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福建省莆田第一中学2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


试卷满分

150 分

考试时间

120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中有且只有一项是符合题目要求的, 把答案填在答题卡的相应位置. )
1. 已知集合 A ? {x | x ? 2}, B ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B =( A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 2 ,或 x ? 3} D. {x | x ? 0 ,或 x ? 2} )

e1 a ? ? dx 成立的一个充分而不必要条件是( 2. 已知 a 为常数,则使得 1 x

)

A. a ? 0

B. a ? 0

C. a ? e
2

D. a ? e

3.已知抛物线 x 2 ? 4 3 y 的准线过双曲线 为( ) A.
3 2 4

x ? y 2 ? ?1 的一个焦点,则双曲线的离心率 2 m

B.

6 2

C. 3

D.

3 3

4. ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边分别 a, b, c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列, 则角 B 等于( A . 300 ) B.
600

C. 900

D.

1200

? 5.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? < )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 2
的图象,则只需将 f ( x) 的图象( A.向右平移 C.向左平移 )

?
?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

? ?
3

个长度单位

个长度单位 6 3 6 . 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 直 线 y ? x ? a 与 圆 x 2 ? y 2 ? 4 分 别 交 于 A, B 两 点 . 若

OA ? OB ? ?2 ,则实数 a 的值为(



A.1 B. 2 C. ? 1 D. ? 2 2 7. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点, O 是坐标原点, | AF |? 5 , 点 若 则△ AOB 的面积为( ) 5 3 17 A. 5 B. C. D. 2 2 8 8.三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学

生排在一起的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 30 15 10 ? ? ? ? 9.设向量 a ? (a1 , a2 ) ,b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算: a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) ,已知
? ?? 1 ???? ?? ? m ? ( , 2) , n ? ( x1 ,sin x1 ) 。点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n (其中 O 2

为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是(



1 1 A. , ? B. 2, ? C. , 4? D. 2, 4? 2 2 10.对于函数 f ( x) 与 g ( x) 和区间 D,如果存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1 ,则称 x0 是函

数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 D 上的“友好点”.现给出两个函数: ① f ( x ) ? x 2 , g ( x) ? 2 x ? 2 ;
1 ③ f ( x) ? e ? x , g ( x) ? ? ; x

② f ( x ) ? x , g ( x) ? x ? 2 ; ④ f ( x) ? ln x , g ( x) ? x , ) D.①④

则在区间 ? 0, ?? ? 上的存在唯一“友好点”的是( A.①② B.③④ C. ②③

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.
11. (2 x 3 ?
1 x ) 7 的展开式中常数项为

. .

12.已知随机变量 ? ? N (0, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(? ? ?2) ?
?2 x ? y ? 0 ? 13. 已知变量 x, y满足? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? log 2 ( x ? y ? 1) 的最大值是 ?x ? 0 ?



14.已知 f ( x) ? 4x ? 1 , g ( x) ? 4? x ,若偶函数 h( x) 满足 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x) (其中 m,n 为 常数) ,且最小值为 1,则 m ? n ? .

15.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f (x) 为 ? 函数。 下面有三个命题: (1)若函数 f (x) 为 ? 函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 x ?1( x ? [0,1]) 是 ? 函数; (3)若函数 f (x) 是? 函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ? [0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中真命题是________. (填上所有真命题的序号) ...

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
16.(本小题满分 13 分)
1 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 2

(I)求 ? 值及 f ( x) 的单调递增区间; ( II) 在△ ABC 中 , a、b、c 分别是 三个 内角 A、B、C 所 对边 ,若 a ? 1 , b ? 2 ,
A 3 ,求 B 的大小. f( )? 2 2

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+b 在 x=-1 处的切线与 x 轴平行. (1)求 a 的值和函数 f(x)的单调区间; y= (2)若函数 y=f(x)的图象与抛物线

3 2 x -15x+3 恰有三个不同交点,求 b 的取值范围. 2

18.(本小题满分 13 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进 行铅球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7 。 (I) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从 今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人 中成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; ... (III) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间, 乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率. 19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点和短轴的 a2 b2

两个端点构成边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;m] (Ⅱ)过点 Q ( 1 , 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点. 点 P(4,3) ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,当 k1 ? k2 最大时,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? bx , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ) (1)若函数 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (2)求函数 g ( x) 的单调区间;
? f ( x), x ? 1 (3)当 b ? 0 且 a ? 0 时,令 F ( x) ? ? , P ( x1 , F ( x1 ) ), Q ( x2 , F ( x2 ) )为曲线 ? g ( x ) ? x, x ? 1

y= F ( x) 上的两动点,O 为坐标原点,能否使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且斜边中点在 y 轴上?请说明理由 21. (本小题满分 14 分) 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答.如果多做, 、 、 则按所做的前两题记分。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换
? a 0? 曲 线 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 在 矩 阵 M ? ? ? (a ? 0, b ? 0) 的 变 换 作 用 下 得 到 曲 线 ? 0 b?

C2 :

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值及对应的一个特征向量.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? 2 t, ? x? ? 2 (t 为参数) 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? .在极坐标 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

系(与直角坐标取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴)中, 曲线 C2 的方程为 ? sin 2 ? ? 4 cos? . (Ⅰ)求曲线 C2 直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 、 C2 交于 A、B 两点,定点 P(0, ?4) ,求 | PA | ? | PB | 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲. 若 a, b, c 为正实数且满足 a ? 2b ? 3c ? 6 , (1)求 abc 的最大值; (2)求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

三、解答题

17、解: (1)f′(x)=3x2-6x+a, …………(2 分) 由 f′(-1)=0,解得 a=-9. …………(3 分) 2 则 f′(x)=3x -6x-9=3(x-3)(x+1), 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞);f(x)的单调递减区间为(-1,3). (判断过程给两分) …………(7 分)
3 9 (2)令 g(x)=f(x)- ( x 2 ? 15 x ? 3) =x3- x2+6x+b-3, 2 2

…………(8 分)

则原题意等价于 g(x)=0 有三个不同的根. ∵g′(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1), ∴g(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减.

…………(9 分)

…………(10 分) 1 则 g(x)的极小值为 g(2)=b-1<0,且 g(x)的极大值为 g(1)=b- >0, 2
1 解得 <b<1. 2 1 ∴b 的取值范围 ( ,1) 。 2

…………(13 分)

18、解: (I)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,

∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

…………(2 分)

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人)………(4 分) (II) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
P( X ? 0) ? (

14 7 7 ,∴ X ~ B(2, ) .…………(5 分) ? 50 25 25

18 2 324 1 , P( X ? 1) ? C2 ( 7 )( 18 ) ? 252 , ) ? 25 625 25 25 625 7 49 . P( X ? 2) ? ( ) 2 ? 25 625

…………(7 分)

所求分布列为 X P
E( X ) ? 2 ? 7 14 ? 25 25

0
324 625

1
252 625

2
49 625

…………(9 分)

(III)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为
?8≤x≤10 , ? ?9.5≤y≤10.5

…………(10 分)

y
10.5 9.5 D F A 8 9 C E B 10

事件 A “甲比乙投掷远的概率”满足的区域为 x ? y ,如图所示.
1 1 1 ? ? ∴由几何概型 P( A) ? 2 2 2 ? 1 . 1? 2 16

x

…………(13 分)

19、解:
2 2 2 (Ⅰ)由已知得 b ? c ? 2 (2 分)又 a ?b ?c ?4,∴椭圆 C 方程为

x2 y2 ? ? 1 (4 分) 4 2

(Ⅱ)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k 1 ? k 2 ?

3 3 3 ? ? ; 4?2 4?2 4

…………………6 分

②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ?1 , 将 x ? my ?1 代入 则 y1 ? y 2 ?
x2 y2 ? ? 1 ,整理得 ( 2?) 2?m 3 0 m2 y 2y ?? . 4 2

?3 ?2m , y1 y 2 ? 2 . 2 m ? 2 m ?2

…………………8 分

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ?1 , 所以, k1 ? k2 ?
9 ? 3( y1 ? y2 ) ? y1 y2 (3 ? y1 )(3 ? y 2 ) 3 ? y1 3 ? y2 ? ? ? = 4 ? x1 4 ? x2 (3 ? m y1 )(3 ? m y 2 ) 9 ? 3m( y1 ? y2 ) ? m2 y1 y2


? 3m 2 ? 2m ? 5 3 4m ? 1 ……………10 分 ? ? 2 4m ? 6 4 8m 2 ? 1 2

令 t ? 4m?1,则 k1 ? k 2 ?

3 2t 3 2 ? 2 ? 1 ? ? 4 t ? 2t ? 25 4 ( t ? 2 5 ) ? 2 t

所以当且仅当 t ? 5 ,即 m ? 1 时,取等号. 由①②得,直线 l 的方程为 x ? y ?1? 0. ……………13 分 20、解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? b ,若 f ( x) 存在极值点, 则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? b ? 0 有两个不相等实数根。所以 ? ? 4 ? 12b ? 0 , ……………2 分 1 解得 b ? ? ……………3 分 3 a a?x (Ⅱ) g ?( x) ? ? 1 ? ……………4 分 x x 当 a ? 0 时, ?a ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; ……………5 分 当 a ? 0 时, ?a ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?a ? ,单调递增区间为 ? ?a, ?? ? 。 ……………7 分
?? x ? x , x ? 1 , 假设使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点的 (Ⅲ) 当 b ? 0 且 a ? 0 时, F ( x) ? ? ? a ln x, x ? 1 ??? ???? ? 直角三角形,且斜边中点在 y 轴上。则 OP ? OQ ? 0 且 x1 ? x2 ? 0 。 ……………8 分
3 2

不妨设 x1 ? t ? 0 。故 P(t , F (t )) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) 。 ??? ???? ? OP ? OQ ? ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 , (*) 该方程有解 ……………………………9 分 2 3 2 3 2 当 0 ? t ? 1 时, F (t ) ? ?t ? t ,代入方程 (*) 得 ?t ? (?t ? t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 即 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解; …………………………10 分 ??? ? ???? ??? ???? ? 当 t ? 1时, OP ? (1, 0), OQ ? (?1, 2) 则 OP ? OQ ? 0 ; …………11 分 2 3 2 当 t ? 1时, F (t ) ? a ln t ,代入方程 (*) 得 ?t ? a ln t (t ? t ) ? 0 1 即 ? (t ? 1) ln t , …………………………………12 分 a 1 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立。 x ∴ h( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,则值域为 ? 0, ?? ? 。
1 …………13 分 ? (t ? 1) ln t 有解,即方程 (*) 有解。 a 综上所述,对任意给定的正实数 a ,曲线上总存在 P, Q 两点,使得 ? POQ 是以 O 为直角 顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上。 ………………………………14 分

∴当 a ? 0 时,方程

(Ⅲ) (1)? 6 ? a ? 2b ? 3c ? 3 3 a ? 2b ? 3c 当且仅当 a ? 2b ? 3c 即 a ? 2, b ? 1, c ?

? abc ?

4 3

2 4 时等号成立。所以 abc 的最大值为 3 3

……3 分

(2)由柯西不等式,? a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? (a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1)(1 ? 1 ? 1) ? 3 3 当且仅当 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1即 a ? 2, b ? 1, c ?
2 时等号成立 3

所以 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 3 。

……………7 分



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