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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第5章 1


§1

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§1

【学习要求】 1.了解引进虚数单位 i 的必要性,了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本
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概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 4.理解复数的几何表示. 【学法指导】 可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性, 认识复数 代数形式的结构,从本质上理解复数和有序数对的对应关系.

填一填·知识要点、记下疑难点

§1

1.复数的有关概念
本 课 时 栏 目 开 关

(1)复数 ①定义:形如 a+bi 的数叫作复数,其中 a,b∈R,i 叫作

虚数单位 ,a 叫作复数的 实部 ,b 叫作复数的虚部 .
②表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi (a,b∈R). (2)复数集 ①定义: 复数的全体 组成的集合叫作复数集. ②表示:通常用大写字母 C 表示.

填一填·知识要点、记下疑难点
2.复数的分类及包含关系

§1

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?实数?b=0? ? ? ?纯虚数?a=0? (1)分类: 复数(a+bi, a, b∈R)? ?虚数?b≠0?? ? ?非纯虚数?a≠0? ? (2)集合表示:

3.两个复数相等 a+bi=c+di 当且仅当 a=c且b=d .

填一填·知识要点、记下疑难点

§1

4.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点 Z(a,b) ; → 平面向量 OZ=(a,b).

本 (2)复数 z=a+bi(a,b∈R) 课 时 5.复数的模 栏 目 → → 开 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为OZ,则OZ的模叫作复数 关

z 的模或绝对值,记作|z|,且|z|=

a2+b2 .

研一研·问题探究、课堂更高效

§1

探究点一

复数的概念

本 课 问题 1 为解决方程 x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么 时 栏 2 怎样解决方程 x +1=0 在实数系中无根的问题呢? 目 开 关 答 设想引入新数 i,使 i 是方程 x2+1=0 的根,即 i· i=

-1,方程 x2+1=0 有解,同时得到一些新数.

研一研·问题探究、课堂更高效 问题 2 如何理解虚数单位 i? 答 (1)i2=-1.

§1

(2)i 与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.
(3)由于 i2<0 与实数集中 a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很
本 多结论在复数集中不再成立. 课 时 (4)若 i2=-1,那么 i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1. 栏 目 问题 3 什么叫复数?怎样表示一个复数? 开 关 答 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,复数通常用字母 z 表

示,即 z=a+bi,这一表示形式叫复数的代数形式,其中 a、 b 分别叫作复数 z 的实部与虚部. 问题 4 什么叫虚数?什么叫纯虚数? 答 对于复数 z=a+bi(a,b∈R),当 b≠0 时叫作虚数;当 a =0 且 b≠0 时,叫作纯虚数.

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§1

例 1 请说出下列复数的实部和虚部, 并判断它们是实数, 虚数 还是纯虚数. 1 ①2+3i;②-3+ i;③ 2+i;④π;⑤- 3i;⑥0. 2 解 ①的实部为 2,虚部为 3,是虚数;②的实部为-3,虚 1 部为2,是虚数;③的实部为 2,虚部为 1,是虚数;④的实
部为 π,虚部为 0,是实数;⑤的实部为 0,虚部为- 3,是 纯虚数;⑥的实部为 0,虚部为 0,是实数.

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小结 复数 a+bi 中,实数 a 和 b 分别叫作复数的实部和虚 部.特别注意,b 为复数的虚部而不是虚部的系数,b 连同它 的符号叫作复数的虚部.

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§1

跟踪训练 1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在, 请举出 例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为- 2的虚数;(2)虚部为- 2的虚数;
本 课 (3)虚部为- 2的纯虚数;(4)实部为- 2的纯虚数. 时 栏 目 解 (1)存在且有无数个,如- 2+i 等; 开 关

(2)存在且不唯一,如 1- 2i 等; (3)存在且唯一,即- 2i;

(4)不存在,因为纯虚数的实部为 0.

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例2

§1

m2+m-6 2 当实数 m 为何值时,复数 z= + ( m -2m)i 为 m
2 ? m ? -2m=0 (1)当? ? ?m≠0

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

本 课 时 栏 目 开 关



,即 m=2 时,复数 z 是实数;

2 ? ?m -2m≠0, (2)当? ? ?m≠0

即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数;

?m2+m-6 ? =0 m (3)当? 2 ? ?m -2m≠0 小结

,即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数.

利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部

满足的条件,可列方程或不等式求参数.

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§1

m?m+2? 跟踪训练 2 实数 m 为何值时,复数 z= +(m2+2m- m- 1 3)i 是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

本 课 意义即 m-1≠0,解得 m=-3. 时 m?m+2? 栏 2 有意义 目 (2)要使 z 是虚数,m 需满足 m +2m-3≠0,且 m - 1 开 关

m?m+2? (1)要使 z 是实数,m 需满足 m +2m-3=0,且 有 m-1
2

即 m-1≠0,解得 m≠1 且 m≠-3. m?m+2? (3)要使 z 是纯虚数,m 需满足 =0, m-1

且 m2+2m-3≠0,
解得 m=0 或 m=-2.

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§1

探究点二

两个复数相等

问题 1 两个复数能否比较大小?
本 答 如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小. 课 时 栏 问题 2 两个复数相等的充要条件是什么? 目 开 答 复数 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d(a, b, 关

c,d∈R).

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§1

例 3 已知 x,y 均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i, 求 x 与 y.
本 课 时 栏 目 开 关
? ?2x-1=-y, 由复数相等的充要条件得? ? ?1=y-3.



3 ? ?x=- , 2 解得? ? ?y=4.

小结

两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然

后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以 确定两个独立参数.

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§1

x2-x-6 跟踪训练 3 已知 =(x2-2x-3)i(x∈R),求 x 的值. x+1
本 课 时 解 栏 目 开 关

?x2-x-6 ? =0. x + 1 由复数相等的定义得? 2 ? x ? -2x-3=0.

解得:x=3,

所以 x=3 为所求.

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§1

探究点三

复数的几何意义

问题 1 实数可用数轴上的点来表示, 类比一下, 复数怎样来表 示呢?
本 课 时 栏 目 开 关

答 任何一个复数 z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一 对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一 一对应. 结论 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面, x轴 叫作实轴,y 轴叫作虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除 了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

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问题 2 下列命题是否正确?

§1

①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; ②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; ③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
本 课 时 栏 目 开 关

④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;
答 根据实轴的定义,x 轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反 过来, 实数对应的点都在实轴上, 如实轴上的点(2,0)表示实数 2, 因此①③是真命题;根据虚轴的定义,y 轴叫虚轴,显然所有纯 虚数对应的点都在虚轴上,如纯虚数 5i 对应点(0,5),但虚轴上 的点却不都是纯虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示的是实数,故除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题.

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§1

问题 3 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系?
答 当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,从

本 课 时 问题 4 怎样定义复数 z 的模?它有什么意义? 栏 → 目 答 复数 z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量OZ=(a,b)的模, 开 关

而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.

记作|z|或|a+bi|.

|z|=|a+bi|= a2+b2可以表示点 Z(a,b)到原点的距离.

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§1

例 4 在复平面内,若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 对应 点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线 y=x 上,分别求 实数 m 的取值范围.
本 课 时 栏 目 开 关

解 复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 的实部为 m2-m-2, 虚部为 m2-3m+2.

(1)由题意得 m2-m-2=0. 解得 m=2 或 m=-1.
2 ? ?m -m-2<0 (2)由题意得? 2 ? ?m -3m+2>0

? ?-1<m<2 ,∴? ? ?m>2或m<1

,∴-1<m<1.

(3)由已知得 m2-m-2=m2-3m+2,故 m=2.

研一研·问题探究、课堂更高效

§1

小结

按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应

本 关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内 课 时 栏 找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数 目 开 实部、虚部的取值. 关

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§1

跟踪训练 4 已知复数 z 的虚部为 3, 在复平面内复数 z 对应的 向量的模为 2,求复数 z.
本 课 时 解 由已知,设 z=a+ 3i(a∈R). 栏 目 2 2 开 则 a + ( 3) =4.解得 a=± 1. 关

所以 z=± 1+ 3i.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1

1.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数
本 课 时 栏 目 开 关

a,b 的值分别是 A. 2,1 C.± 2,5 B. 2,5 D.± 2,1

( C )

解析

2 ? a ? =2 令? ? ?-2+b=3

,∴a=± 2,b=5.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1

2. 如果 z=m(m+1)+(m2-1)i 为纯虚数, 则实数 m 的值为( B )
本 课 时 栏 目 开 关

A.1
解析

B. 0

C.-1

D.-1 或 1

? ?m?m+1?=0 由题意知? 2 ? ?m -1≠0

,∴m=0.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1

3.在复平面内,复数 z=i+2i2 对应的点位于 A.第一象限
本 课 时 栏 目 开 关

( B )

B.第二象限 D.第四象限

C.第三象限

解析 ∵z=i+2i2=-2+i, ∴实部小于 0,虚部大于 0, 故复数 z 对应的点位于第二象限.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1

4.已知复数 z=a+ 3i 在复平面内对应的点位于第二象限,且 |z|=2,则复数 z 等于
本 课 时 栏 目 开 关

( A ) B.1+ 3i D.-2+ 3i

A.-1+ 3i C.-1+ 3i 或 1+ 3i

解析 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限, 所以 a<0, 由|z|=2 知, a2+? 3?2=2,解得 a=± 1,
故 a=-1,所以 z=-1+ 3i.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1

1.对于复数 z=a+bi(a,b∈R),可以限制 a,b 的值得到复数 z
本 课 时 栏 目 开 关

的不同情况; 2.两个复数相等,要先确定两个复数实虚部,再利用两个复数相 等的条件; 3.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数 和复平面内以原点为起点的向量一一对应; 4.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚 部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.



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