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高中数学第3章导数及其应用3.1.2瞬时变化率—导数学业分层测评苏教版选修1_1

学业分层测评(十四) 瞬时变化率—导数 (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1.若 f′(x0)=1,则当 k→0 时, 【解析】 由题意,当 k→0 时, 所以 f x0-k -f x0 趋于常数________. 2k f x0-k -f x0 →1, -k f x0-k -f x0 1 f x0-k -f x0 1 =- · →- . 2k 2 -k 2 1 【答案】 - 2 2. 已知函数 y = f(x) 在点 (2,1) 处的切线与直线 x - y + 2 = 0 平行,则 f′(2)等于 ________. 【导学号:24830068】 【解析】 由题意知 k=1,∴f′(2)等于 1. 【答案】 1 3.函数 y=3x+2 在 x=-1 处的导数为________. 【解析】 Δy = Δx -1+Δ x +2- Δx - -2 =3. Δy 当 Δ x→0 时, →3. Δx 【答案】 3 4 4.函数 y= 2在 x=x0 处的导数为________. x 【解析】 4× 2x0+Δ x x x0+Δ x 2 0 ∵Δy= , 4 x0+Δ x 2 - 4 x 2 0 =- 4Δ x x 2 0 x0+Δ x x0+Δ x 2 ,∴ Δy =- Δx 2 Δy 8 4 8 当 Δ x→0 时, →- 3,即函数 y= 2在 x=x0 处的导数为- 3. Δx x0 x x0 【答案】 - 8 2 x3 0 5.一辆汽车按规律 s=3t +1 做直线运动(s,单位:m,t,单位:s),则这辆车在 t=3 s 时的瞬时速度为________. 【解析】 这辆汽车从 3 s 到(3+Δ t)s 这段时间内的位移增量为 Δ s=3(3+Δ t) +1 -28=3(Δ t) +18Δ t. 1 2 2 Δs = Δt Δt 2 Δt +18Δ t =3Δ t+18,当 Δ t→0 时,3Δ t+18→18. ∴t=3 s 时瞬时速度为 18 m/s. 【答案】 18 m/s 6.如果某物体的运动的速度为 v(t)=2(1-t ), 那么其在 1.2 s 末的加速度为________. 【解析】 2 2 Δv v = Δt Δt +Δ t -v Δt +Δ t 2 = 2×1.2 - Δv =-4.8-2Δ t,当 Δ t→0 时, →-4.8. Δt 【答案】 -4.8 7.(2016·宜春高二检测)曲线 y=x -x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 【解析】 Δ y=(1+Δ x) -(1+Δ x)+3]-3=2Δ x+3(Δ x) +(Δ x) , Δ y 2Δ x+ 则 = Δx =2. 故切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0. 【答案】 2x-y+1=0 8.设曲线 y=x 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为________. 【解析】 设点 P 的坐标为(x0,y0) ∵ 2 3 2 3 3 Δx + Δx Δx 2 3 Δy 2 =2+3Δ x+(Δ x) ,当 Δ x→0 时, →2,即 k Δx x0+Δ x Δx 2 -x0 2 2x0Δ x+ Δ x = Δx 2 =2x0+Δ x. 当 Δ x→0 时,k=f′(x0)=2x0=3. 3 3 9 2 ∴x0= ,将 x0= 代入 y=x 得 y0= , 2 2 4 ?3 9? ∴P 的坐标为? , ?. ?2 4? ?3 9? 【答案】 ? , ? ?2 4? 二、解答题 9.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s) s=? ?3t +2, ? ? ?29+ 2 t≥3, 2 t- , 0≤t<3, 求:(1)物体在 t∈3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度 v0; 2 (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 【导学号:24830069】 【解】 (1)∵物体在 t∈3,5]内的时间变化量为 Δ t=5-3=2, 物体在 t∈3,5]内的位移变化量为 Δ s=3×5 +2-(3×3 +2)=3×(5 -3 )=48, ∴物体在 t∈3,5]上的平均速度为: Δ s 48 = =24(m/s). Δt 2 (2)求物体的初速度 v0 即求物体在 t=0 时的瞬时速度. ∵物体在 t=0 附近的平均变化率为: Δs f = Δt = 29+ +Δ t -f Δt +Δ t -3] -29- Δt 2 2 2 2 2 - 2 =3Δ t-18, ∴物体在 t=0 处的瞬时变化率为: →0 liΔ t m Δs →0 (3Δ t-18)=-18, =liΔ t m Δt 即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. ∵物体在 t=1 附近的平均变化率为: Δs f = Δt = 29+ +Δ t -f Δt +Δ t -3] -29- Δt 2 - 2 =3Δ t-12. ∴物体在 t=1 处的瞬时变化率为 →0 liΔ t m Δs →0 (3Δ t-12)=-12, =liΔ t m Δt 即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s. 4 8 10.求函数 f(x)=x+ 在 x= 处的导数. x 3 x0+Δ x+ -x0- x0+Δ x x0 Δy 4 【解】 = =1- , Δx Δx x0 x0+Δ x 4 当 Δ x→0 时得 f′(x0)=1- 2, 4 4 x0 3 4 36 28 7 ?8? ∴f′? ?=1- =1- = = . 64 64 16 ?3? ?8?2 ?3? ? ? 8 7 ∴f(x)在 x= 处的导数为 . 3 16 能力提升] 1.曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x+2


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