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概率论与数理统计习题集答案

2.9 二维随机变量的联合分布 2.10 二维随机变量的边缘分布(一)
1. 解:

X Y 0 1 2 3
PY ( y j )

1 0 3/8 3/8 0 3/4

3 1/8 0 0 1/8 1/4

PX ( xi )

1/8 3/8 3/8 1/8 1

2.解: X Y 0 1 2 0 1 2 1/36 1/8 1/36 1/9
PX ( xi )

1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 PY ( y j ) 4/9 4/9 3.解:(1)由联合概率密度的性质得:

1/4 1/2 1/4 1

∫ ∫
0

+∞

+∞

0

Cxe? x( y+1) dxdy = C = 1
+∞

故: = 1 C
+∞

(2) 讨论:当

x > 0 时,f X ( x ) = ∫

?∞

f ( x, y ) dy = ∫

0

xe ? x ( y +1) dy = e ? x

x ≤ 0 时 ,f( x) = 0 X
y>0 时,f Y (y)=



+∞

0

xe ? x ( y +1) dx =

1 ( y + 1) 2

y ≤ 0 时 , f( y ) = 0 Y
所以,

?e? x , x > 0 f X ( x) = ? ? 0, x ≤ 0

? 1 ,y>0 ? f Y ( y ) = ? ( y + 1) 2 ?0 ,y ≤ 0 ?

4. 解:(1)由 ∫ k(6-x-y) ∫ dy = 1 解得:k= dx
0 2

2

4

1 8

(2)P(X<1,Y<3) = ∫ dx ∫
0

1

3

2

1 3 (6-x-y)dy = 8 8

(3)P(X<1.5) = ∫

1.5

0

dx ∫

4

2

1 27 (6-x-y)dy = 8 32 1 2 (6-x-y)dy = 8 3

(4)P(X+Y ≤ 4) = ∫ dx ∫
0

2

4? x

2

2.10 二维随机变量的边缘分布(二) 2.11 随机变量的独立性 1. 解:(1)
PX (51) = 0.28, PX (52) = 0.28, PX (53) = 0.22. PX (54) = 0.09, PX (55) = 0.13,

(2)
PY (51) = 0.18, P (52) = 0.15, PY (53) = 0.35, Y PY (54) = 0.12, PY (55) = 0.2, 2. 解: (1) a+b = 11 24

1 1 1 1 1 (2) 由:P(3,1)=PX(3)PY(1) 可得:( + a + )( + ) = 8 24 24 8 24 1 3 解得: a = , b = 12 8
3.解: (1)

?4 x ? 4 x3 , 0 ≤ x ≤ 1 ?4 y 3 , 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = ? fY ( y ) = ? 其它 其它 ?0 , ?0 ,

明显: ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) 所以X,Y不独立. f
(2)

?2 ?2 1 ? x2 , ?1 ≤ x ≤ 1 1 ? y2 , ?1 ≤ y ≤ 1 ? ? f X ( x) = ? π fY ( y ) = ? π ?0 ?0 , 其它 , 其它 ? ? 明显: ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) 所以X,Y不独立. f

2.12 二维随机变量函数的分布

1. 解:(1)Z1的可能值为: -2,0,1,3,4。
对应的概率为:

1 1 9 3 1 PZ1 (-2)= ,PZ1 (0)= ,PZ1 (1)= ,PZ1 (3)= ,PZ1 (4)= 4 10 20 20 20

(2)

Z 2的 可 能 值 为 : - 2 , -1 , 1, 2, 4
对应的概率为:

PZ 2 (-2)=

9 1 1 3 1 ,PZ 2 (-1)= ,PZ 2 (1)= ,PZ 2 (2)= ,PZ 2 (4)= 20 10 4 20 20

(3) Z3的可能值为:-1,1,2
对应的概率为:

1 1 13 PZ3 (-1)= ,PZ3 (1)= ,PZ3 (2)= 4 10 20
2. 解: (1) 由于

?1 , 0 < x ≤ 1 f X ( x) ? ?0 , 其它

?e ? y , y > 0 fY ( y ) = ? ?0 , y ≤ 0

故:f ( x, y ) = f X ( x) fY ( y ) X , Y 相互独立。
(2) 由于 X,Y 相互独立,用分布函数法,

F(z)=P(Z ≤ z )= Z

2 x+ y≤ z

∫∫

f ( x, y )dxdy =

2 x+ y≤ z

∫∫

f X ( x) fY ( y ) dxdy

讨论: (1)当 z≤0 时,

明显有 FZ ( z ) = 0
(2) 当 0 < z ≤2 时,
z z?2 x 0 0

FZ ( z ) = ∫ 2 dx ∫
(3)当

e ? y dy =

1 ( z ? 1 + e? z ) 2

z > 2 时,
1

FZ ( z ) = ∫ dx ∫
0

z ?2 x

0

1 e ? y dy = 1 ? (e 2 ? z ? e ? z ) 2

? ?0 , z≤0 ? 1 FZ ( z ) = ? ( z ? 1 + e? z ) , 0 < z ≤ 2 ?2 ? 1 ? 1 ? (e 2 ? z ? e ? z ) , z > 2 ? 2
上式对 z 求导,得

(3)

? ?0 ,z ≤ 0 ? ?1 f Z ( z ) = FZ' ( z ) = ? (1 ? e? z ), 0 < z ≤ 2 ?2 ? 1 2? z ? z ? 2 (e ? e ), z > 2 ? P ( Z > 3) = 1 ? P ( Z ≤ 3)

= 1 ? FZ (3) 1 = ( z ?1 ? z ?3 ) 2

第二章 习题课(二)
1. (1) 1 1 1 3 1 3 1 1 , , , , , , , (自左向右,自 上向下依次) 24 12 4 8 4 4 2 3 1 2 1 (2) α + β = ; α = , β = 3 9 9 1 5 (3) ; (4) 4 7
A B A C

2.

3.

?e ? x , x > 0 ? ye ? y , y > 0 解:f X ( x ) = ? fY ( y ) = ? ?0 , x ≤ 0 ?0 , y ≤ 0 明显: ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) 所以X,Y不独立. f

4.

?1 ?2 , 0 < y ≤1 ? ? ln x ? 2 , x ≥1 ? 1 解:f X ( x) = ? x fY ( y ) = ? 2 , y > 1 ?0 , x < 1 ?2y ? ?0 , 其它 ? ? 明显: ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) 所以X,Y不独立. f



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