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四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断性考试数学文试题 Word版含答案


绵阳市高中 2016 届高三第一次(11 月)诊断性考试 数学文试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题).第 I 卷.1 至 2 页,第 II 卷 2 至 4 页.共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在 本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回. 第 I 卷(选择题,共 50 分) 注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第 I 卷共 10 小题. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.集合 S={3,4, 5},T={4,7,8},则 S U T= (A){4} (C) {3,4, 5,7,8} (B){3,5,7,8} (D) {3,4, 4, 5, 7, 8}

2.命题“ ?x0 ? N , x02 ? 2 x0 ? 3 ”的否定为 (A) ?x0 ? N , x02 ? 2 x0 ? 3 (C) ?x0 ? N , x02 ? 2 x0 ? 3 (B) ?x ? N , x2 ? 2 x ? 3 (D) ?x ? N , x ? 2 x ? 3
2

3.己知幂函数过点(2, 2 ),则当 x=8 时的函数值是 (A) ? 2 2 (B)2 (C)2 2 (D)64 4.若 a, b, c ? R,且 abc ? 0 ,己知 P: a, b, c 成等比数列;Q: b = ac .则 P 是 Q 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且关于直线 x=一 (A) y ? sin( ?

5? 对称的函数是 12

x ? ) 2 3

(B) y ? sin( ?

x ? ) 2 3

(C) y ? sin(2 x ?

?
3

)

(D) y ? sin(2 x ?

?
3

)

6.在等差数列{ an }中,若 a4+a9+al4=36,则 2a10 ? a11 = (A)6 (B)12 (C)24 (D)36 7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若 c2 ? b2 ? 2ab,sin A ? 2 2 sin B , 则 cosC= (A)

2 2

(B)

2 4

(C)一

2 2

(D)一

2 4

-1-

?x ? y ? 0 ? 8.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x ? y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9.设函数 y=f(x),x ? R 满足 f(x+l)=f(x 一 l),且当 x ? (-1,1]时,f(x)=1 一 x2, 函数 g(x)= ? 数是 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15

?lg | x |, x ? 0 ,则 h(x)=f(x)一 g(x)在区间[-6,9]内的零点个 ?1, x ? 0

10. 直角△ABC 的三个顶点都在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上, 点M ( 的最大值是 (A) 2 +l (B) 2 +2 (C)

???? ???? ???? ? 1 1 , ) , 则| MA ? MB ? MC | 2 2
3 2 +2 2

3 2 +1 2

(D)

第 II 卷(非选择题共 100 分) 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答.作图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 第 II 卷共 11 小题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分, 11、· 函数 f ( x) ? 1 ? lg x 的定义域为 12,式子 tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值是
0 0 0 0



?? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 2 ? 13· 已知函数 f ( x ) ? ? x 其中 a>0, a ? 1 ,若对任意的 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , ? ? a ? a, x ? 2
恒有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) >0,则实数 a 的取值范围 14.已知 a , b 满足 log 2 a ? log 1 b ? 1 ,则 (1 ? 2a)(1 ? b) 的最小值为
2

. .

1 5.设集合 M 是实数集 R 的一个子集,如果点 x0 ? R 满足:对任意 ? >0,都存在 x ? M, 使得 0< | x ? x0 |? ? ;,称 x0 为集合 M 的一个“聚点”.若有集合: ①有理数集; ③ ?sin ②无理数 ④?

? ?

? | n ? N *? n ?1 ?

?

? ? ? | n ? N *? ? n ?1 ?
.(写出所有符合题意的结论序号)

其中以 0 为“聚点”的集合是

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos ? ,1 ? sin ? ), n ? (? cos ? ,sin ? )(? ? R) (1)若 m ? n ,求角 ? 的值; (2)若 | m ? n |? 3 ,求 cos2 ? 的值.

??

?

??

?

?? ?

17、(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项 a1=1,且 an+1=2an+ 1(n ? N *) (1)证明数列{ an +1}是等比数列,并求数列{ an }的通项公式; (2)记 bn ?

n ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn an ? 1

18.(本小题满分 12 分) 某民营企业家去年为西部山区 80 名贫困大学生捐资奖学金共 50 万元妥该企业家计划 从今年起(今年为第一年)10 年内每年捐资总金额都比上一年增加 10 万元,资助的 贫困大学生每年净增 a 人。· (l)当 a=10 时,在计划时间内,每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过 0.8 万元?请说明理由. (2)为使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过多少人? 19.(本小题满分 12 分) 已知如图,在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=6,点 D、E 是斜边 AB 上两点. (l)当点 D 是线段 AB 靠近 A 的一个三等分点时,求 CD? CA 的值; (2)当点 D、E 在线段 AB 上运动时,且∠DCE=30°,设∠ACD=θ , 试用θ 表示△DCE 的面积 S,并求 S 的取值范围.

??? ? ??? ?

-3-

20:(本小题满分 13 分) 已知 f(x)= ax ?
3

1 2 bx +cx-1 的导函数为 f '( x) ,且不等式 f '( x) ≥0 的解集为 2

{x|一 2≤x≤1}. (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线斜率是-3,求实数 a 的值;· (2)当 x ? [-3,0]时,关于 x 的方程 f(x)一 ma+1=0 有唯一实数解,求实数 m 的取 值范围. 21.(本小题满分 14 分) 己知函数 f(x)=ln(x+l)一 ax+1,其中 a ? R · (1)求 f(x)的单调区间;

(2)当 a=1 时,斜率为 k 的直线 l 与函数 f(x)的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其 中 x1 ? x2 ,证明: x1 ?

1 ? x2 k ?1

(3)是否存在 k ? Z,使得 f (x)+ax 一 2> k (1 ? ) 对任意 x>1 恒成立?若存在,请求 出 k 的最大值;若不存在,请说明理由.

2 x

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCBD BACCC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? ?? 11. ?10 ,

12. 3 13.a≥2

14.7

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解 :(1)∵ m⊥n, ∴ m·n=(cosα,1-sinα)·(-cosα,sinα)=0, 即-cos2α+sinα-sin2α=0. ……………………………………………………3 分 由 sin2α+cos2α=1,解得 sinα=1,

-4-

∴ ? ? 2k? ?

?
2

,k∈Z.…………………………………………………………6 分

(2) ∵ m-n=(2cosα,1-2sinα), ∴ |m-n|= (2 cos? )2 ? (1 ? 2sin? )2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

………………………………………………………9 分
1 , 2

∴ 5-4sinα=3,即得 sin? ? ∴ cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ?

1 . ……………………………………………………12 分 2

17.解:(1)由已知 an+1=2an+1,可得 an+1+1=2(an+1). ∴

a n ?1 ? 1 ? 2 (常数).………………………………………………………3 分 an ? 1

此时,数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ,于是 an=2n-1. ………………………………………6 分

n .…………………………………………………………………7 分 2n 1 2 3 n ∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 1 两边同乘以 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 2 1 2 n?1 1? 2
(2)∵ bn ?

? 1?
∴ Sn ? 2 ?

1 n ? n?1 , n 2 2

1 n ? n .…………………………………………………………12 分 n?1 2 2
……………………………2 分

18.解:(1)设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an,捐资总额为 bn. 则 an=80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ∴ 当 a=10 时,an=10n+70, ∴

bn 40 ? 10n ? ? 0.8 , an 10n ? 70

解得:n>8. ……………………………………………………………………5 分 即从第 9 年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. …6 分 (2)由题意:

bn ?1 bn ? (n>1), an ?1 an

-5-



40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,………………………………………………8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a

整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即 400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得 80-5a>0, 解得 a<16,……………………………………………………………………11 分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. ……………………………………………12 分 19.解:(1)在 Rt△ABC 中,AC=ABcos60? = 6? ∵ CD ? CA ? AD , ∴ CD? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

1 1 ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2×3×cos120? =6. …………………………………………………………………4 分 (2)在△ACD 中,∠ADC=180? -∠A-∠DCA=120? -θ,

3 3? 3 3 CD AC 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC
……………………… ………………5 分 在△AEC 中,∠ACE=θ+30? ,∠AEC=180? -60? -(θ+30? )=90? -θ,

3 3? 3 3 CE AC 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ……6 分 ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos ? sin A sin ?AEC


1 1 3 3 3 3 S ?DCE ? CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
? 27 1 ? ,………………………7 分 16 sin(120? ? ? ) ? c o ? s

令 f(θ)=sin(120? -θ)cosθ,0? ≤θ≤60? , ∵ f(θ)=(sin120? cosθ-cos120? sinθ)cosθ

?

3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2

?
? ?

3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? sin 2? 2 2 2 2
3 1 3 1 ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2 3 1 ? sin(2? ? 60?) ,………………………………………………10 分 4 2

由 0? ≤θ≤60? ,知 60? ≤2θ+60? ≤180? ,
-6-

∴ 0≤sin(2θ+60? )≤1, ∴

3 3 1 ? , ≤f(θ)≤ 4 4 2 1 4 3 ≤ , f (? ) 3

∴ 4(2 ? 3 ) ≤ ∴ S ?DCE ≥

27 (2 ? 3 ) , 4 27 (2 ? 3 ) .……………………………………………12 分 4

即 S ?DCE 的最小值为

20.解:(1) f ?( x) ? 3ax2 ? bx ? c , 由题意得 3ax2+bx+c≥0 的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴ a<0,且方程 3ax2+bx+c=0 的两根为-2,1. 于是 ?

c b ? ?2 , ? ?1 , 3a 3a

得 b=3a,c=-6a.………………………………………………………………2 分 ∵ 3ax2+bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}, ∴ f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. ∴ 当 x=-2 时 f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把 b=3a,c=-6a,代入得-8a+6a+12a-1=-11, 解得 a=-1. ……………………………………………………………………5 分 (2)由方程 f(x)-ma+1=0,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 ,

1 2

3 2 ax ? 6ax ? ma . 2 3 ∴ m ? x3 ? x 2 ? 6 x .…………………………………………………………7 分 2
即 ax3 ? 令 g ( x) ? x3 ?

3 2 x ? 6x , 2

∴ g?( x) ? 3x2 ? 3x ? 6 ? 3( x ? 2)( x ?1) . 列表如下: x (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

g ?( x)
g(x) ∴

g(x)在[-3,-2]是增函数,在[-2,0]上是减函数.……………………11 分

又∵ g (?3) ?

9 ,g(-2)=10,g(0)=0, 2 3 2 x ? 6x 有两个交点, 2

由题意知直线 y=m 与曲线 g ( x) ? x3 ? 于是

9 <m<10.…………………………………………………………………13 分 2

-7-

21.解:(1)∵ f ?( x) ?

1 ? a ,x>0, x ∴ 当 a<0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
当 a>0 时, x∈(0, )时 f ?( x) ? 0 , f(x)在(0, )上是增函数; x∈( f(x)在(

1 a

1 a

1 , +∞) 时 f ?( x) ? 0 , a

1 ,+∞)上是减函数. a

∴ 综上所述,当 a<0 时 f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当 a>0 时,f(x)的单调递增区间

1 1 ),f(x)的单调递减区间为( ,+∞).…………5 分 a a (2)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,
为(0, ∴ k?

y2 ? y1 ln x2 ? x2 ? ln x1 ? x1 ln x2 ? ln x1 ? ? ?1 , x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 . x2 ? x1

∴ k ?1 ? 要证 x1 ?

1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? , ? x2 ,即证 ? x2 x2 ? x1 x1 k ?1
x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 , x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 令

x2 1 ? t ( t ? 1 ),即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ). t x1

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),由(1)知, k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 , ∴ ln t ? t ? 1 .① 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 ),则 h?(t ) ? ? 2 ? 2 >0, t t t t ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 ).② t 1 1 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),即 x1 ? ? x2 .……………………9 分 t k ?1
(3)由已知 f ( x) ? ax ? 2 ? k (1 ? ) 即为 x(ln x ? 1) ? k ( x ? 2) ,x>1, 即 x(ln x ? 1) ? kx ? 2k ? 0 ,x>1. 令 g ( x) ? x(ln x ? 1) ? kx ? 2k ,x>1,则 g ?( x) ? ln x ? k . 当 k≤0 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在(1,+∞)上是增函数, 由 g(1)=-1-k+2k=k-1>0,则 k>1,矛盾,舍去. 当 k>0 时,由 ln x ? k >0 解得 x>ek,由 ln x ? k <0 解得 1<x<ek, 故 g ( x) 在(1,ek)上是减函数,在(ek,+∞)上是增函数, ∴ g ( x) min=g(ek)=2k-ek.

2 x

-8-

即讨论 g ( x) min=2k-ek>0(k>0)恒成立,求 k 的最小值. 令 h(t)=2t-et,则 h?( x) ? 2 ? et , 当 2 ? et >0,即 t<ln2 时,h(t)单调递增, 当 2 ? et <0,即 t>ln2 时,h(t)单调递减, ∴ t=ln2 时,h(t)max=h(ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2, ∴ 0<2ln2-2<2. 又∵ h(1)=2-e<0,h(2)=4-e2<0, ∴ 不存在整数 k 使 2k-ek>0 成立. 综上所述,不存在满足条件的整数 k.………………………………………14 分

-9-



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