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上海格致中学2013届高三上学期第一次月考文科数学试卷


格致中学 2013 届高三上学期第一次月考 文科数学试卷
(测试 120 分钟内完成,总分 150 分,试后交答题卷)

班级____________姓名________________学号____________准考证号______________

友情提示:昨天,你既然经历了艰苦的学习,今天,你必将赢得可喜的收获! 祝你:诚实守信,沉着冷静,细致踏实,自信自强,去迎接胜利!
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 。把答案直接填写在答题卷的 相应位置上。 1、对于集合 A 、 B ,定义运算 A ? B ? x x ? A且x ? B ,若 A ? x ?1 ? x ? 1 ,

B ? ?x 0 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ______________。
2、若复数 z 满足 3、不等式

?

?

?

?

z 2 ? 1? i , (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? __________。 1 i

2a ? x ? 0 ( a ? 1 )的解集为_____________。 x ? a2 ?1

4、若 y ? f ? x ? 是函数 y ? 2x?1 的反函数,则 f ?1? ? ___________。 5、已知数列 ?an ? 为等比数列,且满足 a1 ? 2 , a4 ? _________。 6、若 ? 为锐角,且 sin ?
6

1 ,则数列 ?an ? 所有项的和为 4

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 sin ? ? ____________。 ?3 ? 3

2? ? 7、二项式 ? x ? ? 展开式中常数项为________。 x? ?
8、侧面展开图是半径长为 2cm 、圆心角为

2? 3 的扇形的圆锥的体积为___________ cm 。 3

9、用系统抽样法要从 180 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 180 名学生随机地从1 ? 180 编号,按编号顺序平均分成 20 组( 1 ? 9 号,10 ? 18 号,?,172 ? 180 号),若第 16 组 抽出的号码为 140 ,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是_________。

? x ? 2y ? 2 ? 10、若变量 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则 3x ? y 的最小值为_________。 ?4 x ? y ? ?1 ?
11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其十位数比个位数大的概率是 ____________。 12、已知数列 ?an ? 的各项均为正整数, S n 为其前 n 项的和,对任意 n ? N ,有
*

?3an ? 5 an为奇数 ? , 则 当 a1 ? 1 时 , an?1 ? ? an an为偶数,其中k为使an?1为奇数的正整数 ? k ?2

S1 ? S2 ? S3 ? S___________。 4 ?
? 1? a2 ? b2 ax 2 ? 2 x ? b ? 0 的解集为 ? x x ? ? ? ,且 a ? b ,则 13、已知二次不等式 的最 a? a?b ?
小值为___________。 14 、 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 ? ?1 , ?1 上 ,

? ?ax ? 1 ? 1 x ? 0 ? , 其中 a, b ? R , 若 f ? x ? ? ? bx ? 2 ? x ?1 0 ? x ? 1 ?

?1? ?3? 则 f ? ? ? f ? ? , a ? 2b 的值为___。 ?2? ?2?

二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 。每小题所给的四个选项中只有 一个是正确的,请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上。 15、函数 f ? x ? ? ? A) 0

? x2 ? 2x ? 3 x ? 0 的零点个数为 x?0 ??2 ? ln x
B) 1 C) 2 D) 3





16、一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个斜边水平,腰长为 2 的等腰直角三角 形,则这个三角形的面积为 A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 ( )

17、 a 、b 都是非零向量, 设 则下列四个条件: a ? ?b ; a / / b ; a ? 2b ; a ? b 。 ① ② ③ ④

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? a b 则其中可作为使 ? ? ? 成立的充分条件的有 a b





A) 0 个 B) 1 个 C) 2 个 D) 3 个 18、如图, E 、 F 分别为棱长为 1 的正方体的棱 A B1 、 B1C1 的中点,点 G 、 H 分别为面 1 对角线 AC 和棱 AA1 上的动点(包括端点) ,则下列关于四面体 E ? FGH 的体积正确
DC
AB
G

的是 A)此四面体体积只存在最大值; B)此四面体体积只存在最小值; C)此四面体的体积为定值; D)此四面体体积既存在最大值,也存在最小值。
第 18 题图





H1 D C1 F A1 B E1

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。每 题解题过程写在该题的答题框内,否则不计分。 19、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,满分 12 分) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 、 ak 、 S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值。

20、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分,满分 14 分) 在直三棱柱 A 1 B1C1 ? ABC 中, AC ? BC , D 为 AB 中点, CB ? 1 , AC ? 3 , 异面直线 C1D 与 A B1 所成角大小为 arccos 1 (1)画出此三棱柱的左视图和俯视图; (2)求三棱锥 C1 ? CBD 的体积。
A
主 视 图

1 。 4

A 1

B1

B

左 视 图

俯 视 图

21、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分,满分 16 分)
2 2 已知圆 G : x ? y ? 2 2 x ? 2 y ? 0 经过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及 a2 b2

上顶点 B 。 (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆外一点 M ? m, 0 ?? m ? a ? 倾斜角为

2 ? 的直线 l 交椭圆于 C 、 D 两点, 3

若点 N ? 3, 0 ? 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围。

22、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,满分 18 分) 定义非零向量 OM ? ? a, b ? 的“相伴函数”为 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( x ? R ) ,向 量 OM ? ? a, b ? 称为函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x的“相伴向量” (其中 O 为坐标原 点) 。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S 。 (1)已知 h ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos x ,求证: h ? x ? ? S ; (2)求(1)中函数 h ? x ? 的“相伴向量”模的取值范围; (3)已知点 M ? a, b ? 满足条件:a ? 3 且 0 ? b ? 3 ,向量 OM 的“相伴函数” f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值。当点 M 运动时,求 tan 2x0 的取值范围。

???? ?

???? ?

???? ?

23、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,满分 18 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? b (常数 k , b ? R )的图像过点 ? 4, 2? 、 ?16, 4 ? 两点。
k

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2) 问: 是否存在边长为 4 正三角形 ?PQ1Q2 ,使点 P 在函数 f ? x ? 图像上,Q1 、Q2 从 左至右是 x 正半轴上的两点?若存在,求直线 PQ2 的方程,若不存在,说明理由; (3)若函数 g ? x ? 的图像与函数 f ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,且不等式

g ? x ? ? g ? x ? 2 ? ? 2ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。

格致中学

二〇一二学年度第一学期 第一次测验

高三年级 数学(文科) 参考答案 (共 4 页)
一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1、 ? ?1, 0?

2、 10

3、 2a, a2 ?1

?

?

4、 1

5、 4

6、

2 6 ?1 6

7、 160

8、

16 2 ? 81

9、 5

10、 ?

3 2

11、

5 9

12、 38

13、 2 2

14、 10

二、选择题: (每小题 4 分,满分 16 分) 15、C 16、D 17、B 18、A

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。每 题解题过程写在该题的答题框内,否则不计分。 19、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,满分 12 分) 解: (1)由 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 可得: 2d ? 12 ? 8 即 d ? 2 ----------------------2’ 代入 a1 ? a3 ? 8 ,可得: a1 ? 2 -------------------------------------------------------4’

? an ? 2 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ----------------------------------------------------------------6’
(2)? Sn ?

? 2 ? 2n ? n ? n 2 ? n
2

-----------------------------------------------------------------8’

? ak 2 ? 4k 2 ? a1 ? Sk ?2 ? 2 ? ? k ? 2 ?? k ? 3? --------------------------------------------10’
2 化简可得: k ? 5k ? 6 ? 0 解得 k ? 6 ( k ? ?1 舍去)----------------------------12’

20、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分,满分 14 分) 解: (1) A B1 1 A 1 C 1 左视图为正方形-----------------3’ 俯视图为直角三角形-----------6’
主 左 视 视
1 图 1 图

C AB A

CB

(2)? AB / / A B1 , 1

??C1DB 为异面直线 C1D 与 A1B1 所成角
-------------------------------8’

1 俯

A

视 图

D 为 Rt?ABC 斜边 AB 中点, ?CD ? CB ,由三角形全等可得:

1 C1D ? C1B ,由 ?C1DB ? arccos 可得: C1D ? C1B ? 2 ------------------10’ 4

? AA ? 22 ?12 ? 3 --------------------------------------------------------------------12’ 1
1 1 3 1 ?VC1 ?CBD ? ? ? ? 3 ? -----------------------------------------------------------14’ 3 2 2 4
21、 (本题共 2 小题,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分,满分 16 分)
2 2 解: (1)? G : x ? y ? 2 2 x ? 2 y ? 0 与 x 轴、 y 轴交点为 2 2, 0 和 ? 0, 2? -----2’

?

?

? c ? 2 2 , b ? 2 ,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 12 ------------------------------------------4’ x2 y2 ? 1 ------------------------------------------------------------6’ ? 椭圆方程为: ? 12 4 (2)设直线 l 的方程为: y ? ? 3 ? x ? m? ( m ? 2 3 )----------------------------------7’

? y ? ? 3 ? x ? m? ? 2 2 可得: 10 x ? 18mx ? 9m ? 12 ? 0 ------------------------------8’ ? 2 2 ? x ? 3 y ? 12 ?
2 30 2 30 40 即? ----10’ ?m? 3 3 3 9m 2 ? 12 9m 设 C ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ----------------11’ 10 5 ???? ???? ? NC ? ND ? ? x1 ? 3, y1 ? ? ? x2 ? 3, y2 ? ? ? x1 ? 3? ? ? x2 ? 3? ? y1 y2
? 4 x1 x2 ? ? 3m ? 3?? x1 ? x2 ? ? 9 ? 3m2 ? 0 ----------------------------13’
2 化简得: 2m ? 9m ? 7 ? 0 可得: m ?

? ? 324m2 ? 40 ?9m2 ?12? ? 0 可得: m2 ?

? 7 2 30 ? 7 ,? m 取值范围为 ? , ? ---16’ ?2 3 ? 2 ? ?

22、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,满分 18 分) 解: (1)? h ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos x

? ? sin ? ? sin x ? ? 2 ? cos ? ? cos x ----------------------------------------2’

???? ? ? 函数 h ? x ? 的相伴向量 OM ? ? ? sin ? ,2 ? cos? ? ,? h ? x ? ? S ----------4’
(2)? OM ?

???? ?

? ? sin ? ? ? ? 2 ? cos ? ?
2

2

? 5 ? 4cos ? --------------------------------6’

???? ? ? OM

max

???? ? ? 5 ? 4 ? 3 ,? OM

min

? 5? 4 ?1

???? ? ? OM 的取值范围为 ?1, 3? ---------------------------------------------------------------10’
(3) OM 的相伴函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? 其中 cos ? ?

???? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ,

a a 2 ? b2

,sin ? ?

b a 2 ? b2

--------------------------------------------11’

当 x ? ? ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 即 x0 ? 2k? ?

?
2

? ? , k ? Z 时 f ? x ? 取得最大值--12’

? a ? ? ? tan x0 ? tan ? 2k? ? ? ? ? ? cot ? ? --------------------------------------------13’ 2 b ? ?
a 2 tan x0 b ? 2 -----------------------------------------14’ ? tan 2 x0 ? ? 2 2 b a 1 ? tan x0 ?a? ? 1? ? ? a b ?b? 2?
b ? 3? b 为直线 OM 的斜率,由几何意义知 ? ? 0, ? 3 ? --------------------------------15’ a ? a ?
令m ?

? 2 3? b , m ? ? 0, ,则 tan 2 x0 ? ? 3 ? 1 a ? ? m? m

当 m ? ? 0,

? ? ?

3? 1 ? 2 3? ? 时, m ? ? ? ??, ? ? -----------------------------------------17’ 3 ? m ? 3 ? ?

? tan 2 x0 ? ?? 3,0 -----------------------------------------------------------------------18’ ?

?

23、 (本题共 3 小题,其中第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,满分 18 分)

? k ? x ? 4 ? x ? 16 ?4 ? b ? 2 k 解: (1)把 ? 和? 分别代入 f ? x ? ? x ? b 可得: ? k ?16 ? b ? 4 ?y ? 2 ?y ? 4 ?
k k 化简此方程组可得: 16 ? 4 ? 2 ? 0 即 4k ? 2 4k ?1 ? 0

?

??

?

可得 4k ? 2 ,? k ?
1

1 ,代入原方程组可得: b ? 0 2

? f ? x ? ? x 2 ? x ---------------------------------------------------------------------4’
(2)由 ?PQ1Q2 边长为 4 可知:此三角形的高即点 P 的纵坐标为 4 ?

3 ? 2 3 --5’ 2

? 点 P 的坐标为 P 12, 2 3 -------------------------------------------------------------6’ ? 点 Q1 的横坐标为 xQ1 ? 12 ? 2 ? 10 ,即 Q ?10, 0 ? --------------------------------7’
? kPQ1 ? 2 3 ? ? 3 ,? 直线 PQ1 的倾斜角为 --------------------------------8’ 12 ? 10 3

?

?

? 这样的正三角形存在,且点 Q2 ?14, 0 ? ,
直线 PQ2 的方程为 y ?? 3 ? x ?14? 即 3 x ? y ? 14 3 ? 0 --------------------10’ (3)由题意知: g ? x ? 为 f ? x ? 的反函数,? g ? x ? ? x ( x ? 0 )------------------12’
2

? g ? x ? ? g ? x ? 2 ? ? 2ax ? 2 即 x2 ? ? x ? 2? ? 2ax ? 2 当 x ? 2 恒成立-----13’
2

? 2ax ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 即 a ?

2 x2 ? 4 x ? 2 当 x ? 2 恒成立,---------------------15’ 2x

? 只需求函数
又?

2 x2 ? 4 x ? 2 在 x ? ? 2, ?? ? 上的最小值即可, 2x

2 x2 ? 4 x ? 2 1 ? x ? ? 2 在 x ? ? 2, ?? ? 单调递增-----------------------------16’ 2x x

? 2 x2 ? 4 x ? 2 ? 1 1 1 ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ,? a ? ------------------------------------18’ 2 2x 2 2 ? ?min



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