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对数函数及其性质第一课时


§2.2.2对数函数及其性质

x y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质: 指数函数

0 ? a ?1
y

a ?1
y
1

图象
1

0

x

0

x

定义域 值域 性质

R
(0, ?? )
当 x >0时0< y<1; 当 x<0时 y >1; 当 x =0时 y =1; 在R上是减函数

R (0, ?? ) 当 x >0 时 y >1 ; 当 x <0 时 0 < y < 1 ; 当 x =0时 y =1;
在R上是增函数
2

金箍棒的本领
孙悟空从东海借来定海神针——金箍棒,他的
猴子猴孙都想看看金箍棒的本领,于是孙悟空命令

金箍棒每过一秒,长度增加一倍,让大家看看他的
厉害。 如果原来金箍棒的长度为1米。金箍棒的长度 变成8米,需要经过多少秒?变成64米又需要多长

时间?变成512米呢?
地球赤道大约有40000公里,那么金箍棒多 少秒后能绕地球一圈?

第1秒

变成2米

。 。 。

。 。 。

=9 ?

512

经过26秒后金箍棒就能绕地球一圈。

对数函数
一般地,我们把函数 y = loga x (a>0,且

a≠ 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量。
函数的定义域是( 0 , +∞).

注意:
1)自变量x在对数中真数的位置上,且只有一个x; 2)对数的系数为1;底数a为常数;

3)对数函数对底数的限制条件:a

? 0 ,且 a ? 1.

例1、判断以下式子哪些是对数函数?

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图
象与性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x的图象。
2

作图步骤: ①列表,
②描点,
③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表

X y=log2x
y 2 1 0
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

描 点
连 线

1

2

3

4

x

-1 -2

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x … 2
y
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2
1 -1

4
2 -2

… … …

描 点
连 线

2 1 0 -1 -2
11 42

1

2

3

4

x

这两个函数 的图象有什 么关系呢?

y

认真观察函数 y=log2x 的图象

2 1 0 -1 -2 1 2 3 x 4

填写下表:
图象特征

代数表述

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞)
值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升

在(0,+∞)上是: 增函数

y

认真观察 函数 y ? log1 x 的图象填写下表
图象特征
2

2 1 0 -1 -2
11 42

1

2

3

4

x

函数性质

图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞)

值 域 : R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是:减函数

y ? log2 x
图 像 性 质
y
O
x =1

y ? log1 x
2

y
X

x =1

(1,0)

O

(1,0)

X

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过定点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0

增函数 在(0,+∞)上是: 在(0,+∞)上是: 减函数

对数函数y = logax (a > 0,且 a ? 1)的性质:
a>1
y
x =1

0<a<1
y
x =1

图 象

y ? loga x (a ? 1)

O

(1,0)

X

(1,0)
O

X y ? loga x (0 ? a ? 1)

定义域: (0,+∞) 值域: (??,??)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0

x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
x ? (0,1)

? y?0

例2 求下列函数的定义域:
(1 )

y ? loga x 2
2

解 : 由 x2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是 (2) y ? loga (4 ? x) 解 : 由4 ? x ? 0 得

?x | x ? 0?

x?4
的定义域是 ?x | x ? 4?

∴函数 y ? loga (4 ? x)

练习
1.求下列函数的定义域:

( 1) y

? log5 (1 ? x)

? (??,1) ? (0,1) ? (1,??) ? (??,0)

1 ( 2) y ? log2 x
(3) y?

log5 (1 ? x)

一、对数函数定义:

二、对数函数图像及其性质

作业: P73 练习 T2 (1)(3)

P74 习题2.2 A组 T7



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