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山东省枣庄一中2015届高三第一学期期末考试数学试题(文) Word版含答案


山东省枣庄一中 2015 届高三第一学期期末考试数学试题(文)
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.函数 y ?

log 2 ( x ? 1) 的定义域是 2? x
B. (1, 2) C. (2, ??) ) D. (-5,-7) D. ( ??, 2)

A. (1, 2]

2.若向量 BA =(1,2) , CA =(4,5) ,则 BC =( A. (5,7), B. (-3,-3),

C. (3,3),

2 3.若 a ? R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的

A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 D.充要条件

? x ? y ? 1 ? 0, ? 4.设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
A.7 B.8 C.22 D.23

5.在等比数列{an}中,a2a3a7=8,则 a4= A.1 6.已知 f ( x) ? x ? A.-4 B.4 C.2 D. 2 2

1 ? 1, f (a) ? 2, 则 f (?a) ? x
B.-2 C.-1 D.-3

7.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 A.

1 9

B.

1 6

C.

1 18

D.

1 12

8.已知 f ( x) ? ?

?(1 ? 2a) x ? 3a, x ? 1, 的值域为 R,那么 a 的取值范围是 x ? 1. ?1nx,
B. (一 1,

A. (一∞,一 1]

1 ) 2

C.[-1,

1 ) 2

D. (0,

1 ) 2

9.执行如图所示的算法,则输出的结果是

A.1

B.

4 3

C.

5 4

D.2

10.图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于

A.

1 3

B.

2 3

C .1

D.

4 3

11.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x ? y ? 0 的对称点 A 是 a 2 b2

椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为 A.

1 2

B.

3 ?1 2

C.

3 2

D. 3 一 l

3 12.设函数 f ( x) ? ax ? x ? 1( x ? R) ,若对于任意 x ? [一 1,1]都有 f ( x ) ≥0,则实数 a 的取

值范围为 A. (- ? , 2] B.[0+ ? ) C.[0,2] 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 13.若复数 z 满足 z=i(2+z) (i 为虚数单位) ,则 z= 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3 =6,S4=12,则 S6= 。 . D.[1,2]

15.过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 相切于点 B,则 CACB . ?



16.在三棱锥 P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点 G 作三棱锥的一个截面,使截 面平行于直线 PB 和 AC,则截面的周长为 .

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选 考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 csinB=bcos C=3. (I)求 b; (II)若△ ABC 的面积为 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥ 底面 ABCD, ∠ PCD=90°, PA =AB=AC. (I)求证:AC⊥ CD; (II)点 E 在棱 PC 的中点,求点 B 到平面 EAD 的距离.

21 ,求 c. 2

19. (本小题满分 12 分) 为了调查某校学生体质健康达标情况,现采用随机抽样的方法从该校抽取了 m 名学生进 行体育测试.根据体育测试得到了这 m 名学生各项平均成绩(满分 100 分) ,按照以下区间分 为七组:[30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70,80) ,[80,90) ,[90,100) ,并 得到频率分布直方图(如图) ,已知测试平均成绩在区间[30,60)有 20 人.

(I)求 m 的值及中位数 n; (II)若该校学生测试平均成绩小于 n,则学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样 调查数据,该校是否需要增加体育活动时间? 20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2= 2px(p>0) ,过点 C(一 2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标原点 为 O, OAOB . ? 12 . (I)求抛物线的方程; (II)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)
x 2 已 知 函 数 f ( x)? a e ? x, g 直 线 l 与 曲 线 C1 : y ? f( x )切 于 点 ( x )? s i n? x , bx

( 0 ,f ( 0 且与曲线 )) C2 : y=g(x)切于点 ( , g ( )) . 2 2
(I)求 a,b 的值和直线 l 的方程. (II)证明:除切点外,曲线 C1,C2 位于直线 l 的两侧。 请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 1 0 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形么 BDC 内接于圆,BD= CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点.

?

?

(I)求证:∠ EAC=2∠ DCE; (II)若 BD⊥ AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长. 23. (本小题满分 10)选修 4—4;坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 两种坐标系中的长度单 位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ,斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于点 E (0,1) . (I)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程; (II)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|EA|+|EB |。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| (I)求 a; (II)已知两个正数 m,n 满足 m2+n2=a,求

1 x ? 1| ? | x | ( x ? R) 的最小值为 a. 2 1 1 ? 的最小值. m n

2014-2015 学年度山东省枣庄一中高三第一学期期末考试 数学(文)试题参考答案
选择题: 1-12 BABDC 填空题: 13.-1+i 解答题: 17.解: (Ⅰ )由正弦定理得 sin Csin B=sin Bcos C, 又 sin B≠0,所以 sin C=cos C,C=45°. 因为 bcos C=3,所以 b=3 2. 1 21 (Ⅱ )因为 S=2acsin B= 2 ,csin B=3,所以 a=7. …6 分 14.30 15.5 16.8 BBCDA CC

据余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C=25,所以 c=5. 18.解: (Ⅰ )证明:

…12 分

因为 PA⊥ 底面 ABCD,所以 PA⊥ CD, 因为∠ PCD= ,所以 PC⊥ CD,

所以 CD⊥ 平面 PAC, 所以 CD⊥ AC. …4 分

(Ⅱ )因为 PA=AB=AC=2,E 为 PC 的中点,所以 AE⊥ PC,AE= 2. 由(Ⅰ )知 AE⊥ CD,所以 AE⊥ 平面 PCD. 作 CF⊥ DE,交 DE 于点 F,则 CF⊥ AE,则 CF⊥ 平面 EAD. 因为 BC∥ AD,所以点 B 与点 C 到平面 EAD 的距离相等, CF 即为点 C 到平面 EAD 的距离. CE×CD 2×2 2 3 在 Rt△ ECD 中,CF= DE = = 3 . 6 2 3 所以,点 B 到平面 EAD 的距离为 3 . 19.解: (Ⅰ )由频率分布直方图知第 1 组,第 2 组和第 3 组的频率分别是 0.02,0.02 和 0.06, 则 m×(0.02+0.02+0.06)=20,解得 m=200. 由直方图可知,中位数 n 位于[70,80) ,则 0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得 n=74.5. (Ⅱ )设第 i 组的频率和频数分别为 pi 和 xi,由图知, p1=0.02,p2=0.02,p3=0.06,p4=0.22,p5=0.40,p6=0.18,p7=0.10, 则由 xi=200×pi,可得 x1=4,x2=4,x3=12,x4=44,x5=80,x6=36,x7=20, 故该校学生测试平均成绩是 …8 分 …4 分 …12 分 …8 分

— 35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7 x= =74<74.5, 200 所以学校应该适当增加体育活动时间.

…11 分 …12 分

20.解: (Ⅰ )设 l:x=my-2,代入 y2=2px,得 y2-2pmy+4p=0. (*)
2 y2 1y2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=2pm,y1y2=4p,则 x1x2= 4p2 =4.

→ 因为→ OA · OB =12,所以 x1x2+y1y2=12,即 4+4p=12, 得 p=2,抛物线的方程为 y2=4x. (Ⅱ )由(Ⅰ ) (*)化为 y2-4my+8=0. y1+y2=4m,y1y2=8. …6 分 …5 分

设 AB 的中点为 M,则|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4, ① 又|AB|= 1+m2| y1-y2|= (1+m2)(16m2-32), 由① ② 得(1+m2) (16m2-32) =(4m2-4)2, 解得 m2=3,m=± 3. 所以,直线 l 的方程为 x+ 3y+2=0,或 x- 3y+2=0. 21.解: (Ⅰ)f ?(x)=aex+2x,g ?(x)=cos x+b, ? ? ? f (0)=a,f ?(0)=a,g ( 2 )=1+ 2 b,g ?( 2 )=b, 曲线 y=f (x)在点(0,f (0))处的切线为 y=ax+a, ? ? 曲线 y=g (x)在点( 2 ,g ( 2 ))处的切线为 ? ? y=b(x- 2 )+1+ 2 b,即 y=bx+1. 依题意,有 a=b=1,直线 l 方程为 y=x+1. (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f (x)=e +x ,g (x)=sin x+x.
x 2



…12 分

…4 分 …5 分

设 F (x)=f (x)-(x+1)=ex+x2-x-1,则 F ’(x)=ex+2x-1, 当 x∈ (-∞,0)时,F ’(x)<F ’(0)=0; 当 x∈ (0,+∞)时,F ’(x)>F ’(0)=0. F (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, 故 F (x)≥F (0)=0. 设 G (x)=x+1-g (x)=1-sin x,则 G (x)≥0, …8 分

? 当且仅当 x=2k?+ 2 (k∈ Z)时等号成立.

…10 分

综上可知,f (x)≥x+1≥g (x) ,且两个等号不同时成立,因此 f (x)>g (x) . 所以:除切点外,曲线 C1,C2 位于直线 l 的两侧. 22.解: (Ⅰ )证明:因为 BD=CD,所以∠ BCD=∠ CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ ECD=∠ CBD. 所以∠ ECD=∠ BCD,所以∠ BCE=2∠ ECD. 因为∠ EAC=∠ BCE,所以∠ EAC=2∠ ECD. (Ⅱ )解:因为 BD⊥ AB,所以 AC⊥ CD,AC=AB. 因为 BC=BE,所以∠ BEC=∠ BCE=∠ EAC,所以 AC=EC. 由切割线定理得 EC2=AE?BE,即 AB2=AE?(AE-AB) ,即 AB2+2 AB-4=0,解得 AB= 5-1. 23.解: (Ⅰ )由 ρ=2(cos θ+sin θ) ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ) , 即 x2+y2=2x+2y,即(x-1) 2+(y-1) 2=2. …10 分 …5 分 …12 分

?x= 2 t, l 的参数方程为? (t 为参数, t∈ R) 3 ?y=1+ 2 t.
1

…5 分

?x= 2 t, (Ⅱ )将? 代入(x-1) 3 y = 1 + t . ? 2
1 1+ 5 1- 5 解得,t1= 2 ,t2= 2 ,则

2

+(y-1) 2=2 得 t2-t-1=0,

|EA|+|EB|=| t1|+| t2|=|t1-t2|= 5. 24.解: 3 - 2 x-1 , x<-2, 1 (Ⅰ )f (x)= - 2 x+1,-2≤x≤0, 3 x>0. 2 x+1, 当 x∈ (-∞,0]时,f (x)单调递减, 当 x∈ [0,+∞)时,f (x)单调递增,

…10 分

? ? ? ? ?

所以当 x=0 时,f (x)的最小值 a=1. 1 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 mn≤ 2 , 1 1 则 m + n ≥2 1 2 ≥2 2 ,当且仅当 m = n = mn 2 时取等号. …10 分

…5 分

1 1 所以 m + n 的最小值为 2 2.



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