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2.3.1 等差数列的前n项和


2.3.1 等差数列的前n项和

授课老师:张晴

1.等差数列的定义:

?an? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质:
⑴an ? am ? (n ? m)d .

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

高斯“神速求和”的故事:

高斯出生于一个工匠 家庭,幼时家境贫困,但聪 敏异常。上小学四年级时, 一次老师布置了一道数学习 题:“把从1到100的自然数 加起来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索就得 到答案5050,这使老师非常 吃惊。那么高斯是采用了什 么方法来巧妙地计算出来的 呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

求 S=1+2+3+· · · · · · +100=? 高斯算法:
首项与末项的和:

你知道高斯是 怎么计算的吗?

1+100=101,

第2项与倒数第2项的和:
第3项与倒数第3项的和: · ·····

2+99 =101,
3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 100 ? 5050. 于是所求的和是: 101? 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?
m? n ? p?q ?a ?a ? a ?a .

如图,是一堆钢管,自上而下每层钢管数为 4、 5、6、7、8、9、10,求钢管总数。

即求:S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法:

还有其它算 法吗?

S=(4+10) +(5+9)+(6+8)+7 = 14×3+7=49.

S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得:

倒序相加法

2S ? (4 ?10) ? (5 ? 9) ? (6 ? 8) ? (7 ? 7) ? (8 ? 6) ? (9 ? 5) ? (10 ? 4)

? (4 ? 10) ? 7.

(4 ? 10) ? 7 ?S ? ? 49. 2

设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ? ?? an .
怎样求一般等差数列的前n项和呢?

Sn ? a1 ? a2 ? ?? an . Sn ? an ? an?1 ? ?? a1.
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ?? (an ? a1 )

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ? ? an ? a1

n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2

等差数列的前n项和公式
公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ? 1) d

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

思考:

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(1)两个求和公式有何异同点? (2)在等差数列 ?an ?中,如果已知五个元素 中 a1 , an , n, d , Sn 的任意三个, 请问: 能否求出其 余两个量 ?

结论:知 三 求 二

公式记忆

—— 类比梯形面积公式记忆

( n a1 ? an ) Sn ? 2

( n n ?1) Sn ? na1 ? d 2

a1

n

an

等差数列前n项和公式的函数特征:
1 d 2 ? d? Sn ? na1 ? n ? n ? 1? d ? n ? ? a1 ? ? n 2 2 2? ?
d d 2 设A ? , B ? a1 ? , 则Sn ? An ? Bn ? A, B是常数 ? 2 2

特征:
当A ? 0 ?即d ? 0 ?时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn ? An ? Bn的图象是抛物线
2

y ? Ax ? Bx上的一群孤立的点.
2

数列?an ?的前n项和S n ? An 2 ? Bn( A, B为常数),则数列?an ? 是不是一定是等差 数列?

结论:

?an ? 是公差为2 A的等差数列 ?
S n ? An ? Bn( A, B为常数)
2

问:如果一个数列{an }的前n项和Sn ? pn ? qn ? r,
2

(其中p,q,r为常数,且p ? 0),那么这个数列 一定是等差数列吗?
结论:如果一个数列{an }的前n项和Sn ? pn ? qn ? r,
2

(其中p,q,r为常数,且p ? 0),那么这个数列是 等差数列当且仅当r=0

例1、计算:
n( n ? 1) ? (1)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n; 2 ? n2 (2)1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1);

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

(3)2 ? 4 ? 6 ? ?? ? 2n;? n(n ? 1) (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n.
(4)解:原式 ? [1 ? 3 ? 5 ? ??? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ? ??? 2n).
又解:原式 ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ? ?? [(2n ?1) ? 2n].

例2、 等差数列 ? 10, ?6, ?2, 2,?前多少项的和是54? 解:设该等差数列为 ?an ? , 其前n项和是Sn ,
则a1 ? ?10, d ? ?6 ? ( ?10) ? 4, Sn ? 54. 根据等差数列前项和公式,得 n( n - 1) - 10n ? ? 4 ? 54 2 整理得 n2 ? 6n ? 27 ? 0 解得 n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

因此,等差数列 - 10, - 6, - 2, 2, ? 前9项的和是54

注:本题体现了方程的思想.

例3、数列?an ? 为等差数列,若a1 ? a2 ? a3 ? 12,
a8 ? a9 ? a10 ? 75, 求 S10 .
?a1 ? d ? 4, ?a1 ? 1, ?a1 ? a2 ? a3 ? 12, 解: ?? ?? 由? ?a1 ? 8d ? 25 ?d ? 3. ?a8 ? a9 ? a10 ? 75
( n a1 ? an )
n n 1

S ? 10 ? 9 2 ? S10 ? 10a1 ? d ? 145. ( n n ? 1) 2 S ? na ? d 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 12, 又解: ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? 87. 由? ?a8 ? a9 ? a10 ? 75

? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8,
?3(a1 ? a10 ) ? 87即(a1 ? a10 ) ? 29.

整体运算 的思想!

10(a1 ? a10 ) S10 ? ? 5(a1 ? a10 ) ? 5 ? 29 ? 145. 2

例4、在等差数列?an ? 中,

已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 .

解: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36

? a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16 ? 18 ?
16(a1 ? a16 ) S16 ? ? 8(a1 ? a16 ) 2 n a1 ? an ) ? 8 ?18 ? 144. Sn ? (

2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

例5、求集合M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100?
*

的元素,并求些元素的和.

1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和

与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通
项公式。
? S4 ? 24, ? 4a1 ? 6d ? 24, 解: ?? ? ?(5a1 ? 10d ) ? (2a1 ? d ) ? 27 ? S5 ? S2 ? 27 ? a1 ? 3, ?? ? an ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2n ? 1. ?d ? 2
( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2、已知等差数列?an ?中,a6 ? 20, 求S11 .
解: a6 ? 20 ? a1 ? a11 ? 2a6 ?
11(a1 ? a11 ) S11 ? ? 11a6 ? 220. 2

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

3、根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的sn

(1)a1=5,an=95,n=10
(2)a1=100,d=-2,n=50 (3)a1=14.5,d=0.7,an=32

10(5 ? 95) s10 ? ? 500 2 50 ? (50 ? 1) s50 ? 50 ?100 ? ? 2550 2

先由an ? a1 ? (n ? 1)d得 32 ? 14.5 ? (n ? 1) ? 0.7 ? n ? 26 26? (14.5 ? 32) 所以sn ? ? 604.5 2 4、(1)求正整数列中前n个数的和; ( n a1 ? an )
(2)求正整数列中前n个偶数的和。 5、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是-30?
Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )Sn ? na1 ? d 2
3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;

已知首项、公差用公式Ⅱ.

②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察, 灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求 a1+an的值.

4、已知数列{a n }前n项和Sn,求通项公式a n的方法;

对于一般数列前n项和Sn与a n间的关系:

?S1,n ? 1; an ? ? ?Sn ? Sn-1,n>1.


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