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四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断性考试数学理试题 Word版含答案

绵阳市高中 2016 届高三第一次(11 月)诊断性考试 数学理试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) .第 I 卷.1 至 2 页,第 II 卷 2 至 4 页.共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在 本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回. 第 I 卷(选择题,共 50 分) 注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第 I 卷共 10 小题. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.集合 S={x||x-4|<2,x ? N } ,T={4,7,8} ,则 S U T=


(A){4} (C) {3, 4, 5,7,8}

(B){3,5,7,8} (D) {3,4, 4, 5, 7, 8}

2.命题“ ?x0 ? N , x02 ? 2x0 ? 3 ”的否定为 (A) ?x0 ? N , x02 ? 2x0 ? 3 (C) ?x0 ? N , x02 ? 2x0 ? 3 (B) ?x ? N , x ? 2 x ? 3
2

(D) ?x ? N , x ? 2 x ? 3
2

3.己知幂函数过点(2, 2 ) ,则当 x=8 时的函数值是 (A)2 2 (B) ? 2 2 (C)2 (D)64 4.若 a, b, c ? R,己知 P: a, b, c 成等比数列;Q: b = ac .则 P 是 Q 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且关于直线 x=一 (A) y ? sin( ?

5? 对称的函数是 12

x ? ) 2 3

(B) y ? sin( ?

x ? ) 2 3

(C) y ? sin(2 x ?

?
3

)

(D) y ? sin(2 x ?

?
3

)
1 a11 = 2

6.在等差数列{ an }中,若 a4+a9+al4=36,则 a10 ? (A)3 (B)6 (C)12 (D)24

7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若 c2 ? b2 ? 2ab,sin A ? 2 2 sin B , 则 cosC= (A)

2 2

(B)

2 4

(C)一

2 2

(D)一

2 4

?x ? y ? 0 ? 8.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,且 x ? y 的最大值为 3,则实数 m= ? x ? my ? 1 ? 0 ?
1 (C)l (D)2 2 9.设函数 y=f(x) ,x ? R 满足 f(x+l)=f(x 一 l) ,且当 x ? (-1,1]时,f(x)=1
(A)一 1 (B) 一 x2, 函数 g(x)= ? 个数是 (A)15 (B)14 (C)13. (D)12

?lg | x |, x ? 0 ,则 h(x)=f(x)一 g(x)在区间[-6,9]内的零点 ?1, x ? 0

10 . 直 角 △ABC 的 三 个 顶 点 都 在 单 位 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 , 点 M (

???? ???? ???? ? MA ? MB ? MC |的最大值是
(A) 2 +l (B) 2 +2 (C)

1 1 , ) ,则| 2 2

3 2 +1 2

(D)

3 2 +2 2

第 II 卷(非选择题共 100 分) 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答.作图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 第 II 卷共 11 小题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分, 11、· 函数 f ( x) ? 1 ? lg x 的定义域为 12,式子 tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 的值是
0 0 0 0



13· 已知函数 f ( x ) ? ?

2 ? ?? x ? 6 x ? 6, x ? 2 其中 a>0,a ? 1 ,若对任意的 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , x a ? a , x ? 2 ? ?

恒有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) >0,则实数 a 的取值范围



14.二次函数 f ( x) ? ax 2 +2bx+c 的导函数为 f '( x) ,已知 f '(0) ? 0 ,且对任意实数 x,有

f ( x) ? 0 ,


f (1) 的最小值为 f '(0)



1 5.设集合 M 是实数集 R 的一个子集,如果点 x0 ? R 满足:对任意 ? >0,都存在 x ? M, 使得 0< | x ? x0 |? ? ; ,称 x0 为集合 M 的一个“聚点”.若有集合: ①有理数集; ② ?cos

? ?

? | n ? N *? n ?1 ?

?

③ ?sin

? ?

? | n ? N *? n ?1 ?

?

④?

? ? ? | n ? N *? ? n ?1 ?
. (写出所有符合题意的结论序号)

其中以 0 为“聚点”的集合是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos ? ,1 ? sin ? ), n ? (? cos ? ,sin ? )(? ? R) (1)若 m ? n ,求角 ? 的值; (2)若 | m ? n |? 3 ,求 cos2 ? 的值.

??

?

??

?

?? ?

17、 (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项 a1=1,且 an+1=2an+ ? (n ? N *, ? ? R) (1)试问数列{ an + ? }是否为等比数列?若是,请求出数列{ an }的通项公式;若不是, 请说,明理由; (2)当 ? =1 时,记 bn ?

n ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn an ? 1

18. (本小题满分 12 分) 某民营企业家去年为西部山区 80 名贫困大学生捐资奖学金共 50 万元妥该企业家计划 从今年起(今年为第一年)10 年内每年捐资总金额都比上一年增加 10 万元,资助的 贫困大学生每年净增 a 人。· (l)当 a=10 时,在计划时间内,每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过 0.8 万元?请说明理由. (2)为使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过多少人? 19. (本小题满分 12 分) 已知如图,在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=6,点 D、E 是斜边 AB 上两点. (l)当点 D 是线段 AB 靠近 A 的一个三等分点时,求 CD? CA 的值; (2)当点 D、E 在线段 AB 上运动时,且∠DCE=30°,设∠ACD=θ , 试用θ 表示△DCE 的面积 S,并求 S 的取值范围.

??? ? ??? ?

20: (本小题满分 13 分) 已知 f(x)= ax ?
3

1 2 bx +cx-1 的导函数为 f '( x) ,且不等式 f '( x) ≥0 的解集为 2

{x|一 2≤x≤1} . (1)若函数 f(x)的极小值为一 11,求实数 a 的值;· (2)当 x ?[-3,0]时,关于 x 的方程 f(x)一 ma+1=0 有唯一实数解,求实数 m 的取 值范围. 21. (本小题满分 14 分) 己知函数 f(x)=ln(x+l)一 x(x>一 l)· (1)求 f(x)的单调区间;

(2)若 k ? Z,且 f(x 一 1)+x> k (1 ? ) 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值;

3 x

(3)对于在(0,1)中的任意一个常数 a,是否存在正数 x0,使得 e f ( x0 ) ? 1 ? 立? 请说明理由.

a 2 x0 成 2

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADD BACBC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?0 , 10? 12. 3 13.a≥2 14.2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解 : (1)∵ m⊥n, ∴ m· n=(cosα,1-sinα)· (-cosα,sinα)=0, 即-cos2α+sinα-sin2α=0. ……………………………………………………3 分 由 sin2α+cos2α=1,解得 sinα=1, ∴ ? ? 2k? ? 15.①③

?
2

,k∈Z.…………………………………………………………6 分

(2) ∵ m-n=(2cosα,1-2sinα), ∴ |m-n|= (2 cos? ) 2 ? (1 ? 2 sin? ) 2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

………………………………………………………9 分
1 , 2

∴ 5-4sinα=3,即得 sin? ? ∴ cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ?

1 .……………………………………………………12 分 2

17.解: (1)由已知 an+1=2an+λ,可得 an+1+λ=2(an+λ). ∵ a1=1, 当 a1+λ=0,即 λ=-1 时,an+λ=0,此时{an+λ}不是等比等列. …………3 分 当 a1+λ≠0,即 λ≠-1 时,

an?1 ? ? ? 2 (常数) . an ? ?

此时,数列 {an ? ?} 是以 a1 ? ? ? 1 ? ? 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 ,于是 an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 . (2)当 λ=1 时,an=2n-1, ………………………6 分

n . ……………………………………………………………………7 分 2n 1 2 3 n ∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 1 两边同乘以 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2
∴ bn ?

两式相减得

1 1 1 1 n Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 2 1 2 n?1 1? 2

? 1?
∴ Sn ? 2 ?

1 n ? n?1 , n 2 2

1 n ? n .…………………………………………………………12 分 n?1 2 2

18.解: (1)设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an,捐资总额为 bn. 则 an =80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2 分 ∴ 当 a=10 时,an=10n+70, ∴

bn 40 ? 10n ? ? 0.8 , an 10n ? 70

解得:n>8. ……………………………………………………………………5 分 即从第 9 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. …………6 分 (2)由题意: 即

bn ?1 bn ? , an ?1 an

40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,………………………………………………8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a

整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即 400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得 80-5a>0, 解得 a<16,……………………………………………………………………11 分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. ……………………………………………12 分 19.解: (1)在 Rt△ABC 中,AC=ABcos60?= 6 ? ∵ CD ? CA ? AD , ∴ CD ? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

1 1 ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2×3×cos120? =6.…………………………………………………………………4 分 (2)在△ACD 中,∠ADC=180?-∠A-∠DCA=120?-θ,

3 3 3 CD AC 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC 3?
………………………………… ……5 分 在△AEC 中,∠ACE=θ+30?,∠AEC=180?-60?-(θ+30?)=90?-θ,

3 3? 3 3 CE AC 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos ? sin A sin ?AEC


…6 分

1 1 3 3 3 3 S ?DCE ? CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
? 27 1 ? , 16 sin(120? ? ? ) ? c o ? s
…………………7 分

令 f(θ)=sin(120?-θ)cosθ,0?≤θ≤60?, ∵ f(θ)=(sin120?cosθ-cos120?sinθ)cosθ

?

3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2

? ? ?

3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? sin 2? 2 2 2 2 3 1 3 1 ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2 3 1 ? sin(2? ? 60?) ,………………………………………………10 分 4 2

由 0?≤θ≤60?,知 60?≤2θ+60?≤180?, ∴ 0≤sin(2θ+60?)≤1, ∴

3 3 1 ? , ≤f(θ)≤ 4 4 2
1 4 3 ≤ , f (? ) 3

∴ 4(2 ? 3 ) ≤ ∴

27 3 27 .……………………………………………12 分 (2 ? 3 ) ≤ S ?DCE ≤ 12 4

20.解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? bx ? c , 由题意得 3ax2+bx+c≥0 的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴ a<0,且方程 3ax2+bx+c=0 的两根为-2,1. 于是 ?

c b ? ?2 , ? ?1 , 3a 3a

得 b=3a,c=-6a. ………………………………………………………………2 分 ∵ 3ax2+bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}, ∴ f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. ∴ 当 x=-2 时 f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把 b=3a,c=-6a 代入得-8a+6a+12a-1=-11, 解得 a=-1.………………………………………………………………………5 分 (2)由方程 f(x)-ma+1=0,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 , 即 ax3 ?

1 2

3 2 ax ? 6ax ? ma . 2

3 2 x ? 6 x .…………………………………………………………7 分 2 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6x , 2
∴ m ? x3 ? ∴ g ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? b ? 3( x ? 2)( x ? 1) . 列表如下: x (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

g ?( x)
g(x) ∴

g(x)在[-3,-2]是增函数,在[-2,0]上是减函数.……………………11 分

又∵ g (?3) ?

9 ,g(-2)=10,g(0)=0, 2 3 2 x ? 6x 仅有一个交点, 2

由题意,知直线 y=m 与曲线 g ( x) ? x3 ? 于是 m=10 或 0<m< 21.解: (1) f ?( x) ?
9 . 2

………………………………………………………13 分

1 x , ?1 ? x ?1 x ?1 ∴当 x∈(-1,0)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(-1,0)上是增函数,
当 x∈(0,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数. ∴ f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+∞).………3 分

3 3 (2)由 f(x-1)+x>k (1 ? ) 变形得 ln x ? ( x ? 1) ? x ? k (1 ? ) , x x
整理得 xlnx+x-kx+3k>0, 令 g(x)=xlnx+x-kx+3k,则 g ?( x) ? ln x ? 2 ? k. ∵ x>1, ∴ lnx>0 若 k≤2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,即 g(x)在(1,+∞)上递增, ∴ 由 g(1)>0 即 1+2k>0 解得 k ? ? ∴ ?

1 , 2

1 ? k ? 2. 2

又∵ k∈Z, ∴ k 的最大值为 2. 若 k>2 时,由 lnx+2-k>0 解得 x> e k ? 2 ,由 lnx+2-k<0,解得 1<x< e k ? 2 . 即 g(x)在(1, e k ? 2 )上单调递减,在( e k ? 2 ,+∞)上单调递增. ∴ g(x)在(1,+∞)上有最小值 g( e k ? 2 )=3k- e k ? 2 , 于是转化为 3k- e k ? 2 >0(k>2)恒成立,求 k 的最大值. 令 h(x)=3x- e x ? 2 ,于是 h?( x) ? 3 ? e x?2 . ∵ 当 x>2+ln3 时, h?( x) ? 0 ,h(x)单调递减,当 x<2+ln3 时 h?( x) ? 0 ,h(x)单调递增.

∴ h(x)在 x=2+ln3 处取得最大值. ∵ 1<ln3<2, ∴ 3<2+ln3<4, ∵ h(1) ? 3 ? ∴ k≤4. ∴ k 的最大取值为 4. ∴ 综上所述,k 的最大值为 4.…………………………………………………9 分 (3)假设存在这样的 x0 满足题意,则 由 e f ( x0 ) ? 1 ?

1 ? 0 ,h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0, e

a 2 x ?1 a 2 . x0 等价于 x0 ? 0 x0 ? 1 ? 0 (*) 2 e 2

要找一个 x0>0,使(*)式成立,只需找到当 x>0 时,函数 h(x)= h(x)min 满足 h(x)min<0 即可. ∵ h?( x ) ? x ( a ?

a 2 x ?1 x ? x ? 1 的最小值 2 e

1 ), ex

1 ,则 x=-lna,取 x0=-lna, a 在 0<x<x0 时, h?( x) <0,在 x>x0 时, h?( x) >0,
令 h?( x) =0,得 ex= ∴ h(x)min=h(x0)=h(-lna)=

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 , 2 a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 <0 成立即可. 2

下面只需证明:在 0<a<1 时, 又令 p(a)= 则 p?(a) ?

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 ,a∈(0,1), 2 1 (ln a)2 ≥0,从而 p(a)在 a∈(0,1)时为增函数. 2
…………………………………………………14 分

∴ p(a)<p(1)=0,因此 x0=-lna 符合条件,即存在正数 x0 满足条件.



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