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2.3等差数列的前n项和1


2.3等差数列的前n项和

数学王子高 斯的故 事
高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们出了 一道 题:计算从1到100的自然数之和.那个老师认为, 这些孩子算这道题目需要很长时间,所以他一写完题 目,就坐到一边看书去了.谁知,他刚坐下,马上就有 一个学生举手说:“老师,我做完了.”老师大吃一惊, 原来是班上年纪最小(10岁)的高斯.老师走到他身边, 只见他在笔记本上写着5050,老师看了,不由得暗自 称赞.为了鼓励他,老师买了一本数学书送给他.

思考:你知道聪明的高斯是怎么计算 的吗?

高斯是如何快速的计算1+2+3+ …… +100 = ?

计算: 1+ 2+ 3 +… + 98+ 99 +100 101

s100 ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? 100
100 ? (100? 1) ? 2 ? 5050

首尾配对 相加法

由高斯的算法,我们将它稍作修改得: 设S= 1 + 2 + 3 + 4+· · · +100

则S=100+99+98+96+· · · +1 以上两式相加得2S=101+101+101+· · · +101
100个101

所以2S=101×100=10100

∴S=5050
结论:如果一个数列{an} ,与首末项等距的两项之 和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写 和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一 求和方法称为倒序相加法

请你利用倒序相加法求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S=

1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1

? 2 S ? n ( n ? 1), n ( n ? 1) ?S ? 2
请同学们思考我们能用这种方法求一般等差数列前n 项和吗?

等差数列{a n }的前n项和公式为
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的应用:
根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn

(1)a1 ? ?4, n ? 8, d ? 2; (2)a1 ? 14, n ? 20, an ? 32

D B
3、已知等差数列{an }中,S5 =5,求a3

1

课堂小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法

-------倒序相加法
2、等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2


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