ?

2? ? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? ? ? ,所以 ? ? 1 ······························ 4 分 2? ? ? 个单位后得到函数 6 3 1 2? 纵坐标不变, 2 s i n? 2 的图象, x ( ) 再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍, 2 3 ) . 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 左 平 移

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

y ?2 sin[2( x?

?
6

2? ··········· ·········· ·········· 8 ·········· ··········· ·········· ) . ··········· ··········· ·········· 分 3 ? 2? ? k? 7? k? ? 由 - ? 2k? ? 4 x ? (k ? Z ) ?x? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ;得 2 24 2 24 2 3 2 ? 2? 3? k? ? k? 5? 由 ? 2k? ? 4 x ? (k ? Z ) ? ? 2k? (k ? Z ) ;得 ?x? ? 2 3 2 2 24 2 24 k? 7? k? ? 故函数 g ( x) 的增区间为[ - , ? ] (k ? Z ) ; 2 24 2 24 k? ? k? 5? 减区间为[ ], (k ? Z ) . ··························· 分 ·························· 12 ·········· ··········· ····· - , ? 2 24 2 24
得到函数 g ( x) ? 2sin(4 x ?

?) 3

?

?]

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抽样比为 x ,则由分层抽样可知, “泥塑” “剪纸” “年画”三个社团抽取的人数分别为 、 、 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······· 320x、 x、 x . ······································· 1 分 240 200

1 . ·······················2 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 40 1 1 1 故“泥塑”“剪纸”“年画”三个社团抽取的人数分别为 320 ? 、 、 ? 8 , 240 ? ? 6 , 200 ? ?5. 40 40 40
则由题意得 320 x ? 240 x ? 2 ,解得 x ? ···················································4 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ········ ·········· ··········· ··········· ·········· ········ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“剪纸”社团抽取的同学为 6 人,其中 2 位女生记为 A,B,4 位男生记为 C,D,E, F. ·················································6 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·········· ······ 则从这 6 位同学中任选 2 人,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, {C,D},{C,E},{C,F}, {D,E},{D,F}, {E,F}, 共 15 种. ··········································· 分 ··········· ·········· ··········· ·········· 8 ·········· ··········· ··········· ·········· 其中含有 1 名女生的选法为 {A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, 共 8 种; ··········································· 分 ·········································· 10 ·········· ··········· ··········· ·········· 含有 2 名女生的选法只有{A,B}1 种.

高三数学(文科) —5— (共 8 页)

故至少有 1 名女同学被选中的概率为

8 ?1 9 3 ··········· ······· ·········· ········ ? = . ·················· 12 分 15 15 5

20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则由题设得 ?

?

2c ? 6

? 2a ? 2c ? 16

,解得 ?

?a ? 5 2 2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16 , ?c ? 3

故所求 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ·································6 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 25 16

(Ⅱ)解法一、过点 ? 3, 0 ? 且斜率为 将之代入 C 的方程,得

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3? ,????????? 8 分 5 5

x 2 ? x ? 3? ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 . ····························· 9 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 25 25
2

因为 ? 3, 0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ·········10 分 ········· ········ 因为 x1 ? x2 ? 3 ,所以线段 AB 中点的横坐标为 纵坐标为

x1 ? x2 3 ? , 2 2

4 ?3 6 ? ? ? ? 3? ? ? . 5 ?2 5 ?

··········· ··········· ·········· · 分 ································ 11 ·········· ··········· ···········

故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ,? ? . ?2 5?

·····························12 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ·······

解法二、过点 ? 3, 0 ? 且斜率为

4 4 的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3? , ···············8 分 ··········· ···· ·········· ···· 5 5

因为 ? 3, 0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, 设两交点的坐标分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,中点 M 的坐标为 ( x 0 , y 0 )

? x12 y12 ? 25 ? 16 ? 1 (1) ? 则有 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? 25 16 ?
由(1)-(2)得,

··································9 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ?? 1 25 16



16( x1 ? x2 ) y ? y2 ?? 1 25( y1 ? y2 ) x1 ? x2



16 x0 4 4 ? ? ,又 y 0 ? ( x0 ? 3) ,····························· 11 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 25 y 0 5 5
高三数学(文科) —6— (共 8 页)

3 ? ? x0 ? 2 ? 所以 ? ?y ? ? 6 ? 0 5 ?
故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· , ? ? . ······························ 12 分 ?2 5?

21.(本小题满分 12 分) 1 解: (Ⅰ)∵ y ? ? x 2 ? 2 ,∴ y? ? ? x , 2 1 ∴过点 M (t , ? t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ?t , ·························· 2 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 2 1 1 y 所以过点 M 的切线方程为 y ? (? t 2 ? 2) ? ?t ( x ? t ) ,即 y ? ?tx ? t 2 ? 2 ; 2 2 B A 1 1 17 当 t ? 时,切线 l 的方程为 y ? ? x ? ???????????4 分 2 2 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,切线 l 的方程为: y ? ?tx ? t 2 ? 2 , 2 t t x 令 y ? 2 ,得 x ? .故切线 l 与线段 AB 交点为 F ( , 2) ,????5 分 O 2 2 C

1 1 令 x ? 2 ,得 y ? t 2 ? 2t ? 2 .故切线 l 与线段 BC 交点为 G (2, t 2 -2t+2) ????????6 分 2 2 地块 OABC 在切线 l 右上部分的区域为一三角形 ?FBG ,设其面积为 f (t ) , 1 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ······ FB ? BG , ······································ 8 分 2 1 1 1 ? ? 2- t) - t 2 +2t) ( ? ( 2 2 2 1 3 2 ··································· 10 ·········· ··········· ··········· ··· f (t )= t -t +2t (0<t ? 2) ···································· 分 8 3 ∵ f ?(t ) ? t 2 -2t+2 8 4 4 ∴当 t ? 0,) f (t ) 为单调递增函数;当 t ? ,) f (t ) 为单调递减函数, 时 ( ( 2 时 3 3 4 32 4 ∴当 t ? 时, f (t ) 的最大值为 f ( )= .·························· 11 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 3 27 3 400 ∴当点 M 到边 OA 距离为 m 时, 3 320000 2 地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为 m . ········12 分 ········ ······· 27
∴ f (t ) ? 22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ? bx 的图象过定点(1,0) ,??????????????1 分
2

把点(1,0)代入 f ( x) ? ln x ? bx 得 b ? 0 ,
2

所以 f ( x) ? ln x ,???????????????????????????????2 分 高三数学(文科) —7— (共 8 页)

t ? ln x 恒成立, x t t 即 ? ln x ? ln x 恒成立,得 ? 2ln x ,因为 x ? 0 , x x 所以 t ? 2x ln x ,········································ 分 ··········· ·········· ··········· ······· 3 ·········· ··········· ··········· ·······
(Ⅱ) f ( x) ? 令 h( x) ? 2 x ln x, h '( x) ? 2(ln x ? 1) , ···························· 4 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······

1 e 1 1 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x ) 在 ( , ??) 为增函数;·············· 6 分 ··········· ··· ·········· ··· e e 1 2 2 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· h( x) 的最小值为 h( ) ? ? ,故 t ? ? ; ·························· 7 分 e e e
当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x ) 在 (0, ) 为减函数; ················ 5 分 ··········· ····· ·········· ······ (Ⅲ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ln x ,所以 F ( x) ? ln x ?

1 e

x 2 m2 ? 1 ? x( x ? 0) 2 m

所以

1 m2 ? 1 F '( x) ? x ? ? ? x m

( x ? m)( x ? x

1 ) m

又 x ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 得, x1 ? m , x 2 ?

1 ··········· ·········· ·· 9 ·········· ··········· ·· . ··········· ··········· ·· 分 m

(1)当 m ?

1 ··· 10 ··· 时,得 m ? 1 , F ?( x) ? 0 , F (x) 在(0,2)为增函数,无极值点;···· 分 m

?0 ? m ? 2 1 1 ? (2)当 ? 且 m ? 时,得 ? m ? 2 且 m ? 1 ,根据 x、F ? x ?、F ? ? x ? 的变化情况检验,可知 F (x) 1 m 2 ?0 ? m ? 2 ?
··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········· 有 2 个极值点; ········································· 12 分

?0 ? m ? 2 ?m ? 2 1 ? ? (3)当 ? 1 或? 时,得 0 ? m ? 或 m ? 2 时,根据 x1、F ? x ?、F ? ? x ? 的变化情况检验,可 1 2 ?m ? 2 ?0 ? m ? 2 ? ?
··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· 知 F (x) 有 1 个极值点; ·····································13 分 综上, m ? 1 时, 当 函数 F (x) 在 (0, 无极值点; 0 ? m ? 2) 当

1 1 或 m ? 2 时,F (x) 有 1 个极值点; 当 ?m?2 2 2

··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 且 m ? 1 时, F (x) 有 2 个极值点. ······························ 14 分

高三数学(文科) —8— (共 8 页)



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