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河北唐山市2015届高三摸底考试数学(理)试题 Word版含答案


河北省唐山市 2015 届高三摸底考试数学(理)试题
说明: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两个部 分. 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑,如需改动,用橡 皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求) 1、已知集合 M={x|x≥-1},N={x|2-x2≥0},则 M∪N=( A.[-1,+∞) C.[- 2 ,+∞) 2、复数 z= 1 ? 3i ,则( 1 ? 2i A.|z|=2 C.z 的虚部为-i
x ?x 3、函数 f(x)= 2 ? 2 是( 2

)

B.[-1, 2 ] D.(-∞,- 2 ]∪[-1,+∞) ) B.z 的实部为 1 D.z 的共轭复数为-1+i ) B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 ) B.( a ,0)或(- a ,0) 2 2 D.(0, 1 )或(0,- 1 ) 8a 8a ) C. 15 16 D. ? 15 16

A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 4、抛物线 y=2ax2(a≠0)的焦点是( A.( a ,0) 2 C.(0, 1 ) 8a 5、已知 sin( ? ? x) ? 1 ,则 sin2x 的值为( 4 4 A. 7 8 B. 9 16

6、高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为 ( A. 1 3 ) B. 2 3 C. 1 2 D. 1 6

7、设向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值为( A. 3 2 B. 1 2 C.1 D.2

)

x ?1 ? ? 8、已知 a>0,x,y 王满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,且 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ? ? y ? a( x ? 3)

)

A.1

B.2

C. 1 4 ) C. ? 1 4

D. 1 2

9、执行如图所示的程序框图,则输出的 a=( A.5 B. 5 4

D. 4 5

10、将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象关于 x ? ? 对称,则 ω 2 6 的最小值是( A.6 ) B. 2 3 C. 9 4 D. 3 4 )

11、已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x-1)2-2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3

D.与 a 有关 )

12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为( A.5π B.12π C.20π D.8π

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、 ( x ? 2 y)8 的展开式中 x 6 y 2 的系数是___________. 14、实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3x+9y 的最小值是________________. 15、已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y ? 0 垂直,C 的一个 a 2 b2

焦点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为__________________. 16、 在△ ABC 中,AB ? 2 , 点 D 在边 BC 上,BD ? 2DC , cos ?DAC ? 则 AC+BC=_________________.

3 10 2 5 , , cos ?C ? 10 5

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)-(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题,解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=kn(n+1)-n(k∈R),公差 d 为 2. (1)求 an 与 k; (2)若数列{bn}满足 b1 ? 2 , bn ? bn?1 ? n ? 2 n (n≥2),求 bn.
a

18(本小题满分 12 分) 某大学外语系有 5 名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务,每名大学生都随机分配到奥体中心体 操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。 (1)求 5 名大学生中恰有 2 名被分配到体操项目的概率; (2)设 X,Y 分别表示 5 名大学生分配到体操、游泳项目的人数,记ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 E(ξ).

19(本小题满分 12 分)

如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)若 AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

20(本小题满分 12 分)

3 4 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点斜率为 2 5 5 a b ??? ? ??? ? 41 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时, PA ? PB ? ? 2
椭圆 C: (1)求 C 的方程; (2)证明: | PA |2 ? | PB |2 为定值.

21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2ex-ax-2(a∈R) (1)讨论函数的单调性; (2)若 f(x)≥0 恒成立,证明:x1<x2 时,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2(e x1 ? 1) x2 ? x1

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点 D. (1)求证:AT2=BT·AD; (2)E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠A.

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线 C:

? ? x ? ?2 ? ? 2 ? sin ? ? 2a cos? (a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

2 t 2 (t 为参数),l 与 2 t 2

24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? (1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围。

4 | ? | x ? m | (m>0) m

唐山市 2014—2015 学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

2(1-4n) 2 n 2[(3n-1)·4n+1] 所以 bn= + n?4 = . 9 3 9 明显,n=1 时,也成立. 2[(3n-1)·4n+1] 综上所述,bn= . 9

?11 分

?12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 5 名大学生中恰有 i 名被分到体操项目的事件为 Ai,(i=0,1,2,3,4,5), C5C3 5 则 P(A2)= 5 = . 2 16 (Ⅱ)ξ 的所有可能取值是 1,3,5. C5C3 C5C2 5 P(ξ=1)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)= 5 + 5 = ; 2 2 8 C5C4 C5C1 5 P(ξ=3)=P(A1+A4)=P (A1)+P(A4)= 5 + 5 = ; 2 2 16 C5C5 C5 1 P(ξ=5)=P(A1+A4) =P(A0)+P(A5)= 5 + 5 = . 2 2 16 则随机变量 ξ 的分布列为
[

2 3

?4 分
2 3 3 2

1 4

4 1

0 5

5

ξ P

1 5 8

3 5 16

5 1 16 ?10 分

5 5 1 15 则 ξ 的数学期望 E(ξ )=1× +3× +5× = . 8 16 16 8

?12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E, 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. 因为 DE?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. ?4 分 (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz. 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), 1 1 C1(0,1,2) D( , ,0), 2 2 1 1 → AD =( , ,0),→ AC1 =(0,1,2).?6 分 2 2 设平面 ADC1 的法向量 m=(x,y,z),则 ? 1 x+ 1 y=0, ? ?2 2 不妨取 m=(2,-2, 1). ? ?y+2z=0, 易得平面 ABA1 的一个法向量 n=→ AC =(0,1,0). m·n 2 cos<m,n>= = , |m||n| 3 平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值是 (20) (本小题满分 12 分) 解: 3 b 4 (Ⅰ)因为离心率为 ,所以 = . 5 a 5 4 当 m=0 时,l 的方程为 y= x, 5 2 2 x y a2 代入 2+ 2=1并整理得 x2= . a b 2 5 . 3

z A1 B1 E

C1

A B D

C

y

x

?9 分 ?10 分

?12 分

?2 分

设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0), 41 2 41 a2 2 2 → PA ·→ PB =-x0-y0=- x0=- · . 25 25 2 41 又因为→ PA ·→ PB =- ,所以 a2=25,b2=16, 2 x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. ?5 分 25 16 2 2 5 x y (Ⅱ)l 的方程为 x= y+m,代入 + =1并整理得 25y2+20my+8(m2-25)=0. 4 25 16 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 41 2 41 则|PA|2=(x1-m)2+y2 y ,同理|PB|2= y2 . 1= 16 1 16 2 41 41 则|PA|2+|PB|2= ( y2 +y2)= [(y +y )2-2y1y2] 16 1 2 16 1 2 2 41 4m 2 16(m -25) = - - =41. 16 5 25 ?8 分

[(

)

]

所以,|PA|2+|PB|2 是定值. (21)(本小题满分 12 分) 解:

?12 分

(Ⅰ)f ?(x)=2ex-a. 若 a≤0,则 f ?(x)>0,f (x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,则 a 当 x∈ -∞,ln 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 2 a 当 x∈ ln ,+∞ 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 2

( (

) )

?4 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知若 a≤0,f (x)在(-∞,+∞)上单调递增,又 f (0)=0,故 f (x)≥0 不恒 成立. a 若 a>0,则由 f (x)≥0=f (0)知 0 应为极小值点,即 ln =0, 2 所以 a=2,且 ex-1≥x,当且仅当 x=0 时,取“=”. 当 x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2(ex2-ex1)-2(x2-x1) =2ex1(ex2-x1-1)-2 (x2-x1) ≥2ex1(x2-x1)-2(x2-x1) =2(ex1-1) (x2-x1), f (x2)-f (x1) 所以 >2(ex1-1). x2-x1 注:若有其他解法,请参照评分标准酌情给分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)证明: 因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. 又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD. ?4 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC. 因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT=∠DBT=90?. 所以∠A=∠ATB=45?. ?10 分 ?7 分

?12 分

T F E A B M

C

D

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: 2 (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. ?4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t2-2(4+a) 2t+8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 2 2 由题设得(t1-t2) =|t1t2|,即(t1+t2) -4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2-5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1. ?10 分

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: 4 (Ⅰ)由 m>0,有 f (x)= x- +|x+m| m

|

|

4 4 +x+m = +m≥4, m m 4 当且仅当 m =m,即 m=2 时取“=”.所以 f (x)≥4. ≥ - x-

| (

)

|

?4 分

(Ⅱ)f (2)= 2-

|

4 + 2+m . m

| |

|

1+ 17 4 4 当 <2,即 m>2 时,f (2)=m- +4,由 f (2)>5,得 m> . m m 2 4 4 当 ≥2,即 0<m≤2 时,f (2)= +m,由 f (2)>5,0<m<1. m m 1+ 17 综上,m 的取值范围是(0,1)∪ ,+∞ . ?10 分 2

(

)



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