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内蒙古海拉尔第二中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题

内蒙古海拉尔第二中学 2015 年春学期期末考试

高一数学试题
考试时间:120 分钟 一.选择题(共 60 分,每题 5 分) 1.已知角 ? 的终边经过点(-4,3),则 cos? ? ( 4 A. 5 3 B. 5 C.- 3 5 4 D.- 5 ) 满分:150 分 )

2.已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限

? 所在的象限是( 2

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限角

3.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



5? 2? 2? 1? 1? 2? b C. b ? c D. b ? c 3 3 3 3 3 3 1 4.等比数列 ?an ? 中, a1 ? , q ? 2 ,则 a6 等于是( ) 8 1 1 A. ? 4 B.4 C. ? D. 4 4 5. 在△ ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是( ) 2? 1? b? c 3 3
B. c ?

6 ?? ?? ? 6.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? ,则下列结论不正确 的是( ...
A. e1 在 e2 方向上的投影为 cos ? C. e1 ? e2 ? 1 7.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

A. (0,

?
3

]

B. [

?

,? )

C. [

? ,? ) 3

D. (0,

? ] 6



??

?? ?

B. e1 ? e2

?? 2

?? ?2

? ? ?? ?

D. (e1 ? e2 ) ? (e1 ? e2 )

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?
B.向右平移

?
6

) 的图像

? 个长度单位 4 ? C.向左平移 个长度单位 2
A.向左平移

? 个长度单位 4 ? D.向右平移 个长度单位 2
) D. 2?

8. 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为( A.

? 2

B.

3? 2

C. ?

9. 如图 13 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此时 气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 13 A.120( 3-1)m B.180( 2-1)m C.240( 3-1)m D.30( 3+1)m

10.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0,5a5 ? 17a9 , 则在数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取最大值时,n 的 值等于 A. 12 ( ) B. 11 C. 10 D. 9 ( )

11.若 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值是 x y

A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 12. 若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正值是 ( π A. 8 ) 3π B. 8 π C. 4 3π D. 4

二.填空题(共 20 分,每题 5 分) 13.已知 tan ? ? 2 ,则 sin
2

? ? sin ? cos? ? 2cos2 ? ? ______________.
?

14.在△ABC 中,AB = 4,AC = 3, ?A ? 60 ,D 是 AB 的中点,则 CA ? CD ? ______.

??? ? ??? ?

b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ? ______________. 15.已知向量 a ? (2,1), a?

?

? ?

? ?

?

16.设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足

S5 S6 ? 15 ? 0 ,则 d 的取值范围是__________________ .

三.解答题(共 70 分) 17.(本题 10 分)已知函数 f ( x ) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

1 3

?
6

) , x? R .

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

18. (本题共 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a ? 3,cos A ?

6 ? ,B ? A? . 3 2

(1)求 b 的值;(2)求 ?ABC 的面积.

19. (本题 12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 , an?1 ? , n ? 1, 2, ??? . 3 an ? 1

(I)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

(II)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和. ? an ?

20. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及递增区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ?1 .

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

21 .( 本 题 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 长 , 且

(2c ? b) cos A ? a cos B . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值.

22. (12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

? ?

2 5 . 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? . 13

高一数学参考答案及评分标准
一. 选择题

1-5DBABA 6-10CBDAC 11-12CB
二. 13. 三. 填空题

4 ;14. 6 ;15. 5 ;16. (??, ?2 2) ? (2 2, ??) 5
解答题

17.解: (1) f (0) ? 2sin( ? (2) f (3? ?

?
6

) ? ?1
---------4 分

1 ? ? 10 5 ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 2 3 2 6 13 13 1 ? ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ,即 cos ? ? 3 6 2 5 5

?

∵ ? , ? ? ?0,

? ?? , ? 2? ?
12 4 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 13 5

2 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ?

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 18.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 π? 6 所以 sin B=sin? ?A+2?=cos A= 3 . 3 . 3

5 3 12 4 63 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 ----10 分

6 3 asin B 由正弦定理可得,b= = =3 2. sin A 3 3 3×

------6 分

π π 3 A+ ?=-sin A=- . (2)由 B=A+ 得 cos B=cos? 2 ? ? 2 3 由 A+B+C=π,得 C=π-(A+B), 所以 sin C=sin =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 3? × + × 3 ?- 3 ? 3 3 -----12 分

1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= × 3× 3 2× = . 2 2 3 2 19.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 满足

a ?1 1 1 1 1 2an 2 1 1 1 ? n ? ? .? a1 ? , an?1 ? .? ? 1 ? ( ? 1). 又 2 2 an 3 an ? 1 an ?1 2an an?1 2 an
?1 ? 1 1 2 1 1 a1 ? ,? ? 1 ? . 故数列 ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 3 a1 2 ? an ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可知: ? 设?Tn ?

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n . 即? ? n ? 1,? ? n ? n. an 2 2 2 an 2 an 2



1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 n-1 n ? Tn ? ? 3 ? ? ? n + n +1 , 2 2 2 2 2 2

由①—②得

1 1 (1- n ) 1 1 1 1 1 n 2 - n =1- 1 - n ? Tn ? + 2 ? 3 ? ? ? n - n +1 = 2 1 2 2 2 2 2 2 2n +1 2n 2n +1 12 1 n n(n ? 1) ?Tn ? 2- n-1 ? n . 又 ?1+2+3+? +n ? . 2 2 2
所以数列 ?

?n? n ? 2 n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 s ? 2? ? - n . 的前 n 项和为 ? n n 2 2 2 2 a ? n?

20.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f ( x) 的最小正周期为 ? 由? 解得 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

?

3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

所以 f ( x ) 的递增区间为 [? (Ⅱ)因为 ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z )
----6 分

?
6

?x? ?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

, 即x ?

?
6

2? . 3

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1.----12 分 6 6

?

21.解: (2sin C ? sin B)cos A ? sin A cos B ,则 2sin C cos A ? sin( A ? B) ? sin C ,

c o sA ?

1 ? , A? 故 2 3

----5 分



b c a 4 3 4 3 ? ? 得b ? sin B, c ? sin C sin B sin C sin A 3 3

所以 S ?

1 4 3 4 3 2? bc sin A ? sin B sin C ? sin B sin( ? B) 2 3 3 3

?2 sin B co Bs?

2 3 3

2

s iB n?

2 3

2

3 (

1 s Bi ? n2 2

3 B co ?s 2 ) 3

?

2 3 ? 3 sin(2 B ? ) ? 3 6 3
2? ? ? 7? , ? ? 2B ? ? 3 6 6 6


?0 ? B ?

1 ? 2 3 ? 3 3 3 ? ? sin(2 B ? ) ? 1, 0 ? sin(2 B ? ) ? ? 2 6 3 6 3 3 ---12 分

22. (Ⅰ) 【解析】

3 33 ; (Ⅱ) . 5 65

试题分析: (Ⅰ)?| a |? 1, | b |? 1

?

?

又 | a ?b| ?
2

? ?

4 5 3 5

? ? 4 ? 2 ? 2a ? b ? 5 ? cos ?? ? ? ? ? 3 5

? ? 3 ?a ?b ? 5

即 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

……………5 分

(法二) ? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?

?

? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? .
? ? 2 5 , ? a ?b ? 5


?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 c o?? s ????

4 , 5

3 ?c o s ?? ? ? ? ? . 5

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? ,

3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 ? sin ? ? ? 5 12 , ? cos ? ? , 13 13

? sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? 4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65
……………12 分



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