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人教A版数学必修二《4.1.1圆的标准方程》教案设计


4.1.1 圆的标准方程
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法求圆的标准方程. 2.过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力, 渗透数形结合思想, 通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力. 3.情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣. (二)教学重点、难点 重点:圆的标准方程 难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. (三)教学过程 教学环节 教学内容 在直角坐标系中, 确定直线的 基本要素是什 么? 圆作为平面 几何中的基本图形, 确定它的要素 又是什么呢?什么叫圆?在平面 复习引入 直角坐标系中, 任何一条直线都可 用一个二元一次方程来表示, 那么 圆是否也可用一个方程来表示 呢?如果能, 这个方程具有什么特 征? 确定圆的 基本条件为圆 引导学生自己证明 (x – 由学生回答,然后引入课题 设置情境 引入课题 师生互动 设计意图

心和半径, 设圆的圆心坐标为 A(a, a)2 + (y – b)2 = r2 为圆的方程, b),半径为 r (其中 a、b、r 都是常 得出结论. 数,r>0)设 M (x,y)为这个圆上 方程②就是圆心为 A (a, 通 过 学生自己 证明培养 学生的探 究能力. ①

任意一点,那么点 M 满足的条件 b)半径为 r 的圆的方程,我们 概念形成 是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r},由两点间的距离公式让学生 写出点的坐标适合的条件
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r

把它叫做圆的标准方程.

化简可得:(x – a)2 + (y – b)2 = r2②

6 – – 4 – – 2 – – –5 – –2 – – –4 – – –

A M 5

例 1 写出圆心为 A (2,–3) 断点 M1(5, –7),M 2 (? 5, ?1) 是否 在这个圆上. 分析探求: 可以从计算点到圆 心的距离入手. 探究: 点 M(x0, y0)与圆(x – a)
2 2 2

引导学生分析探究

半径长等于 5 的圆的方程 ,并判 从计算点到圆心的距离入手. 例 1 解:圆心是 A(2, –3),半径长等于 5 的圆的标 准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25. 把 M1 (5, –7), M2 ( ? 5 , (y +3)2 =25,左右两边相等, (1)(x0 – a)2 + (y0 – b)2>r2, 点 M1 的坐标适合圆的方程, 点在圆外. 所以点 M2 在这个圆上;把 程(x – 2) + (y +3) =25,左右
2 2 2 2 2

+ (y – b) = r 的关系的判断方法: –1) 的坐标代入方程(x –2)2 +

通 过 实例引导 学生掌握 求圆的标 准方程的 两种方法.

(2)(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2, M2 ( ? 5 ,–1)的坐标代入方 应用举例 点在圆上. (3)(x0 – a) + (y0 – b) <r , 两边 不相等,点 M2 的坐标不 点在圆内. 适合圆的方程,所以 M2 不在 这个圆上

例 2 △ABC 的三个顶点的坐 标是 A(5, 1), B(7, –3), C(2, – 8). 求它的外接圆的方程. 例 2 解:设所求圆的方程是 (x– a)2 + (y – b)2 = r2. ①

师生共同分析: 从圆的标 准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2 可知,要确定圆的标准方程, 可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数,(学生自己运算解

因为 A (5, 1), B (7, –3), C (2, 决) – 8) 都在圆上,所以它们的坐标 都满足方程①. 于是
?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(2 ? a) ? (?8 ? b) ? r

解此方程组,得
?a ? 2 ? ?b ? ?3 ? 2 ? r ? 25

所以,△ABC 的外接圆的方 程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例 3 已知圆心为 C 的圆 C. 师生共同分析: 如图确定

经过点 A(1,1)和 B(2,–2),且圆 一个图只需确定圆心位置与 心在 l : x – y + 1 = 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 比较例(2)、例(3)可得出△ ABC 外接圆的标准方程的两种求 法: 半径大小.圆心为 C 的圆经过 点 A(1,1)和 B(2,–2),由于 圆心 C 与 A、 B 两点的距离相 等, 所以圆心 C 在线段 AB 的 垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上, 因此圆心 C 是直

①根据题设条件,列出关于 a、 线 l 与直线 m 的交点, 半径长 b、r 的方程组,解方程组得到 a、 等于 |CA| 或 |CB|.( 教师板书解 b、r 得值,写出圆的根据确定圆 的要素, 以及题设条件, 分别求出 圆心坐标和半径大小, 然后再写出 圆的标准方程. 练习:课本 P127 第 1、3、4 题
C B A m

题过程)

例 3 解:因为 A (1,1), B (2,– 2),所以线段 AB 的中
3 1 点 D 的坐标为( , ? ),直 2 2

线 AB 的斜率 kAB =
?2 ? 1 = –3, 2 ?1

因为线段 AB 的垂直平分 线 l′的方程是 y+
1 1 3 ? (x ? ) , 2 3 2

即 x –3y –3 = 0. 圆心 C 的坐标是方程组
?x ? 3y ? 3 ? 0 的解. ? ?x ? y ?1 ? 0

解此方程组,得
? x ? ?3 ? ? y ? ?2

所以圆心 C 的坐标是 (–3,–2) . 圆心为 C 的圆的半径长 r =|AC|= (1 ? 3)2 ? (1 ? 2)2 = 5. 所以,圆心为 C 的圆的 标准方程是 (x + 3)2 + (y +2)2 =25. 1.圆的标准方程. 2.点与圆的位置关系的判断 归纳总结 方法. 3.根据已知条件求圆的标准 方程的方法. 课外作业 布置作业:见习案 4.1 第一课 时 学生独立完成 巩固深化 教师启发,学生自己比 较、归纳. 形成知识 体系



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