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2016年极坐标与参数方程高考题的几种常见题型答案


极坐标与参数方程高考题的几种常见题型 1、⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? . (I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 解: (I) x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 由 ? ? 4 cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x . 即 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 为⊙O1 的直角坐标方程.同理 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为⊙O2 的直角坐标方程 (II)解:由 ? -x. 2、以直角坐标系的原点为极点, 轴非负半轴为极轴,在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线 的方程为 ,曲线 的参数方程为

? x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0

,两式相减得-4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为 y=

,点

是曲线

上的一动点.

(Ⅰ)求线段

的中点

的轨迹方程; (Ⅱ) 求曲线

上的点到直线 的距离的最小值.

[解析](Ⅰ)设中点

的坐标为

,依据中点公式有



为参数) ,

这是点

轨迹的参数方程,消参得点

的直角坐标方程为

. (5 分)

(Ⅱ)直线 的普通方程为

,曲线

的普通方程为



表示以

为圆心,以 2 为半径的圆,故所求最小值为圆心

到直线 .因此曲线

的距离减去半 上的点到直线

径,设所求最小距离为 d,则

的距离的最小值为

.

3、在极坐标系下,已知圆 O : ? ? cos? ? sin ? 和直线 l :
2 解: (1)圆 O : ? ? cos? ? sin ? ,即 ? ? ? cos? ? ? sin ?

? 2 ? sin(? ? ) ? 。(1)求圆
4 2

O 和直线 l 的直角坐标方程;当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 于圆 O 公共点的极坐标。

第 1 页 共 9 页

圆 O 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? x ? y ,即 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0

4 2 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 。
(2)由 ?

直线 l :

? 2 ,即 ? sin ? ? ? cos ? ?1 则直线的直角坐标方程为: ? si n? ( ? )?
?x ? 0 ? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1, ) 。 2 ?y ?1

?x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ? x ? y ?1 ? 0

得?

4、在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标 方程为 ? cos( ? ?

?
3

)=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点。

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。

? 解 : ( Ⅰ ) 由 ? cos( ? ? ) ? 1得 3
1 3 x? y ?1 即x ? 3 y ? 2 2 2 ? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0)

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

C

直 角 方 程 为
2 3 ) 3

(Ⅱ) M 点的直角坐标为 (2, 0) N 点的直角坐标为 (0,

? ?

?
2

时,? ?

2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

P 点的直角坐标为

(1.

3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), ? 3 3 6 直线 OP 极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??)

5、在直角坐标系

中,曲线

的参数方程为

( 的极坐标方程为

为参数) ,以原点



极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

(1)求曲线

的普通方程与曲线

的直角坐标方程;

(2)设

为曲线

上的动点,求点



上点的距离的最小值,并求此时点

的坐标.

[解析](1)由曲线





两式两边平方相加得:

即曲线

的普通方程为:

由曲线



得:

所以

即曲线

的直角坐标方程为:

(2) 由(1)知椭圆

与直线

无公共点,椭圆上的点
第 2 页 共 9 页

到直线

的距离为

所以当

时,

的最小值为

,此时点

的坐标为

6、在平面直角坐标系

中, 以

为极点,

轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

的极坐标方程为 两曲线相交于 , 两点.

, 直线 l 的参数方程为:

( 为参数) ,

(Ⅰ)写曲线 值.

直角坐标方程和直线 普通方程;(Ⅱ)若

, 求



[解析] (Ⅰ) (曲线

的直角坐标方程为

, 直线 的普通方程

. (4 分)

(Ⅱ) 直线 的参数方程为 , ,

( 为参数),代入 对应的参数分别为 , ,则

, 得到

7、已知直线 的参数方程为: 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为

,以坐标原点为极点, 轴的正 .

(Ⅰ)求曲线

的参数方程; (Ⅱ)当

时,求直线 与曲线

交点的极坐标.

[解析] (Ⅰ)由

,可得

第 3 页 共 9 页

所以曲线

的直角坐标方程为

,标准方程为



曲线

的极坐标方程化为参数方程为

(5 分)

(Ⅱ)当

时,直线 的方程为

,化成普通方程为





,解得



,所以直线 与曲线

交点的极坐标分别为





,

.

8、已知在直角坐标系

中,直线 的参数方程为

, ( 为参数) ,以坐标原点为

极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

的极坐标方程为 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点

(Ⅰ)求直线 的普通方程和曲线 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离

的取值范围.

[解析](Ⅰ)直线 的普通方程为

,C 直角坐标方程为

.

(Ⅱ) 设点

, 则



所以

的取值范围是

. (10 分)

9、选修 4—4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 的极坐标方程是

,射

第 4 页 共 9 页

线

与圆 C 的交点为 O、P,与直线 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

10、 (理) 已知曲线 C 的极坐标方程是

.以极点为平面直角坐标系的原点,极

轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 的参数方程是

(t 是参数) .

(I) 将曲线 C 的极坐标方程和直线 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程;

(Ⅱ) 若直 线 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且

,试求实数 m 的值.

11、在平面直角坐标系

中,曲线 的参数方程是
第 5 页 共 9 页

( 为参数) (Ⅰ)将 的

方程化为普通方程; (Ⅱ)以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 坐标方程是 , 求曲线 与 交点的极坐标.

的极

[解析] (Ⅰ) 依题意, 的普通方程为 代入圆的普通方程后得 ,从而 , . ,解得 (7 分)

, (Ⅱ) 由题意, 的普通方程为 , , 点 、 的直角坐标为

, ,

12、已知曲线 (t 为参数) , 程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

( 为参数)(Ⅰ)化 ,

的方

(Ⅱ)过曲线

的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲绒 于 A,B 两点,求

.

[解析] 解(Ⅰ)

曲线 为圆心是

,半径是 1 的圆.

曲线

为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. (4 分)

(Ⅱ)曲线

的左顶点为

,则直线 的参数方程为

( 为参数)

将其代入曲线 整理可得:

,设

对应参数分别为





所以 . (10 分)

13、 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为

( 为参数). 以原点为极点, 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,点 断点 与直线 的位置关系,说明理由;

,直线 的极坐标方程为

.(Ⅰ)判

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(Ⅱ) 设直线 与直线 的两个交点为 、 ,求

的值.

[解析] (Ⅰ) 直线



, :

, 点

在 上.

(Ⅱ) 直线 的参数方程为

( 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为



将直线 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,有 设两根为 , . (10 分)



14、在直角坐标系

中,以原点 O 为极点,以

轴正半轴为极轴,与直角坐标系



相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 极坐标方程为 .

( 为参数) ,直线 的

(Ⅰ)写出曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程; (Ⅱ )求曲线 C 上的点到直线 的最大距离,并求出这个点的坐标.

[解析](Ⅰ)由



,则直线 的普通方程为

. 由

得曲线 的普通方程为

.

(5 分)

(Ⅱ )在

上任取一点

,则点 到直线 的距离为

, 即 时, ,此时点 .





(10 分)

15.、 (河南省商丘市 2014 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2,

?
4

) ,半径 r= 3 .

( I)求圆 C 的极坐标方程;

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(Ⅱ)若 ? ? ? 0, ? ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l 交圆 C ? 4? ? y ? 2 ? t sin ? 于 A、B 两点,求弦长|AB|的取值范围. 解:(Ⅰ) C 直角坐标 (1,1) ,所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 3 ,……2 分 由?

? ??

? x ? 2 ? t cos ?

? x ? ? cos ? 得,圆 C 的直角坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ?1 ? 0 .……5 分 ? y ? ? sin ?
(Ⅱ)将 ?

? x ? 2 ? t cos ? ,代入 C 的直角坐标方程 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 3 , ? y ? 2 ? t sin ?

2 得 t ? 2(cos ? ? sin ? )t ?1 ? 0 ,则 ? ? 0 ,设A,B对应参数分别为 t1 , t 2 ,则

t1 ? t2 ? ?2(cos ? ? sin ? ) , t1t2 ? ?1 , | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 8 ? 4sin 2?
因为 ? ? [0, ) ,所以 sin 2? ?[0,1) 所以 8 ? 4sin 2? ?[8,12) ,所以 | AB | 的取值范围为 [2 2,2 3) 16、 (昆明第一中学 2014 届高三第五次月考)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非 负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方

? 4

? 3 t ? x ? 5? ? ? 2 程为 ? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos( ? ? ) 。 (I)求直线 l 3 ?y ? ? 3 ? 1 t ? 2 ?
和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 x ? 3 y 的取值范围.

17、 (2011 年高考 (新课标理) ) 直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? ? y ? 2 ? 2sin ?

为参数), M 是 C1 上的动点, P 点满足 OP = 2OM , P 点的轨迹为 C2 . (Ⅰ)求 C2 的方
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??? ?

???? ?

程; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | . 【解析】(Ⅰ)设 P ( x , y ),则由条件知 M (

?
3

与 C1 的异于极

x y , ),由于 M 在 C1 上, 2 2

?x ? 2 cos ? ? ? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ?2 ∴? ,即 ? ,∴ C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数); y y ? 4 ? 4sin ? y ? 4 ? 4sin ? ? ? ? ? 2 ? 2sin ? ? ?2
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? = 4 sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? = 8sin ? , ∴射线 ? ?

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 = 4 sin

为 ?2 = 8sin

? , ∴ | AB | = | ?2 ? ?1 | = 2 3 . 3

? ? ,射线 ? ? 与 C2 的交点 B 的极径 3 3

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