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2014高考数学人教A版一轮复习课件:第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入_图文

第四章
第一节

目 录 平面向量、数系的扩充与复数的引入
平面向量的概念及其线性运算

第二节
第三节 第四节 专家讲坛

平面向量基本定理及坐标表示
平面向量的数量积及平面向量的应用 数系的扩充与复数的引入

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第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

[备考方向要明了] 考什么 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个 向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并 理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意 义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几 何意义. 怎么考 1.主要考查平面向量 的有关概念及线性 运算、共线向量定 理的理解和应用, 如2012年浙江T5, 辽宁T3等. 2.考查题型为选择题 或填空题.
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突 破 热 点 题 型

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

[归纳· 知识整合] 1.向量的有关概念
名称 向量 定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量,向量的大小也就是 长度 模 向量的 (或称 ) 长度为零 的向量叫做零向量,其方向是 任意 的,零 向量记作0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或 相反 的非零 向量叫做平行向量,平行向量 共线 平行 又叫 向量.规定:0与任一向量 长度 相等 且方向相同 的向量 长度 相等 且方向相反 的向量
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零向量 单位向量

平行向量
相等向量 相反向量

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第一节

平面向量的概念及其线性运算 [探究] 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗?
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回 扣 主 干 知 识

两向量共线是指两向量的方向一致吗? 提示:方向相同或相反的一组非零向量,叫做平行向 量,又叫共线向量,是同一个概念.显然两向量平行或共

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线,其方向可能相同,也可能相反.
2.两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同? 提示:平行向量也叫共线向量,这里的“平行”与两直 线(或线段)平行的意义不同,两向量平行时,两向量可以 在同一条直线上.
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

2.向量的线性运算
回 扣 主 干 知 识

向量 运算

定义

法则(或几何意 义)

运算律

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加法

求两个向量和的

(1)交换律: a+b= b+a
(2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c)

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运算

求a与b的相反向 减法 量-b的和的运算 叫做a与b的差
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a-b=a+(-b)

第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

向量 运算

定义

法则(或几何意义) |λ|| a| (1)|λa|= ______

运算律

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λ(μ a)=______ 求实数λ (λ μ) a (2)当λ>0时,λa与a的 (λ+μ)a= 与向量a 数乘 方向 相同 ;当λ<0时, _______ λa+μ a 的积的 λa与a的方向相反 ; λ(a+b)=λa+λb 运算 当λ=0时,λa0 =__ ______

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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[探究] 3.λ=0与a=0时,λa的值是否相等? 提示:相等,且均为0. 4.若|a+b|=|a-b|,你能给出以a,b为邻边的平行 四边形的形状吗? 提示:如图,说明平行四边形的两条对 角线长度相等,故四边形是矩形. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 充要 条件是存在唯一一个实数λ, b=λa 使得 . [探究] 5.当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa, 反之成立吗? 提示:成立.
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第一节

平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]

回 扣 主 干 知 识

1.下列说法中正确的是
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零 C.长度相等的两个向量是相等向量

(

)

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D.共线向量是在一条直线上的向量

解析:由于零向量与任意向量平行,故选项A错误;
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量,故C错 误;方向相同或相反的两个非零向量是共线向量,故 D错误.

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答案:B
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

??? ? 2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量 CD
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等于

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( ) ? ? ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? A.- BC +2 BA B.- BC -2 BA ? ? ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? C. BC -2 BA D. BC +2 BA ? ??? ? ??? ? ??? 解析: 如图, 由于 D 是 AB 的中点, 所以 CD = CB + BD
? ? ??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? = CB + BA =- BC + BA . 2 2

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答案:A
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,
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则向量a-b可表示为 A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2

(

)

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解析: 连接a,b的终点,并指向a的终点的向量是a-b. 答案:C

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

??? ? AC 5 4.(教材习题改编)点 C 在线段 AB 上,且CB=2,则 AC = ? ??? ? ??? ??? ? ________ AB , BC =________ AB .
AC 5 解析:如图,∵CB= , 2

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? ??? ? ??? ? 5 ??? ? 2 ??? ∴ AC = AB , BC =- AB . 7 7 5 2 答案: - 7 7

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

? ???? ???? ??? ? ??? 5 . ( 教 材 习 题 改 编 ) 化 简 OP - QP + MS - MQ 的 结 果 为

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______. ? ???? ???? ??? ? ??? 解析: OP - QP + MS - MQ ? ??? ? ??? ???? ???? =( OP + PQ )+( MS - MQ ) ??? ? ??? ??? = OQ + QS = OS . ??? 答案: OS

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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向量的概念
[例 1] 给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;
? ??? ? ??? ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四
边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;

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③若 a=b,b=c,则 a=c;
④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b;

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⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c.
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第一节

平面向量的概念及其线性运算 其中正确命题的序号是 ( )
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A.②③

B.①②

C.③④ D.④⑤ [自主解答] ①不正确,长度相等,但方向不同的向量
不是相等向量. ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC ,又

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A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四 ? ??? ? ??? 边形; 反之, 若四边形 ABCD 为平行四边形, 则 AB ∥ DC 且 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? | AB |=| DC |,因此, AB = DC .
③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c.

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④不正确.当 a=-b 时,也有|a|=|b|且 a∥b,故|a|= |b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.

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⑤不正确.未考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.

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[答案] A

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第一节

平面向量的概念及其线性运算
————————————

—————
回 扣 主 干 知 识

解决平面向量概念辨析题的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心— —方向和长度,如共线向量的核心是方向相同或相反,长 度没有限制;相等向量的核心是方向相同且长度相等;单

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位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;
零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任 意向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题.
——————————————————————————
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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1.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a= |a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且 |a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

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解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相
同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行, 则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反 向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是3. 答案:D
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第一节

平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算

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[例 2]

在△ABC 中,

? 1 ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? (1)若 D 是 AB 边上一点,且 AD =2 DB ,CD =3 CA +λ CB ,则 λ
= ( )

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??? ? (2)若 O 是△ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点, 且 2 OA ??? ? ??? ? + OB + OC =0,那么 ( ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A. OA = OD B. OA =2 OD ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? C. OA =3 OD D.2 AO = OD
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2 A.3

1 B.3

1 C.-3

2 D.-3

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

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? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? [ 自主解答 ] (1) 法一 : 由 AD = 2 DB 得 CD - CA = 2( CB - ??? ? ??? ? 1 ??? 2 ??? ? 2 CD ),即 CD =3 CA +3 CB ,所以 λ=3. ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? 2 ??? ? ??? 2 ??? 法二:因为 CD = CA + AD = CA +3 AB = CA +3( CB - CA ) ? 1 ??? 2 ??? 2 =3 CA +3 CB ,所以 λ=3. ??? ? ??? ? ??? ? (2)因为 D 是 BC 边的中点,所以有 OB + OC =2 OD ,所以 ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 OA + OB + OC =2 OA +2 OD =2( OA + OD )=0? OA + OD = ??? ? ??? ? 0? AO = OD .

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[答案] (1)A

(2)A

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 在本例条件下,若| AB |=| AC |=| AB - AC |=2,则 ? ??? ? ??? | AB + AC |为何值? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 解:∵| AB |=| AC |=| AB - AC |,
∴△ABC 为正三角形. ??? ? ??? ? ∴| AB + AC |=2 3.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算
————————————

—————
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平面向量线性运算的一般规律

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的
基本功,除利用向量的加法、减法、数乘运算外,还应充 分利用平面几何的一些定理.

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(2)在求向量时,要尽可能转化到平行四边形或三角 形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中

位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未
知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

2.如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C, 使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 ??? ? ??? ? 1 DB=3OB.设 OA =a, OB =b, ? ??? ? ??? 用 a,b 表示向量 OC , DC . ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? 解: OC = OB + BC = OB +2 BA = OB +2( OA - OB )= ? ??? ? ??? 2 OA- OB =2a-b. ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 2 ??? DC = OC - OD = OC - OB 3 2 5 =(2a-b)- b=2a- b. 3 3
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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共线向量定理的应用
[例 3] 设两个非零向量 a 与 b 不共线, ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:

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A、B、D 三点共线.

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算
??? ? ??? ? [自主解答] (1)∵ AB =a+b, BC =2a+8b, ??? ? CD =3(a-b), ? ? ??? ??? ? ??? ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b),
=2a+8b+3a-3b ??? ? =5(a+b)=5 AB . ??? ? ??? ? ∴ AB 、 BD 共线. 又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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(2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=± 1.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

————— ———————————— 1.共线向量定理及其应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向 量共线求参数的值.
(2)若 a, b 不共线, 则 λa+μb=0 的充要条件是 λ=μ=0, 这一结论结合待定系数法应用非常广泛.

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2.证明三点共线的方法 ??? ? ??? ? 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线.
——————————————————————————
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3.已知a,b不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD = ??? ? d, OE =e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),
是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存 在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. ??? ? ??? ? 解: 由题设知, CD = d- c= 2b- 3a, CE = e- c= (t
-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是 ??? ? ??? ? 存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka +2kb,
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为 a,b
? ?t-3+3k=0, 不共线,所以有? ? ?t-2k=0,

6 解之得 t=5.

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6 故存在实数 t=5使 C,D,E 三点在一条直线上.

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

? 1 个规律——向量加法规律
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起

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????? ????? ????? 点指向最后一个向量终点的向量,即 A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 +?+ ?????? ? ????? An?1 An = A1 An .特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为
零向量.

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? 2 个结论——向量的中线公式及三角形的重心
(1)向量的中线公式

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??? ? 1 ??? ? ? ??? 若 P 为线段 AB 的中点, O 为平面内一点, 则 OP = ( OA + OB ). 2
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平面向量的概念及其线性运算
(2)三角形的重心

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? ??? ? 1 ??? ??? 已知平面内不共线的三点 A、B、 C,PG = ( PA+ PB + 3

? ??? ??? ??? ??? ? ? PC )?G 是△ABC 的重心,特别地, PA+ PB + PC =0?P
为△ABC 的重心.
? 3 个等价转化——与三点共线有关的等价转化

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??? ? ??? ? ??? ? A , P , B 三点共线 ? AP = λ AB (λ≠0) ? OP = (1 - ? ??? ? ??? t)· OA+t OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,t∈R)? ??? ? ??? ? ??? ? OP =x OA+y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x
∈R,y∈R,x+y=1).
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

? 4 个注意点——向量线性运算应注意的问题
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(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时, 需将向量平移至共起点; (2)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被

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减向量的终点; (3)在向量共线的重要条件中要注意“a≠0”,否则λ

可能不存在,也可能有无数个;
(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题 1.从近几年新课标省份的高考可以看出,高考以 新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大, 且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇,具

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有考查形式灵活,题材新颖,解法多样等特点.
2.解决此类问题,首先需要分析新定义的特点, 把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,通过转化思想解 决,这是破解新定义信息题难点的关键所在.

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平面向量的概念及其线性运算
[典例]

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(2011· 山东高考)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐 ????? ????? ????? 标系中两两不同的四点,若 A1 A3 = λ A1 A2 (λ ∈ R) , A1 A4 =
????? 1 1 μ A1 A2 (μ∈R),且λ+μ=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2· 已

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知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下 面说法正确的是 ( )
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A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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[解析] 根据已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)],即(c,0)=λ(1,0), 从而得 c=λ;(d,0)-(0,0)=μ[(1,0)-(0,0)],即(d,0)=μ(1,0),得 d=μ. 1 1 1 1 根据 λ+μ=2,得 c+d=2.线段 AB 的方程是 y=0,x∈[0,1].若 C 是线 1 1 1 1 段 AB 的中点,则 c=2,代入 c+d=2 得,d=0,此等式不可能成立, 故选项 A 的说法不正确;同理选项 B 的说法也不正确;若 C,D 同时 1 1 1 1 在线段 AB 上,则 0<c≤1,0<d≤1,此时 c≥1,d≥1,c+d≥2,若等号 成立,则只能 c=d=1,根据定义,C,D 是两个不同的点,故矛盾, 故选项 C 的说法也不正确; 若 C, D 同时在线段 AB 的延长线上, 若 c>1, 1 1 1 1 1 1 1 d>1,则c+d<2,与c+d=2 矛盾,若 c<0,d<0,则 c+d是负值,与 c+ 1 1 1 1 1 1 1 = 2 矛盾,若 c >1 , d <0 ,则 <1 , <0 ,此时 + <1 ,与 d c d c d c+d=2 矛盾; [答案] D 故选项 D 的说法是正确的.
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平面向量的概念及其线性运算
[名师点评]

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1.本题具有以下创新点
(1)命题背景新颖:本题为新定义题目,用新定义考查 考生阅读能力与知识迁移能力. (2)考查知识新颖:本题把坐标系、向量、点与线段的

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位置关系通过新定义有机结合在一起,能较好地考查学生

的阅读理解能力和解决问题的能力.
2.解决本题的关键有以下两点 解决本题的关键是抓住两条:一是 A1,A2,A3,A4 1 1 四点共线;二是 λ+μ=2,同时应用排除法.
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平面向量的概念及其线性运算
[变式训练]

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1.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a= (m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np,下面说法错误的是 ( ) A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2 解析:若a与b共线,则有mq-np=0,故A正确;因为b⊙a =pn-qm,而a⊙b=mq-np,所以有a⊙b≠b⊙a,故B错误; 因为λa=(λm,λn),所以(λa)⊙b=λmq-λnp.又λ(a⊙b)= λ(mq-np)=(λa)⊙b,故C正确;因为(a⊙b)2+(a· b)2=(mq- np)2+(mp+nq)2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.

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答案:B
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

2.已知点 A、B、C 是直线 l 上不同的三个点,点 O 不在 ??? ? ??? ??? ? ? 2 直线 l 上,则关于 x 的方程 x OA+x OB + AC =0 的解 集为 A. ?
? ? - 1- C.? ? 2 ?

B.{-1}

(

)

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? 5 -1+ 5? ? D.{-1,0} , ? 2 ? ??? ? ??? ? 2 解析: 由条件可知, x OA+xOB 不 ??? ? 能和 AC 共线,即使 x=0 时,也不

满足条件, 所以满足条件的 x 不存 在.

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答案:A
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

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??? 1. 已知△ABC 的三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点 P 满足 PA ??? ? ??? ? ??? ? + PB + PC = AB ,则点 P 与△ABC 的关系为 ( ) A.P 在△ABC 内部

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B.P 在△ABC 外部
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C.P 在 AB 边所在直线上 D.P 是 AC 边的一个三等分点 ? ??? ??? ??? ? ? ??? 解析:∵ PA+ PB + PC = AB , ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ? ∴ PA+ PB + PC = PB - PA,∴ PC =-2 PA=2 AP ,
∴P 是 AC 边的一个三等分点. 答案:D
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平面向量的概念及其线性运算
( )
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2.平面向量 a,b 共线的充要条件是
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A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ∈R,使 b=λa D.存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0
解析: a, b 共线时, a, b 方向相同或相反, 故 A 错. a, b 共线时,a,b 不一定是零向量,故 B 错.当 b=λa 时,a,b 一定共线,若 b≠0,a=0,则 b=λa 不成 立,故 C 错.排除 A、B、C.

突 破 热 点 题 型

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答案:D
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

??? ? ??? 3.△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.设 CB =a,CA ??? ? =b,|a|=1,|b|=2,则 CD 等于 ( )

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突 破 热 点 题 型

1 2 A.3a+3b 3 4 C.5a+5b

2 1 B.3a+3b 4 3 D.5a+5b

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

解析: ∵CD 平分∠ACB,
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AC AD ∴BC=BD. ??? ? ??? 又∵ CB =a, CA =b,|a|=1,|b|=2, AD 2 ∴BD= . 1

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突 破 热 点 题 型

? ? ??? ? ??? ? ??? 1 ??? ∴ CD = CB + BD =a+ BA 3
? 1 ??? ??? =a+ ( CA - CB ) 3
1 2 1 =a+ (b-a)= a+ b. 3 3 3

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答案:B
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第一节

平面向量的概念及其线性运算

4.如图所示,在五边形 ABCDE 中,点 M、
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N、P、Q 分别是 AB、CD、BC、DE 的 中点,K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的中点, ??? 1 ??? ? 求证: KL = AE . 4 ??? ??? ??? ? 证明:任取一点 O, KL = OL - OK .

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突 破 热 点 题 型

∵K、L 为 MN、PQ 的中点. ? ? ??? ??? ? 1 ???? ???? ??? 1 ??? ∴ OK = ( OM + ON ), OL = ( OP + OQ ). 2 2 又∵M,N,P,Q 分别为 AB,CD,BC,DE 中点,

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第一节

平面向量的概念及其线性运算

回 扣 主 干 知 识

???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ∴ OM = ( OA+ OB ), ON = ( OC + OD ), 2 2
??? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? OP =2( OB + OC ), OQ =2( OD + OE ).
? ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? ??? ? 1 ∴ KL = OL - OK = [-( OM + ON )+( OP + OQ )] 2

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突 破 热 点 题 型

? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 = [-( OA+ OB + OC + OD )+( OB + OC + OD + OE )] 4

? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? = (- OA+ OE )= AE . 4 4

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

[备考方向要明了] 考什么 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

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突 破 热 点 题 型

演 练 知 能 检 测

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示 怎么考

回 扣 主 干 知 识

本节内容在高考中一般不单独命题,常常是结合向量的

其他知识命制综合性的小题,这些小题多属于中低档题,
问题常常涉及以下几个方面: (1)结合向量的坐标运算求向量的值,如2012年重庆T6 等. (2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示,如2012年

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突 破 热 点 题 型

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广东T3等.
(3)结合向量的垂直与共线等知识,求解参数问题,如 2011年北京T10等.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

[归纳· 知识整合]
1.两个向量的夹角 (1)定义

突 破 热 点 题 型

??? ? OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围 向量夹角 θ 的范围是 [0,π] ,a 与 b 同向时,夹角 θ
= 0 ;a 与 b 反向时,夹角 θ=π.

??? ? 已知两个 非零 向量 a 和 b,作 OA =a,

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π 如果向量 a 与 b 的夹角是 2 ,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b .
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(3)向量垂直

第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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突 破 热 点 题 型

2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理: 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于 这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ2,使a= λ1 e1 + λ2 e2 _______________. 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组 基底 . (2)平面向量的坐标表示: ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且 只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 (x,y) 叫做向 量a的坐标,记作a= (x,y) ,其中 x 叫做a在x轴上的坐标, y 叫做a在y轴上的坐标.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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??? ? ??? ? ②设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 A点 的 ??? ? 坐标,即若 OA =(x,y),则A点坐标为 (x,y) ,反之亦成
立.(O是坐标原点)

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突 破 热 点 题 型

[探究] 1.向量的坐标与点的坐标有何不同?
提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐 标是相同的,但起点、终点的坐标却可以不同,以原点 O 为 ??? ? 起点的向量 OA 的坐标与点 A 的坐标相同.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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3.平面向量的坐标运算
(1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a± b= (x1±x2,y1±y2) ; ??? ? (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = (x2-x1,y2-y1) ;

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突 破 热 点 题 型

(3)若 a=(x,y),则 λa=(λx,λy)



(4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b? x1y2=x2y1.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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[探究]

2.相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起

点和终点坐标可以不同吗?
提示:相等向量的坐标一定相同,但是起点和终点 ??? ? 的坐标可以不同. 如 A(3,5),B(6,8), 则 AB =(3,3);C(- ??? ? ??? ??? ? ? 5,3),D(-2,6),则 CD =(3,3),显然 AB = CD ,但 A, B,C,D 四点坐标均不相同.

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突 破 热 点 题 型

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件 x1 y1 能表示成x =y 吗? 2 2
提示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条

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突 破 热 点 题 型

x1 y1 件不能表示成x =y ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表 2 2 示为 x1y2-x2y1=0.同时,a∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0 等.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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[自测· 牛刀小试] 1.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),则c=( A.4a-2b C.-2a+4b B.4a+2b D.2a+4b )

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突 破 热 点 题 型

解析:设c=λa+μb,则有(6,4)=(λ,λ)+(-μ,0)= (λ-μ,λ),即λ-μ=6,λ=4,从而μ=-2,故c=4a

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-2b. 答案:A
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示 ( )
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2.下列各组向量中,能作为基底的组数为
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①a=(-1,2),b=(5,7); ②a=(2,-3),b=(4,-6); ③a=(2,-3),b=(12,-34). A.0 B.1 D.3 C.2

突 破 热 点 题 型

解析:对①,由于-1×7-2×5≠0,所以a与b不共线,
故a,b可作为基底;对②,由于b=2a,a与b共线,不 能作为基底;对③,由于-34×2+3×12≠0,所以a与b

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不共线,故a,b可作为基底.
答案:C
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

3.设向量a=(m,1),b=(1,m),如果a与b共线且方向相
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反,则m的值为
A.-1 C.-2
解析:设

(
B.1 D.2

)

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突 破 热 点 题 型

? ?m=λ, a=λb,则? ? ?1=mλ,

即 λ=± 1,又∵a 与 b 共线且方向相反, ∴λ<0,即 λ=-1.

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答案:A
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

??? ? 4. (教材习题改编)在?ABCD 中, AC 为一条对角线, AB =(2,4), ??? ? ??? ? 提 AC =(1,3),则向量 BD 的坐标为________. 升 学 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 科 解析:设 AD =(x,y),∵ AC = AB + AD 素
∴(1,3)=(2,4)+(x,y),
? ?1=2+x, ∴? ? ?3=4+y, ? ?x=-1, 即? ? ?y=-1,


突 破 热 点 题 型

??? ? ∴ AD =(-1,-1). ??? ? ??? ? ??? ? ∴ BD = AD - AB =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).

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答案:(-3,-5)
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),

若(a+b)∥c,则m=________.
解析:∵a+b=(1,m-1).∴(a+b)∥c,

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突 破 热 点 题 型

∴2-(-1)(m-1)=0,∴m=-1.
答案:-1

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

平面向量基本定理的应用
[例 1] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,

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突 破 热 点 题 型

??? ? ???? 1 ???? ??? ? 且 AN =2 NC ,BN 与 CM 相交于点 E,设 AB =a,AC =b,

??? ? 试用基底 a,b 表示向量 AE .

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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? 1 ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? 1 [自主解答] 易得 AN =3 AC =3b, AM =2 AB =2a,由 N,E, ??? ? ???? ??? ? 1 B 三点共线知,存在实数 m,满足 AE =m AN +(1-m) AB =3mb
+(1-m)a.

突 破 热 点 题 型

??? ? 1 AC =2na+(1-n)b.

???? ? ??? ? 由 C,E,M 三点共线知存在实数 n,满足 AE =n AM +(1-n)
1 1 所以3mb+(1-m)a=2na+(1-n)b.

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?1-m=1n, ? 2 由于 a,b 为基底,所以? ?1m=1-n, ?3 ??? ? 2 1 所以 AE =5a+5b.

?m=3, ? 5 解得? ?n=4, ? 5

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

—————

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应用平面向量基本定理表示向量的方法

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行
四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运 算,基本方法有两种: (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化 简,直至用基底表示为止;

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突 破 热 点 题 型

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(2)将向量用含参数的基底表示,然后列方程或方程
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组,利用基底表示向量的唯一性求解.

第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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1.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC, 1 且 AD=3BC,E,F 分别为线段 AD ??? ? ??? ? 与 BC 的中点.设 BA =a, BC =b,试用 a,b 为基底表 ? ??? ? ???? ??? 示向量 EF , DF , CD . ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 解: EF = EA + AB + BF =-6b-a+2b=3b-a, ???? ??? ? ??? ? ?1 ? 1 1 DF = DE + EF =-6b+?3b-a?=6b-a, ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ?1 ? 1 2 ? ? CD = CF + FD =-2b- 6b-a =a-3b. ? ?
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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平面向量的坐标运算
??? ? [例 2] 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB ??? ? ??? ???? ??? ? =a, BC =b, CA =c,且 CM =3c, CN =-2b.求:

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(1)3a+b-3c;

???? ? (2)M、N 的坐标及向量 MN 的坐标.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示
[自主解答] 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=
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(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). ???? ???? ??? ? (2)∵ CM = OM - OC =3c, ???? ??? ? ∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20). ??? ? ???? ??? ? 又∵ CN = ON - OC =-2b, ???? ??? ? ∴ ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ???? ? ∴N(9,2).∴ MN =(9,-18).
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

—————
回 扣 主 干 知 识

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平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运

算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,
则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一 原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的 应用.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

??? ? ??? ? ? 1 ??? 1 2.已知点A(-1,2),B(2,8)以及 AC = 3 AB , DA =- 3 ??? ? ??? ? BA ,求点C、D的坐标和 CD 的坐标.

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突 破 热 点 题 型

解:设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), ??? ? ??? ? 得 AC =(x1+1,y1-2), AB =(3,6), ??? ? ??? ? DA =(-1-x2,2-y2), BA =(-3,-6).

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? ? ??? ? 1 ??? ? ??? 1 ??? 因为 AC =3 AB , DA =-3 BA ,

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

? ?x1+1=1, 所以有? ? ?y1-2=2, ? ?x1=0, 解得? ? ?y1=4,

? ?-1-x2=1, 和? ? ?2-y2=2,

突 破 热 点 题 型

? ?x2=-2, 和? ? ?y2=0.

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所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0), ??? ? 从而 CD =(-2,-4).

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示 平面向量共线的坐标表示

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[例 3]

平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),

c=(4,1).
(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;

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(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;

(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.
[自主解答] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

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5 ? ? ?m=9, ?-m+4n=3, 所以? 得? ? ?2m+n=2, ?n=8. 9 ?
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
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16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=-13.

(3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
? ?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ? ??x-4? +?y-1? =5, ? ?x=3, 得? ? ?y=-1 ? ?x=5, 或? ? ?y=3.

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故 d=(3,-1)或(5,3).

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平面向量基本定理及坐标表示

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本例(2)成立的前提下,a+kc与2b-a是同向还是反向. 16 解:∵由例题知,k=-13.
? 25 10? 16 ∴a+kc=(3,2)-13(4,1)=?-13,13?, ? ?

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突 破 热 点 题 型

2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 5 ∴a+kc=13(2b-a), 5 又∵13>0,∴a+kc 与 2b-a 同向.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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利用两向量共线解题的技巧

(1)一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可 设所求向量为 λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于 λ 的 方程,求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量.
(2)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利 用“若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a∥b 的充要条件是 x1y2 =x2y1”解题比较方便.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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3.(1)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边 AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6), 则D点的坐标为________. (2)已知向量a=(m,-1),b=(-1,-2),c=(-1,2),

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若(a+b)∥c,则m=________.

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平面向量基本定理及坐标表示

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解析:(1)由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断 ??? ? ??? ? 该四边形 ABCD 是平行四边形.设 D(x,y),则有 AB = DC , 即(6,8)-(-2,0)= (8,6)-(x,y),解得 (x, y)=(0,-2),即 D 点的坐标为(0,-2).

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(2)由题意知 a+b=(m-1,-3),c=(-1,2),由(a+b)∥c 得(-3)×(-1)-(m-1)×2=0,即 2(m-1)=3,所以 m 5 = . 2

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5 答案:(1)(0,-2) (2) 2
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? 1 个区别——向量坐标与点的坐标的区别

??? ? 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量 OA =a,

突 破 热 点 题 型

点 A 的位置被向量 a 唯一确定, 此时点 A 的坐标与 a 的坐 标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x, ??? ? y),向量 a= OA=(x,y).
? 2 种形式——向量共线的充要条件的两种形式

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(1)a∥b?b=λa(a≠0,λ∈R);
(2)a∥b?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

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平面向量基本定理及坐标表示

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? 3 个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题

(1)注意 0 的方向是任意的;
(2)若 a、b 为非零向量,当 a∥b 时,a,b 的夹角为 0° 或 180° ,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;

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突 破 热 点 题 型

(3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能 x1 y1 表示成x =y ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2 2 2 -x2y1=0.

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平面向量基本定理及坐标表示

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易误警示——忽视向量平行的主要条件致误

[典例]

(2011· 湖南高考)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b

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=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________.

突 破 热 点 题 型

[解析]

设a=(x,y),x<0,y<0,则x-2y=0且x2

+y2=20,解得x=4,y=2(舍去),或者x=-4,y=-2,
即a=(-4,-2). [答案] (-4,-2)

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平面向量基本定理及坐标表示

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[易误辨析]

(1)解答本题易误认为“a与b的方向相反?a∥b”,致

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使出现增解(4,2),而造成解题错误.
突 破 热 点 题 型

(2)解决此类问题常有混淆向量共线与向量垂直的充

要条件致误.

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平面向量基本定理及坐标表示
[变式训练]

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1.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a- b,如果 c∥d,那么 ( )

A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向

B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

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突 破 热 点 题 型

解析: ∵a=(1,0), b=(0,1), 若 k=1, 则 c=a+b=(1,1), d=a-b=(1,-1).显然,c 与 d 不平行,排除 A、B. 若 k=-1,则 c=-a+b=(-1,1),-d=-a+b=(- 1,1),即 c∥d 且 c 与 d 反向,排除 C.
答案:D
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平面向量基本定理及坐标表示

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1 1 2 .若三点 A(2,2) , B(a,0) , C(0 , b)(ab≠0) 共线,则 a + b 的值等于 ________.

??? ? ??? ? 解析: AB =(a-2,-2), AC = (-2,b- 2),依题意,
有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab-2a-2b=0, 1 1 1 所以a+b= . 2

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突 破 热 点 题 型

1 答案: 2

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平面向量基本定理及坐标表示

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1.已知a1+a2+…+an=0,且an=(3,4),则a1+a2+…+ an-1的坐标为 ( )

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A.(4,3)
C.(-3,-4) 解析:∵a1+a2+…+an=0,

B.(-4,-3)
D.(-3,4)

∴(a1+a2+…+an-1)=-an=(-3,-4). 答案:C
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平面向量基本定理及坐标表示

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2.若α,β是一组基底,向量γ=x· α + y· β(x,y∈R), 则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在 另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ( A.(2,0) C.(-2,0) B.(0,-2) D.(0,2) )

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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解析:由题意,a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4). 设 a 在基底 m,n 下的坐标为(λ,μ),则 a=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ)=(2,4).

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? ?-λ+μ=2, 故? ? ?λ+2μ=4,

? ?λ=0, 解得? ? ?μ=2,

即坐标为(0,2).

答案:D

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

1 3 3.已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量2a-2b=
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A.(-2,-1) C.(-1,0)

B.(-2,1) D.(-1,2)

(

)

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?1 1? 3 ?3 3? 1 解析: 2a=?2,2?,2b=?2,-2?, ? ? ? ?

1 3 故2a-2b=(-1,2).
答案:D

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

4.如图,在平行四边形 ABCD 中,M,
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N 分别为 DC,BC 的中点,已知 ???? ? ???? ??? ? ??? ? AM =c, AN =d,试用 c,d 表示 AB , AD .

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解:法一:在△ADM 中,
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? ???? ??? ? ???? ? ? 1 ??? AD = AM - DM =c-2 AB ,①

??? ? ???? ???? ? 1 ??? 在△ABN 中, AB = AN - BN =d-2 AD ,② ??? ? 2 ??? ? 2 由①②得 AB =3(2d-c), AD =3(2c-d).
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平面向量基本定理及坐标表示

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??? ? ??? ? 法二:设 AB =a, AD =b,因为 M,N 分别为 CD,BC
???? 1 ???? ? 1 的中点,所以 BN =2b, DM =2a,于是有:
1 ? c = b + ? 2a, ? ?d=a+1b, 2 ? 2 ? a = ? 3?2d-c?, 解得? ?b=2?2c-d?, 3 ?

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??? ? 2 ??? ? 2 即 AB =3(2d-c), AD =3(2c-d).

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平面向量基本定理及坐标表示

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[备考方向要明了] 考什么 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向 量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运 算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系. 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量 方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
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平面向量基本定理及坐标表示 怎么考

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近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查,主

要以选择题、填空题的形式出现:
(1)直接利用数量积进行平面向量的运算,如2012年北京 T13,上海T12等.

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(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题,如
2012年新课标全国T13,江西T7等. (3)利用平面向量的数量积解决垂直问题.如2012年安徽 T11等.

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[归纳· 知识整合] 1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义 已知两个 非零 向量a和b,它们的夹角为θ,把数量 b .即a· |a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积),记作 a· b= |a||b|cos θ ,规定0· a=0. 2.向量数量积的运算律 a (1)a· b= b· b)=a· (λb) (2)(λa)· b= λ(a· c+b· c (3)(a+b)· c= a·
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

[探究] 根据数量积的运算律,判断下列结论是否成立.
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(1)a· b=a· c,则b=c吗?

(2)(a· b)c=a(b· c)吗?
提示:(1)不一定,a=0时不成立, 另外a≠0时,a· b=a· c.由数量积概念可知b与c不能确定; (2)(a· b)c=a(b· c)不一定相等. (a· b)c是c方向上的向量,而a(b· c)是a方向上的向量,当a

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与c不共线时它们必不相等.

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3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论 模 夹角 a⊥b 的充 要条件 |a· b|与|a||b| 的关系 几何表示 坐标表示 |a|=
2 x2 + y 1 1

a· a |a|=_____
cos θ= a· b

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x1x2+y1y2 2 2 2 + y · x + y |a||b| cos θ= x2 1 1 2 2

a· b=0 _________

x1x2+y1y2=0

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2 2 2 2 ? x + y ?? x + y |a||b| 1 1 2 2? |a· b|≤_____ |x1x2+y1y2|≤

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[自测· 牛刀小试]
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1.(教材习题改编)已知|a|=5,|b|=4,a· b=-10,则 a 与 b 的 夹角为 ( )

π A.3

2 B.3π

π C.6

5 D.6π

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解析:设 a 与 b 的夹角为 θ, 1 则 a· b=|a||b|cos θ=5×4cos θ=-10,即 cos θ=-2. 2 又∵θ∈[0,π],∴θ=3π.

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答案:B
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??? ? ??? 2.(教材习题改编)等边三角形 ABC 的边长为 1, BC =a,CA ??? ? =b, AB =c,那么 a· b+b· c+c· a 等于 ( )

A. 3 3 C.2

B.-3 3 D.-2

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解析: 由题意知|a|=|b|=|c|=1, 且 a 与 b 的夹角为 120° , b 与 c 的夹角为 120° ,c 与 a 的夹角也为 120° . 3 故 a· b+b· c+c· a=-2.
答案:D
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1 3.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a· b=-2,则|a+2b|= ( )

A. 2 C. 5

B. 3 D. 7

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解析: |a+2b|= |a+2b|2= |a|2+4a· b+4|b|2 = 1-2+4= 3.

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答案:B

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平面向量基本定理及坐标表示

4.(教材习题改编)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,若
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向量a+kb与a-kb垂直,则k=________.
解析:∵(a+kb)⊥(a-kb), ∴(a+kb)· (a-kb)=0, 即|a|2-k2|b|2=0. 又∵|a|=3,|b|=4, 9 3 ∴k =16,即 k=± 4. 3 答案:± 4
2

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5.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b) · c=30,则x=________. 解析:由题意可得8a-b=(6,3),又(8a-b)· c=30,c

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=(3,x),则18+3x=30,解得x=4.

答案:4

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平面向量数量积的运算
? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 设点 P, Q 满足 AP =λ AB ,AQ =(1-λ) AC , λ∈ R , 若 BQ · CP =
3 -2,则 λ= ( ) [例 1] (1)(2012· 天津高考)已知△ABC 为等边三角形,AB=2.

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???? | BM ?| AD 的长分别为 2、 1.若 M、 N 分别是边 BC、 CD 上的点, 且满足 ??? | BC | ??? ? ???? ? ???? | CN | ? ,则 AM · = ??? AN 的取值范围是________. | CD |
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-3± 2 2 1 1± 2 1± 10 A.2 B. 2 C. 2 D. 2 π (2)(2012· 上海高考)在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、 3

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(1)以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 ??? ? x 轴建立平面直角坐标系,则 B(2,0),C(1, 3),由 AP = ??? ? ??? ? ??? ? λ AB ,得 P(2λ,0),由 AQ =(1-λ) AC ,得 Q(1-λ, 3 ??? ? ??? (1-λ)),所以 BQ · (2λ-1,- 3) CP =(-λ-1, 3(1-λ))· 3 1 =-(λ+1)· (2λ-1)- 3× 3(1-λ)=- ,解得 λ= . 2 2

[自主解答]

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(2)建立平面直角坐标系,如图. 则
?5 B(2,0),C? ?2, ? ?1 3? 3? ? ? ? , D , ?. ? ? 2? 2? ?2

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?λ ?5 BM CN 3 ? 3? ? ? ? 令 BC =CD=λ,则 M? +2, λ?,N? -2λ, ? ?. 2 2 2 2 ? ? ? ?

???? ? ???? ?λ ? ?5 ? 3 ? -2λ?+ λ=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6. ∴ AM · AN =?2+2?· ? ? ?2 ? 4 ???? ? ???? AN ∈[2,5]. ∵0≤λ≤1,∴ AM ·
[答案] (1)A (2)[2,5]
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平面向量数量积的类型及求法 (1)向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式 a·b =|a||b|cos θ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y2. (2) 求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向 量数量积的运算律或相关公式进行化简. 注意以下两个重要结论的应用: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2;
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②(a+b)·(a-b)=a2-b2.

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1.(2012· 江苏高考)如图,在矩形 ABCD 中, AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中 ??? ? ???? 点,点 F 在边 CD 上,若 AB · AF = ??? ? ??? ? 2,则 AE · BF 的值是________.
解析:以 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x, y 轴建立直角坐标系,则 B( 2,0),E( 2,1),D(0,2), ? ??? ? ??? C( 2,2).设 F(x,2)(0≤x≤ 2),由 AB · AF = 2? 2x ??? ? ??? ? = 2?x=1,所以 F(1,2), AE · (1- 2, BF =( 2,1)· 2)= 2.

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答案: 2
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平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的夹角与模的问题

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[例2] 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|.
[自主解答] (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, 解得 a· b=-6.∴cos -6 a· b 1 θ= = =- . |a||b| 4×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3

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(2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13,∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37. ∴|a-b|= 37.
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平面向量基本定理及坐标表示

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??? ? ??? ? 本例条件不变,若 AB =a, BC =b,试求△ABC的面积. ??? ? ??? ? 2 解:∵ AB 与 BC 的夹角 θ= π, 3

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2 1 ∴∠ABC=π- π= π. 3 3 ??? ? ??? ? 又| AB |=|a|=4,| BC |=|b|=3,

? ??? ? 1 ??? 1 3 ∴S△ABC= | AB || BC |sin ∠ABC= ×4×3× =3 3. 2 2 2

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平面向量基本定理及坐标表示 ————————————
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1.利用数量积求解长度问题的处理方法

(1)a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a.

(2)|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2.

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(3)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. 2.求向量夹角的方法

a· b (1)利用向量数量积的定义知,cos θ= ,其中两向 |a||b|

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量夹角的范围为 0° ≤θ≤180° ,求解时应求出三个量:a· b, |a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.
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(2)利用坐标公式,若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 x1x2+y1y2 cos θ= 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2

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(3)三角函数法,可以把这两个向量的夹角放在三角形 中;利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解.
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提 2.(1)已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α- 升 学 2β),求|2α+β|的值; 科 素 (2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°,|a|=1, 养 |b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与向量a的夹角.

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解:(1)∵β=(2,0), ∴|β|=2,又 α⊥(α-2β), ∴ α· (α-2β)=α2-2α· β=1-2α· β=0. 1 ∴ α· β=2.
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∴(2α+β)2=4α2+β2+4α· β=4+4+2=10.
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∴|2α+β|= 10.

(2)由已知得(a+b+c)· a=a2+a· b+a· c 3 =1+2cos 120° +3cos 120° =-2, |a+b+c|= ?a+b+c?2 = a2+b2+c2+2a· b+2a· c+2b· c = 1+4+9+4cos 120° +6cos 120° +12cos 120° = 3.
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设向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为 θ, 3 ?a+b+c?· a -2 3 则 cos θ= = =- 2 , |a+b+c||a| 3 即 θ=150° , 故向量 a+b+c 与向量 a 的夹角为 150° .

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平面向量的垂直问题
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[例3] 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算|a+b|;

(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).
[自主解答] (1)|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=16+ 3.
? 1? 2×4×8×?-2?+64=48,故|a+b|=4 ? ?

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(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)· (ka-b)=0, 即 ka2+(2k-1)a· b-2b2=16k-16(2k-1)-2×64=0, 解得 k=-7. 即 k=-7 时,两向量垂直.
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两向量垂直的判断方法及应用

(1)若 a,b 为非零向量,则 a⊥b?a· b=0;若非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的, 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两 大途径.
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??? ? ??? ? 3.在直角三角形ABC中,已知 AB =(2,3), AC =(1,k),求k
的值.

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解:(1)当 A=90° 时, ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ∵ AB ⊥ AC ,∴ AB · AC =0. 2 ∴2×1+3k=0,解得 k=-3.

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? ??? ? ??? (2)当 B=90° 时,∵ AB ⊥ BC , ??? ? ??? ? ??? ? 又 BC = AC - AB =(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),

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??? ? ??? ? ∴ AB · BC =2×(-1)+3×(k-3)=0,
11 解得 k= . 3 (3)当 C=90° 时, ??? ? ??? ? ∵ AC ⊥ BC ,∴1×(-1)+k(k-3)=0,

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3± 13 即 k -3k-1=0.∴k= . 2
2

2 11 3± 13 综上可得 k 的值为- 或 或 . 3 3 2

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平面向量数量积的应用
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[例4] 设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos
β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.

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[自主解答]

(1)由a与b-2c垂直,

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a· (b-2c)=a· b-2a· c=0, 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.
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(2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), |b + c|2 = sin2β + 2sin βcos β + cos2β+ 16cos2β- 32cos βsin β+16sin2β =17-30sin βcos β=17-15sin 2β,最大值为 32,

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所以|b+c|的最大值为 4 2.
(3)由 tan αtan β=16 得 sin αsin β=16cosα· cos β,即 4cos α· 4cos β-sin αsin β=0, 所以 a∥b.

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平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用 向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后 求解.

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(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的 模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,

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利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
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? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ??? ? ??? 4.在△ABC中,已知2 AB · | AC |=3| BC | ,求 AC = 3| AB |·
角A,B,C的大小.

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解:设 BC=a,AC=b,AB=c, ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ∵由 2 AB · | AC |得 2bccos A= 3bc, AC = 3| AB |· 3 ∴cos A= 2 , π 又∵A∈(0,π),∴A=6.

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? ??? ? 2 ??? ? ??? 由 3| AB |· | AC |=3| BC | 得 bc= 3a2,

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3 2 由正弦定理得 sin C· sin B= 3sin A= 4 , ∴sin
?5π ? C· sin? 6 -C?= ? ? ?1 ? C· ?2cos ?

3 4,

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即 sin

? 3 3 ? = C+ 2 sin C? 4 , ?

∴2sin C· cos C+2 3sin2C= 3, ∴sin 2C- 3cos 2C=0,
? π? ∴sin?2C-3?=0, ? ?

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π 5π 由 A=6知 0<C< 6 , π π 4π ∴-3<2C-3< 3 , π π 从而 2C-3=0 或 2C-3=π, π 2π 即 C= 6 或 C= 3 . π 2π π π π 2π 故 A= 6 , B= 3 , C = 6 或 A = 6 , B = 6 , C= 3 .

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? 3 个防范——与向量夹角有关的易误点

(1)若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角或 0° ;

(2)若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角或 180° ;
(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形

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??? ? ??? ? 的内角还是外角.如等边△ABC 中, AB 与 BC 的夹角应为 120°
而不是 60° .
? 4 个区别——向量运算与实数运算的区别

(1)在实数运算中,若 ab=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0.而在 向量数量积的运算中,不能从 a· b=0 推出 a=0 或 b=0 成立.实 际上由 a· b=0 可推出以下四种结论: ①a=0, b=0; ②a=0, b≠0; ③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但 a⊥b.
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(2)在实数运算中,若 a,b∈R,则|ab|=|a|· |b|,但对于向量 a,

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b 却有|a· b|≤|a|· |b|,当且仅当 a∥b 时等号成立.这是因为|a· b| = |a|· |b|· |cos θ|,而|cos θ|≤1.

(3)实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a. 在向量数量积的运算中,若 a· b=a· c(a≠0),则不一定得到 b

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=c. (4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满

足乘法结合律,即(a· b)· c 不一定等于 a· (b· c),这是由于(a· b)· c 表示一个与 c 共线的向量,而 a· (b· c)表示一个与 a 共线的向 量,而 c 与 a 不一定共线.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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创新交汇——平面向量与其他知识的交汇 1.平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容, 且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题, 且常考常新.

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2.此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化
途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条 件;二是利用向量数量积的公式和性质.

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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[典例] 定义 α ° β=

(2012· 广东高考)对任意两个非零的平面向量 α 和 β, α· β .若两个非零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 θ β· β a° b和
? ? ?n ? ? b° a 都在集合 2|n∈Z?中,则 ? ? ? ?

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?π π? ∈?4, 2?,且 ? ?

a° b=(

)
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5 A.2

3 B.2

C. 1

1 D.2

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平面向量基本定理及坐标表示

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[解析]

a· b |a||b| |a| |b| a° b= 2 = 2 cos θ= cos θ,b ° a= · cos θ,因为 b |b| |b| |a|

? ? ?n? ? 2 |a| ? ? ? n ∈ Z |a|>0,|b|>0,0<cos θ< ,且 a ° b、b ° a∈?2? ,所以 cos θ ? 2 |b| ? ?

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n |b| m m· n = , cos θ= ,其中 m,n∈N*,两式相乘,得 =cos2θ, 2 |a| 2 4 因为 0<cos θ< 1 即 a° b= . 2 2 1 ,所以 0<cos2θ< ,得到 0<m· n<2,故 m=n=1, 2 2

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[答案] D
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示
[名师点评]

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1.本题具有以下创新点 (1)本题属新定义问题,命题背景新颖;

(2)考查知识新颖, 本题把向量的数量积、 夹角、 不等式、 集合等问题通过新定义有机结合在一起,较好地考查了考 生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力.
2.解决本题的关键有以下几点 α· β (1)读懂、读透题目中所给的新定义 α ° β= 的意义. β· β

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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

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? ?n? (2)理解 a ° b 与 b° a 都在集合?2? ?n∈Z ? ?

? ? |a| ?中的实际意义是 ? |b| ?

|b| n cos θ 与 cos θ 都能表示成 (n∈Z)的形式. |a| 2

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1 (3)善于转化,通过两式相乘,将问题转化为 0<cos θ<2,
2

即 0<m· n<2 成立,从而求得结论.

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第二节

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[变式训练] ??? ? ???? 1.已知向量 OZ 与 OZ1 关于 x 轴对称,j=(0,1),则满足不等 ???? ??? ?2 ZZ1 ≤0 的点 Z(x,y)的集合用阴影表示为 式 OZ +j·

(

)

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解析:依题意得,动点Z的坐标满足:(x2+y2)+(0,1)· (0,

-2y)=x2+y2-2y≤0,即x2+(y-1)2≤1,易知该不等式
表示的平面区域是以点(0,1)为圆心,1为半径的圆及其 内部. 答案:C
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? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 2. 已知平面内的向量 OA , |OA |=| OB |=2, OB 满足: OA 与 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? π OB 的夹角为2 ,又 OP =λ1OA +λ2OB ,0≤λ1≤1,
1≤λ2≤2,则点 P 的集合所表示的图形的面积是 ( )

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A. 8

B. 4

C. 2

D. 1

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??? ? 解析:如图,以 O 为原点, OA 所在直 ??? ? 线为 x 轴, OB 所在直线为 y 轴,建立平面直角
坐标系,则 A(2,0),B(0,2),设 P(x,y),则由

??? ? ??? ? ??? ? OP =λ1 OA+λ2 OB ,得(x,y)=λ1(2,0)+λ2(0,2)
? ?x=2λ1, =(2λ1,2λ2),即? ? ?y=2λ2. ? ?0≤x≤2, 所以? ? ?2≤y≤4. ? ?0≤λ1≤1, 又因为? ? ?1≤λ2≤2,

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所以点 P 的集合为{(x,y)|0

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≤x≤2,2≤y≤4},它表示正方形区域(如图中 阴影部分所示),所以点 P 的集合所表示的图 形的面积为 2×2=4.

答案:B
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1.下列判断: ①若a2+b2=0,则a=b=0; ②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a· c|=|b· c|; ③a,b共线?a· b=|a||b|; ④|a||b|<a· b; ⑤a· a· a=|a|3; ⑥a2+b2≥2a· b; ⑦非零向量a,b满足a· b>0,则a与b的夹角为锐角; ⑧若a,b的夹角为θ,则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的 射影的数量. 其中正确的是________.
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解析:由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,则a=b=0,故① 正确; 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a· c= - b· c,所以|a· c|=|b· c|,②正确; a,b共线?a· b=±|a||b|,所以③错; 对于④,应有|a||b|≥a· b,所以④错; 对于⑤,应该是a· a· a=|a|2a,所以⑤错; a2+b2≥2|a||b|≥2a· b,故⑥正确; 当a与b的夹角为0°时,也有a· b>0,因此⑦错; |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量,可取全体实数, 而非射影长,故⑧错. 综上可知①②⑥正确. 答案:①②⑥
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??? ? ??? ? 2.平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知( DB + DC - ??? ? ??? ? ??? ? 2 DA)· ( AB - AC )=0,则△ABC 的形状是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形

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C.等腰直角三角形 D.无法确定 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 解析:由( DB + DC -2 DA )· ( AB - AC )=0, ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 得[( DB - DA )+( DC - DA )]· ( AB - AC )=0, ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 所以( AB + AC )· ( AB - AC )=0. ?2 ??? ? 2 ??? ??? ? ??? ? 所以| AB | -| AC | =0,故| AB |=| AB |,
故△ABC 是等腰三角形.

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答案: B
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3.已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,
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sin

??? ? ??? ? (1)若| AC |=| BC |,求角 α 的值;

?π 3π? α),α∈?2, 2 ?. ? ?

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??? ? ??? ? 2sin2α+sin 2α (2)若 AC · 的值. BC =-1,求 1+tan α ??? ? 解:(1)∵ AC =(cos α-3,sin α),
=(cos α,sin α-3), ??? ?2 ∴ AC =(cos α-3)2+sin2α=10-6cos α,

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??? ?2 BC =cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α. ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 由| AC |=| BC |,可得 AC = BC ,
即10-6cos α=10-6sin α,得sin α=cos α.
?π 3π? 5π ? ? , 又∵α∈ 2 2 ,∴α= . 4 ? ?

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??? ? ??? ? (2)由 AC · BC =-1,

得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α= .① 3

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2sin α+sin 2α 2sin α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α, sin α 1+tan α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α= , 9 5 ∴2sin αcos α=- . 9 2sin2α+sin 2α 5 ∴ =- . 9 1+tan α

2

2

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4.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上

? 1 ? ??? 一动点, 作 PQ⊥l, 垂足为 Q, 且? PC +2 ?
=0.

??? ? ? ? ??? ? ? 1 ??? ? PC - PQ PQ ?· 2 ??

? ? ?

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(1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求 ??? ? ??? ? PE · PF 的最值.

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平面向量基本定理及坐标表示

解:(1)设P(x,y),则Q(8,y).
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? 1 ? ??? 由? PC +2 ?

??? ? ? ? ??? ?? ? 1 ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? ? PC - PQ ?=0,得| PC | - | PQ | =0, PQ ?· 2 4 ?? ?

2 2 1 x y 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0,化简得 + =1. 4 16 12

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x2 y2 所以点P在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12 ??? ? ??? ? (2) PE · PF 的最大值为19; ??? ? ??? ? PE · PF 的最小值为12-4 3.

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平面向量基本定理及坐标表示

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[备考方向要明了] 考什么 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法和几何意义,会进行复数代数 形式的四则运算.

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3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

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怎么考 1.以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义,如 2012

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年北京T3,江西T5等. 2.以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算,特别是 除法运算,如2012年新课标全国T3,山东T1,浙江T2

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等.

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[归纳· 知识整合]
1.复数的有关概念 内容 意义 备注 设a,b都是实数,形如 若 b=0 ,则a+bi是实 复数的 a+bi 的数叫复数,其 数,若b≠0,则a+bi是 概念 中实部为 a ,虚部为 虚数,若 a=0且b≠0 , ___ 则a+bi是纯虚数 b ,i叫做虚数单位 a+bi=c+di?a=c且b 复数相 =d (a,b,c, 等 d∈R) a=c 且 b =- d a + b i与 c +di共轭? 共轭复 (a,b,c, 数 d∈R)
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第二节

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内容

意义

备注

建立平面直角坐标系来 实轴上的点都表 复平 表示复数的平面,叫做 示实数;除了原 面 复平面,x轴叫 实轴 , 点外,虚轴上的

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y轴叫 虚轴 . 点都表示纯虚数 ??? ? 复数 向量 OZ 的长度叫做复 |z|=|a+bi|= 的模 数z=a+bi的模 a2+b2

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平面向量基本定理及坐标表示

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[探究] a=0吗?

1.复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是

提示:不是,a=0是a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要

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条件,只有当a=0,且b≠0时,a+bi才为纯虚数.
2.复数的几何意义
??? ? 复数z=a+bi与复平面内的点 Z(a,b) 与平面向量 OZ (a,

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b∈R)是一一对应的关系.

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3.复数的运算
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(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ;

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②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ;
③乘法:z1· z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;

z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad ④除法:z = = = 2 2+ 2 2i c + d i ? c + d i ?? c - d i ? 2 c +d c +d (c+di≠0).
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平面向量基本定理及坐标表示 (2)复数的加法的运算定律

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复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、
z3∈C,有z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

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(3)复数的乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任

意z1,z2,z3∈C,有z1· z2 = z2 · z1 , ( z1 · z2)· z3 = z1 · ( z2 · z3 ) , z1 ( z2
+ z3 ) = z1 z 2 + z1 z3 .
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平面向量基本定理及坐标表示 [探究] 2.z1、z2是复数,z1-z2>0,那么z1>z2,这个
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命题是真命题吗? 提示:假命题.例如:z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2 =3>0,但z1>z2无意义,因为虚数无大小概念.
2 3.若z1,z2∈R,z 2 + z 1 2 =0,则z1=z2=0,此命题对

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z1,z2∈C还成立吗?
2 提示:不一定成立.比如 z1=1,z2=i 满足 z2 + z 1 2=0.

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但 z1≠0,z2≠0.

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[自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)复数z=(2-i)i在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

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解析: z=(2-i)i=2i-i2=1+2i
故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1,2),位于第

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一象限.
答案:A
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2+i 2.(教材习题改编)复数 的共轭复数是 1-2i

(

)

A. i 3 C.5i

B.-i 3 D.-5i

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2+i ?2+i??1+2i? 5i 解析:∵ = = =i, 1-2i ?1-2i??1+2i? 5 ∴其共轭复数为-i.

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答案:B

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3.(2012· 安徽高考)复数z满足(z-i)i=2+i,则z=( A.-1-i C.-1+3i B.1-i D.1-2i

)

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解析:设z=a+bi,则(z-i)i=-b+1+ai=2+i,由 复数相等的概念可知,-b+1=2,a=1,所以a=1, b=-1. 答案:B
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a+2i 4.已知 =b+i(a,b∈R)其中 i 为虚数单位,则 a+b i =________.
a+2i 解 析 : 根 据 已 知 可 得 i = b + i ? 2 - ai = b + i ?
? ?b=2, ? ? ?-a=1, ? ?b=2, 即? ? ?a=-1.

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从而 a+b=1.

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答案:1

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1+i a 5.设a是实数,且 + 2 是实数,则a=________. 1+i 1+i a-ai 1+i ?a+1?+?1-a?i a 解析: + 2 = 2 + 2 = 为 2 1+i
实数, 故 1-a=0,即 a=1.
答案:1

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复数的有关概念 1+ai [例 1] (1)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 2-i
a为 ( )

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A. 2

B.-2

1 C.-2

1 D.2

(2)(2012· 江西高考)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z是 z 的共扼复数,则 z2+ z 2 的虚部为
A. 0 B.-1 C. 1 D.-2
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(

)

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[自主解答]

1+ai ?1+ai??2+i? (1)若 = = 2-i ?2-i??2+i?

? ?2-a=0, ?2-a?+?2a+1?i 2-a 2a+1 = + i 为纯虚数, 则? 5 5 5 ? ?2a+1≠0,

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故 a=2.

(2)∵z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=0,∴z2+ z 2 的虚部为 0.

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[答案] (1)A

(2)A

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1+ai 若本例(1)中 为实数,则 a 为何值? 2-i

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1+ai ?1+ai??2+i? 2-a 2a+1 解:若 = = 5 + 5 i 为实 2-i ?2-i??2+i? 2a+1 1 数,则 5 =0,即 a=-2.

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平面向量基本定理及坐标表示

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解决复数概念问题的方法及注意事项 (1) 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为 复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数

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化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组
即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R) 的形式,以确定实部和虚部.
——————————————————————————
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平面向量基本定理及坐标表示

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1.(1)已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取 值范围是
A.(1,5) B.(1,3) 5) D.(1, 3)

(

)

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C.(1,

(2)设复数 z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为- z =a-bi,则 z-- z为
A.实数 B.纯虚数 C. 0

(
D.零或纯虚数

)

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平面向量基本定理及坐标表示

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解析:(1)由题意,z=a+i,故|z|= a2+1, ∵0<a<2,∴1<a2+1<5,从而 1< a2+1< 5, 即 1<|z|< 5. (2)∵z-- z =(a+bi)-(a-bi)=2bi,

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当 b=0 时,z-- z 为 0;当 b≠0 时,z-- z 为纯虚数.
答案:(1)C (2)D

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复数的几何意义
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[例 2] 点的坐标为

10i (1)(2012· 北京高考)在复平面内, 复数 对应的 3+ i ( )

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A.(1,3)

B.(3,1)

C.(-1,3)

D.(3,-1)

(2)(2013· 东营模拟)若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z z 表示复数 z,则表示复数 的点是 1+i A.E B.F ( )

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C.G

D.H
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[ 自主解答 ]

10i?3-i? 10?1+3i? 10i (1) 由 = = = 1 + 3i 10 3+i ?3+i??3-i?

得,该复数对应的点为(1,3).

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3+i ?3+i??1-i? 4-2i z (2)依题意得 z=3+i, = = = 2 1+i 1+i ?1+i??1-i? =2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1).

[答案] (1)A

(2)D

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—————
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复数所对应点的坐标的特点 (1)实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上; (2)若实部为正且虚部为正,则复数对应点在第一象限; (3)若实部为负且虚部为正,则复数对应点在第二象限; (4)若实部为负且虚部为负,则复数对应点在第三象限; 突 破 (5)若实部为正且虚部为负,则复数对应点在第四象限. 热 点 (6)此外,若复数的对应点在某些曲线上,还可写出代数 题 型 形式的一般表达式.如:若复数z的对应点在直线x=1上,则z =1+bi(b∈R);若复数z的对应点在直线y=x上,则z=a+ ai(a∈R),这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用.
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第二节

平面向量基本定理及坐标表示

回 扣 主 干 知 识

2.复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应 的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,求实数c的取 值范围.
解:在复平面内三点坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),

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突 破 热 点 题 型

??? ? ??? ? 由∠BAC 是钝角得 AB · AC <0,且 A,B,C 不共线,
49 由(-3,-4)· (c-3,2c-10)<0,解得 c> . 11 线,故 c≠9. 所以
? ? ? 49 c 的取值范围是?c?c>11 ,且c≠9 ? ? ? ? ? ?. ? ?

??? ? ??? ? 其中当 c=9 时, AC =(6,8)=-2 AB ,此时 A,B,C 三点共

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复数的运算
[例 3] (1)(2012· 山东高考)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为 ( )

虚数单位),则 z 为

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A.3+5i
突 破 热 点 题 型

B.3-5i D.-3-5i
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C.-3+5i

11-7i (2)(2012· 江苏高考)设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数 1-2i 单位),则 a+b 的值为________.

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[ 自主解答 ] 15+25i 5 =3+5i.

11+7i ?11+7i??2+i? (1) 由题意知 z = = = 2-i ?2-i??2+i?

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突 破 热 点 题 型

11-7i ?11-7i??1+2i? 25+15i (2)∵ = = 5 =5+3i=a+bi, 1-2i ?1-2i??1+2i? ∴a+b=8.
[答案] (1)A (2)8

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在本例(1)中,试求(1+z)· z 的值.

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解:∵z=3+5i,∴ z =3-5i ∴(1+z)· z =(4+5i)(3-5i)=12-20i+15i+25=37-5i.

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—————

————————————

复数的代数运算技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有 虚数单位i的看作一类,不含i的看作另一类,分别合并即 可,但要注意把 i 的幂写成最简单的形式,在运算过程中,

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要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.
——————————————————————————

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3.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-
(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,求 z1 , z2 .
解: z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i] =(5x-3y)+(x+4y)i,又 z=13-2i,
? ?5x-3y=13, 故? ? ?x+4y=-2, ? ?x=2, 解得? ? ?y=-1.

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于是,z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.
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? 1 个分类——复数的分类

对复数 z=a+bi(a, b∈R), 当 b=0 时, z 为实数; 当 b≠0 时,z 为虚数;当 a=0,b≠0 时,z 为纯虚数.
? 2 个技巧——复数的运算技巧

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(1) 设 z = a + bi(a , b∈R) ,利用复数相等和相关性质 将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.

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(2) 在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算
按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.
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? 3 个结论——复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计 算速度.
1+i 1-i (1)(1± i) =± 2i; =i; =-i; 1-i 1+i
2

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+2

(2)-b+ai=i(a+bi);

(3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+i4n
+ + + +

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+i4n 3=0,n∈N*.


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创新交汇——复数命题新动向

1.复数多以客观题的形式考查复数的概念及运算,
也经常将复数的基本概念与基本运算相结合,复数幂的 运算与复数除法相结合,复数的基本运算与复数的几何 意义相结合,复数与方程相结合,复数与集合相结合等 形成交汇命题. 2.解决此类问题的关键是把握复数的有关概念,根 据复数的运算法则准确进行化简运算.

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[典例] (2011· 陕西高考)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,
? ? 2,i为虚数单位,x∈R? ,则 ? ?

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? 1 ? ? x ∈ R} , N = x||x- i |< ? ?

M∩N ( )



A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1)

D.[0,1]

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[解析]

对于集合 M, 函数 y=|cos2x|, 其值域为[0,1], x2+1

所以 M=[0,1].根据复数模的计算方法得不等式

< 2,即 x2<1,所以 N=(-1,1),则 M∩N=[0,1).正确 选项为 C.
[答案] C
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[名师点评]

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提 升 学 不同于以往的复数高考题, 不是单独考查复数的基本知识,科 素 而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题,综合性较大,是 养

1.本题具有以下创新点

高考题的一个新动向.
突 破 热 点 题 型

2.解决本题的关键有以下几点 (1)弄清集合的元素. 集合 M 为函数的值域, 集合 N 为不 等式的解集,把 M、N 具体化. ? 1? (2)正确识别?x- i ?为复数的模,而非实数的绝对值. ? ?
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[变式训练]
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1. (2012· 上海高考)若 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c =0 的一个复数根,则 ( )

A.b=2,c=3 C.b=-2,c=-1

B.b=-2,c=3 D.b=2,c=-1
2

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突 破 热 点 题 型

解析: 由于 1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x +bx+c=0 的一个 根,则(1+ 2i)2+b(1+ 2i)+c=0,整理得(b+c-1)+(2 2+
? ?2 2+ 2b=0, 2b)i=0,则? ? ?b+c-1=0, ? ?b=-2, 解得? ? ?c=3.

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答案:B
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?1+x3?x∈R?, ? ? 2. 已知定义在复数集 C 上的函数满足 f(x)=?? ? x ? ? ??x?R?, 1 + i ?? ? ? f(f(1-i))等于________.



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解析:由已知得
突 破 热 点 题 型

?1-i? ?-2i? ? ? ? f(1-i)=? = ?1+i? ? 2 ?=|-i|=1, ? ? ? ?

故 f(1)=1+13=2, 即 f(f(1-i))=2.

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答案:2

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1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值 为 ( )

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A.-1
C.1

B.0
D.-1或1

解析:由复数的概念,若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯 虚数,则x2-1=0,且x-1≠0,解得x=-1.

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答案:A
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3 1 3 2 2. 复数 z= 2 -ai, a ∈ R, 且 z =2- 2 i, 则 a 的值为(

)

A. 1 1 C.2

B. 2 1 D.4
2

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解析: z

? =? ? ?

? 3 ?2 3 2 = - a - 3ai, - a i ? 4 2 ?

1 ?3 2 -a =2, ? 4 1 3 2 又 z =2- 2 i,? ?- 3=- 3a, ? 2
答案:C

1 得 a=2.

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3.把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位.若 z=1+i, 则(1+z)· z 等于 ( )

A.3-i C.1+3i

B.3+i D. 3

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解析: (1+z)· z =(1+1+i)(1-i)=3-i.
答案:A

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回 扣 主 干 知 识

4.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B、D两点 对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是 ________.
解析:设 AC 与 BD 的交点为 E,则 E
?5 ? 点坐标为?2,-1?, ? ?

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突 破 热 点 题 型

设点 C 坐标为(x,y),则 x=5,y=-2,故点 C 对应复数 为 5-2i.

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答案:5-2i

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平面向量中的三角形“四心”问题
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在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表 达形式具有许多重要的性质,在近年高考试题中,总会出

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突 破 热 点 题 型

现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且 培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如 下介绍:

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1.“四心”的概念与性质
回 扣 (1)重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距 主 干 离与该点到对边中点距离之比为 2∶1.在向量表达形式中,设点 G 知 ??? 识

是△ABC 所在平面内的一点, 则当点 G 是△ABC 的重心时, 有GA ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ??? ? +GB +GC =0 或 PG =3( PA+ PB + PC )(其中 P 为平面内任意一 演 突 破 练 ??? ? ??? ? ??? 热 知 点 ) .反之,若 + + = 0 ,则点 G 是△ ABC 的重心.在向 GB GC PA 点 能
题 量的坐标表示中,若 型

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G,A,B,C 分别是三角形的重心和三个顶 测



点,且分别为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则有 x x1+x2+x3 y1+y2+y3 = ,y= . 3 3
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(2)垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂 ? ??? ? ??? 回 直于对边.在向量表达形式中,若 H 是△ABC 的垂心,则 HA · HB 扣 ? ???? ???? ??? ? 2 ??? 2 ???? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ? 2 ??? 主 ??? = HB · HA 或 HA + BC = HB + CA = HC + AB .反 HC = HC · 干 知 ? ??? ? ???? ???? ??? ??? ? ??? ? 识 之,若 HA · HB = HB · HA ,则 H 是△ABC 的垂心. HC = HC ·

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突 演 破 练 角形内切圆的圆心,它到三角形三边的距离相等.在向量表达形 热 知 点 ? ??? ??? ??? ??? ? ?? ???能 ? 题 检 式中,若点 I 是△ ABC 的内心,则有 | |· + | |· + | |· BC CA IC IA IB AB 型 测

(3)内心:三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三

? ??? ??? ??? ??? ? ?? ? ??? =0.反之,若| BC |· IC =0,则点 I 是△ABC IA +| CA |· IB +| AB |·
的内心.
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向量表达形式中,若点O是△ABC的外心,则( OA + OB )· BA = ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB =( OC + OA)· AC =0或| OA |=| OB |=| OC |.反之, 突 ( OB + OC )· 破 ??? ? ??? ? ??? ? 热 若| OA |=| OB |=| OC |,则点O是△ABC的外心. 点
题 型

回 (4)外心:三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是 扣 主 干 三角形外接圆的圆心,它到三角形的三个顶点的距离相等.在 知 ? ??? ? ??? ? ??? 识

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2.关于“四心”的典型例题
提 回 [ 例 1] 已知 O 是平面上的一定点, A , B , C 是平面上不共线 升 扣 学 主 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? 科 干 的三个动点,若动点 P 满足 OP = OA+λ( AB + AC ),λ∈(0,+∞), 素 知 养 识

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心. ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? [解析] 由原等式, 得 OP - OA =λ( AB + AC ), 即 AP =λ( AB 演 突 破 练 ??? ? ??? ? ??? ? 热 知 + ) , 根据平行四边形法则, 知 + 是△ ABC 的中线所对 AB AC AC 点 能
题 型 应向量的

2 倍,所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.

检 测

[答案] 重

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[点评] 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三

角形中的哪些特殊线段所在直线重合,这可从已知等式出发,
利用向量的线性运算法则进行运算得之.
??? ? ??? ? ??? ? [例 2] 已知△ABC 内一点 O 满足关系 OA +2 OB +3 OC
=0,试求 S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值.

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1 1 回 扣 延长 OC 至 C1,使 CC1=2OC,连接 主 干 AB1,AC1,B1C1,如图所示, 知 ???? ??? ? ???? ??? ? 识

[解] 延长 OB 至 B ,使 BB =OB,

??? ? ???? ???? 则 OB1 =2 OB , OC1 = 3 OC ,由条件,得 OA + OB1 + OC1 =0,所

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1 以点 O 是△ AB C 的重心.从而 S = S = S = 1 1 突 △B1OC1 △C1OA △AOB1 3S,其 演
破 热中 点 题 型

S 表示△AB1C1 的面积, 1 1 1 1 1 1 所以 S△COA= S,S△AOB= S,S△BOC= S△B1OC= × S△B1OC1= S. 9 6 2 2 3 18 1 1 1 于是 S△BOC∶S△COA∶S△AOB= ∶ ∶ =1∶2∶3. 18 9 6

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??? ? ??? ? ??? ? [点评] 本题条件 OA+2 OB +3 OC =0 与三角形的重心性 ? ??? ??? ??? ? 质GA + GB +GC =0 十分类似,因此我们通过添加辅助线,构

造一个三角形,使点 O 成为辅助三角形的重心,而三角形的重 心与顶点的连线将三角形的面积三等分,从而可求三部分的面 积比.

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[ 引申推广 ] ??? ? ??? ? λ2 OB +λ3 OC =0,则 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=λ1∶λ2∶λ3.

??? ? 已知△ ABC 内一点 O 满足关系 λ1 OA +

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平面向量基本定理及坐标表示 求证:△ABC的垂心H、重心G、外心O三点共线,
??? ? 的重心 G,易知 OG X=
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[例3]

回 扣 且|HG|=2|GO|. 主 干 [证明] 对于△ABC 知 识 ??? ? ??? ? ??? ?

突 破 热 点 题 型

OA+ OB + OC , 2

? ??? ???? ??? ? ??? ? 对于△ABC 的垂心 H,设 OH =m(OA + OB + OC ),则 ???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AH = OA + m( OA + OB + OC ) = (m - 1) OA + m OB + ??? ? m OC .

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???? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 由 AH · BC = 0,得[(m-1) OA +m OB +m OC ]( OC - OB )

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= 0,
? ?2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? 2 ??? (m-1) OA· ( OC - OB )+m(OC - OB )=0, ??? ? ??? ? 因为|OC |=| OB |, ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 所以(m-1) OA· ( OC - OB )=0.但 OA 与 BC 不一定垂直, 所 ? ??? ???? ??? ? ??? ? 以只有当 m=1 时,上式恒成立.所以 OH = OA +OB + OC ,从

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突 破 热 点 题 型

??? ? 1 ???? ???? 而 OG = OH ,得垂心 H、重心 G、外心 O 三点共线,且| HG | 3 ??? ? =2|GO |.
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[引申推广]

? ???? ???? 1 ??? ? ??? 重心 G 与垂心 H 的关系: HG =3( HA + HB + HC ).

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[点评] 这是著名的欧拉线,提示了三角形的“四心”之间
突 破 热 点 题 型

的关系.我们选择恰当的基底向量来表示它们,当然最佳的向 量是含顶点 A、B、C 的向量.

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[例 4] 设 A1,A2,A3,A4,A5 是平面内给定的 5 个不同 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 点,则使 MA1 + MA2 + MA3 + MA4 + MA5 =0 成立的点 M 的个 数为 ( )

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A. 0

B. 1

C. 5

D.10

[解析] 根据三角形中的“四心”知识,可知在△ABC 中满 ???? ???? ???? 足 MA+ MB + MC =0 的点只有重心一点,利用类比的数学思 想,可知满足本题条件的点也只有 1 个.

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[答案] B
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[点评] 本题以向量为载体,考查了类比与化归,归纳与猜想等
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数学思想.本题的详细解答过程如下:对于空间两点 A,B 来说,满

???? ???? 足 MA+ MB =0 的点 M 是线段 AB 的中点;对于空间三点 A,B, ???? ???? ???? C 来说,满足 MA+ MB + MC =0,可认为是先取 AB 的中点 G,
再连接 CG,在 CG 上取点 M,使 MC=2MG,则 M 满足条件,且

突 破 热 点 题 型

???? ???? ???? ???? 唯一; 对于空间四点 A, B, C, D 来说, 满足 MA+ MB + MC + MD

=0,可先取△ABC 的重心 G,再连接 GD,在 GD 上取点 M,使 DM=3MG,则 M 满足条件,且唯一,不妨也称为重心 G;与此类

???? ???? ???? 似,对于空间五点 A,B,C,D,E 来说,满足 MA+ MB + MC + ???? ???? MD + ME =0,可先取空间四边形 ABCD 的重心 G,再连接 GE,
在 GE 上取点 M,使 EM=4MG,则 M 满足条件,且唯一.
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