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高三数学(理)立体几何专项复习-完整篇


立体几何专项复习 一、 【知识梳理】
1、线线平行 ①利用相似三角形或平行四边形,三角形的中位线 ②利用公理 4:平行于同一直线的两条直线互相平行

a // ? ? ? ③线面平行?线线平行即 a ? ? ? ? a // l ? ? ? l? ?
④面面平行?线线平行

a

?
l

?

? // ? ? ? 即 ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?


⑤垂直于同一平面的两条直线平行 2、线线垂直 ①两条直线所成角为 90?(勾股定理) ; ②线面垂直?线线垂直 ③三垂线定理及其逆定理 即

a ? ?? ? ? a // b b ???

a ? ?? ??a ?b b ? ?? AB ? ? ? ? ? AC ? l BC ? l ? AB ? ? ? ? ? BC ? l AC ? l ?

三垂线定理:

三垂线逆定理:

④两直线平行,其中一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于这条直线。 3、线面平行 ①定义:若一条直线和一个平面没有公共点,则它们平行; ②线线平行?线面平行 若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线,则它与这个平面平行。

a // b ? ? 即 b ? ? ? ? a // ? a ? ?? ?
③面面平行?线面平行 若两平面平行, 则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。 即

? // ? ? ? ? a // ? a ? ??

4、线面垂直 ①线线垂直?线面垂直 若一条直线垂直平面内两条相交 直线,则这条直线垂直这个平面。 ....

a ? b, a ? c ? ? 即b ? ?,c ? ?? ? a ? ? b?c ?O ? ?
②面面垂直?线面垂直 两平面垂直, 其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线, 则这条直线垂直于另一个平面。

? ? ? ,? ? ? ? l ? ? a ? ?, 即 ??a ? ?
a?l ? ?
?

?

a l

③两平面平行,有一条直线垂直于垂直于其中一个平面,则这条直线垂直于另一个平面。 即

? // ? ? ??l ?? l ? ??

④两直线平行,其中一条直线垂直于这个平面,则另一条直线也垂直于这个平面。 即

a // b ? ??b ?? a ? ??

5、面面平行 ①线面平行?面面平行 若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行。

a // ? , b // ? ? ? 即 a ? ? , b ? ? ? ? ? // ? a?b ? O ? ?
②平行于同一平面的两个平面平行 即

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

③垂直于同一条直线的两个平面平行



? ? l? ? ? ? // ? ? ? l?


6、面面垂直

①依定义,二面角的平面角为 90?;

? ?

?
a

a ? ?? ??? ? ? a ? ??

?

立体几何的证明——几何法 1:如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. (1)证明:AP∥平面 BDM; (2)求证:AP∥GH.

2:如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上.求证: (1)BC⊥A1D; (2)平面 A1BC⊥平面 A1BD.

3、在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 , O, D 分别是 AB, PB 的中点. (Ⅰ)求证: OD ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

P

D A

C
O
B

4、如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45 , ?C ? 90 , ?ADC ? 105 , AB ? BD , 现将四边形 ABCD 沿 BD 折起, 使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. A (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦; (3)求二面角 B-EF-A 的余弦.

A

F E
D B

D
C 甲

B C 乙

利用向量解决角度问题: (1)异面直线所成角:设异面直线 a 和 b 的夹角为 ? , cos ? ? cos a, b ?

a ?b a?b

(2)直线与平面所成的角θ 即图中的 ?ABC ,0°≤θ ≤90° ?=0 时,b∥?或b ? ?
o

①先求平面 ? 的法向量 n ,

A

②求: sin ? ? cos n, AB ?

n ? AB n ? AB
α

n
C B

(3) 二面角:①先求平面 ? , ? 的法向量 n1 , n2 ②求 cos n1 , n2 ③设平面 ? , ? 所成二面角的平面角为 ?

α

n1
n2

观察:如果二面角是锐角,则 cos ? = cos n1 , n2 如果二面角是钝角,则 cos ? = ? cos n1 , n2 利用向量求距离 ①两点间的距离:连接两点的线段的长。

β

求法: (1)纳入三角形,将其作为三角形的一边,通过解三角
形求得 (2)用公式, A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) , 则|AB|= | AB |? A

n
C α B

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 ? ?z1 ? z3 ?2

②.空间距离:用法向量求点到平面的距离

如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平面α 的法向量,

则 A 到平面α 的距离为 d ?

AB ? n


n

立体几何的角度,距离问题——几何法与空间向量法 1 、右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,

PD ? 2 EC ,
(1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ;

2、 已知三棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面 ABC, AB⊥AC, PA=AC= 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求异面直线 AB 与 PS 所成的角的正弦值. (3)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小的余弦值. (4)求二面角 M—CN—B 的正切值.

1 AB, N 为 AB 上一点, AB=4AN,M,S 2

3、一个多面体的三视图及直观图如下图所示: (1)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值: (2)试在平面 ADD1A1 中确定一个点 F,使得 FB1⊥平面 BCC1B1; (3)在(Ⅱ)的条件下,求二面角 F―CC1―B 的余弦值. a a 2a 主视图 2a A1 2a D C 2 a a a 2a 侧视图 D1 B1 C1 2 a

a

俯视图

A

直观图

B

4、如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上.求证: (1)BC⊥A1D; (2)平面 A1BC⊥平面 A1BD.

二、 【高考链接】
一、选择题 1、 (2013 广东高考) 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体 积是 ( A. 4 C. ) B.

14 3

16 3

D. 6

2、 (2013 广东高考)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同 的平面,下列命题中正确的是( ) D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? A . 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

3、 (2012 广东高考)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 ( ) A. 12? C. 57? B. 45? D. 81?

4、 (2011 广东高考)如图 1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图)是 平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的 体积为

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D.18 3

5、 (2014 江门高三 12 月调研)如图 1, E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AD 1、

B1C 上的动点(不含端点) ,则四边形 B1FDE 的俯视图可能是

A.

B.

C.

D.

图1

6、 (2014 揭阳一模)一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的体积为

A. 16 ? ? 二、解答题

B.12 ? 4?

C.12 ? 2?

D. 12 ? ?

7、 (2014 广东高考)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是

AC, AB 上的点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的
四棱锥 A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 . (Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

C D

O. E

B

A?

C A 图1 D

O E 图2

B

8、 (2012 广东高考)如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面
ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE .

(Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ?1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

9、 (2011 广东高考)如图 5,在锥体 P ? ABCD 中, ABCD 是 P 菱形,且 ?DAB ? 60 , PA ? PD ? 2 , PB ? 2 , E , F 分别是 BC , PC 的中点. (1)证明: AD ? 平面 DEF ; (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

边长为 1 的

F

D E
A
图5

C

B

10、已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

? ,AB=BC=2AD=4,E、F 分别 2

是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯形 ABCD 翻折, 使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图). (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2) 若以 F、 B、 C、 D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.
E F

A

D

B

G

C

11、 (2014广州一模)如图5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的 中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2FB . (1)求证: EF ? AC 1 1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

C1

D1 A1
E

B1

C

D F
A
图5

B

12、 (2014 揭阳一模)如图(6),四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,侧棱 SA⊥ 底面 ABCD, 过 A 作 AE 垂直 SB 交 SB 于 E 点,作 AH 垂直 SD 交 SD 于 H 点,平面 AEH 交 SC 于 K 点,且 AB=1,SA=2. (1)设点 P 是 SA 上任一点,试求 PB ? PH 的最小值; (2)求证:E、H 在以 AK 为直径的圆上; (3)求平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

13、已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ )求此几何体的体积; (Ⅱ )求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ )探究在 DE 上是否存在点Q,使得 AQ ? BQ ,并说明理由.

CA ? CB , CA ? CB ? 1 , 14、 (2014 江门高三 12 月调研) 如图 2, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
棱 AA1 ? 2 , M 、 N 分别是 A1 B1 、 A1 A 的中点. ⑴ 求证: C1 N ? 平面 BCN ; ⑵ 求直线 B1C 与平面 C1 MN 所成角 ? 的正弦值.

C1 A1
M

B1

N C
A

图2

B

15.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AC

BD ? O .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使

AC ? 1 ,得到三棱锥 A—BCD,如图所示.
(I)若点 M 是棱 AB 的中点,求证:OM∥平面 ACD; (II)求证: AO ? 平面BCD ; (III)求二面角 A ? BC ? D 的余弦值.

三、 【课后作业】

一.基础题组 1.把边长为1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三棱
锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 ( )

A.

1 2

B.

1 4

C.

2 4

D.

2 2

2.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1 所示,其中俯视图是中心角为 60? 的扇形,则该
几何体的体积为( A. ) B.

? 3

2? 3

C. ?

D. 2?

3.某几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左)视图的边界均为直角三角形,
俯视图的边界为直角梯形,则该几何体的体积为 .

4.图(1)中的网格纸是边长为1 的小正方形,在其上用粗线画出了一四棱锥的三视图,则
该四棱锥的体积为( A. 4 B. 8 ) C. 16 D. 20

5.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何
体的体积是( A. ) B. 1 C.

1 2

2 3

D. 2

二.拔高题组 1. 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD
BC ? 4 . E 是 PD 的中点,
(Ⅰ )求证:平面 PDC ⊥ 平面 PAD ; (Ⅱ )求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ )求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 中, PA ⊥ 平面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,

2. 如图 5 , 矩形 ABCD中 , AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F
其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ)求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ)求直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值.

分别为 CD 、 AB 边上的点 , 且

DE ? 3 , BF ? 4 ,将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、EF 、PF ,

3.如图,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 平面 ABCD , EA
F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点.
(1)求证: FG 平面 PED ;

PD , AD ? PD ? 2 EA ,

(2)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.

4.在如图

6 的几何体中,平面 CDEF 为正方形,平面 ABCD 为等腰梯形, AB //CD ,

AB ? 2 BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值.

5.如图(5) , 已知 A 、B 、C 为不在同一直线上的三点, 且 AA 1 //BB 1 //CC1 ,AA 1 ? BB 1 ? CC1 .
(1)求证:平面 ABC //平面 A1B1C1 ;

AC ? 平面 AB1C1 ; BC ? 3 ,AB ? 5 , (2) 若 AA1 ? 平面 ABC , 且 AC ? AA1 ? 4 , 求证: 1
(3)在(2)的条件下,求二面角 C1 ? AB1 ? C 的余弦值.

6.如下图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 A1 ABB1 为菱形, ?A1 AB ? 45? ,四边形
BCC1 B1 为矩形,若 AC ? 5 , AB ? 4 , BC ? 3 .
(1)求证: AB1 ? 面 A1 BC ; (2)求二面角 C ? AA 1 ? B 的余弦值;

答案: 知识梳理 几何法 4、 (1)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45 ∴ ?ADB ? 45 , ?ABC ? 90 即 AB ? BD ----------------------------------------2 分 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥ CD.------------------------4 分 又 ?DCB ? 90 ,∴DC⊥ BC,且 AB 平面 BDC=BD

BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. ------5 分

(2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥ 平面 ABC,垂足为点 E∴∠ FBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角--------------7 分 在图甲中,∵ ?ADC ? 105 , ∴ ?BDC ? 60 , ?DBC ? 30

设 CD ? a 则 BD ? 2a, BC ? 3a , BF ? 2BD ? 2 2a , EF ?

1 1 CD ? a -9 分 2 2

1 a EF 2 ? 2 ? ∴在 Rt△ FEB 中, sin ?FBE ? FB 4 2a
即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为

2 .---------------------10 分 4

(3)由(2)知 FE⊥ 平面 ABC,又∵BE ? 平面 ABC,AE ? 平面 ABC, ∴FE⊥ BE,FE⊥ AE, ∴∠AEB 为二面角 B-EF-A 的平面角----------------12 分 在△AEB 中, AE ? BE ?

1 1 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? a 2 2 2

AE 2 ? BE 2 ? AB 2 1 ?? ∴ cos ?AEB ? 2 AE ? BE 7
即所求二面角 B-EF-A 的余弦为 ?

1 .-------------------14 分 7

向量法 2、证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐 标系如图。

则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) ,M(1,0,

1 1 1 ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0).……4 分 2 2 2

(Ⅰ) CM ? (1, ?1, ), SN ? (?

1 2

1 1 , ? , 0) , 2 2

因为 CM ? SN ? ? 所以 CM⊥SN (Ⅱ) NC ? ( ?

1 1 ? ?0 ? 0, 2 2
……6 分

1 ,1, 0) , 2

设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

1 ? x ? y ? z ? 0, ? ? 2 令x ? 2,得a=(2,1,-2). 则? 1 ?? x ? y ? 0. ? ? 2 1 2 ? 2 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2 ?1 ?
所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45°。

……9 分

……12 分

3、解;依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台,且 D1D⊥底面 ABCD。 AB=2A1B1=2DD1=2a……………2 分 以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在的直线为 X,Y,Z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , A(2a,0,0) ,B1(a,a,a) ,D1(0,0,a) , B(2a,2a,0) ,C(0,2a,0) ,C1(0,a,a)…4 分 (Ⅰ)? AB1 ? ?? a,a,a? DD1 ? ?0, 0,a? z D1 A1 B1 C1

? cos? AB1, DD1 ? ?

AB1 · DD1 AB1 DD1

?

a2 3a 2 a 2

D A x B

C y

3 ? 3

即直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为

(II)设 F(x,0,z) ,? BB1 ? ?? a,?a, a?, BC ? ?? 2a,0.0?

3 ………………………………………………6 分 3
? ? FB1 ? BB1 ? 0 ? ? FB1 ? BC ? 0

FB1 ? ?a ? x, a, a ? z ?

由 FB1 ? 平面 BCC1B1 得 ?

?? a?a ? x ? ? a 2 ? a(a ? z ) ? 0 ?x ? a 即? 得? ? F (a,0,0) 即 F 为 DA 的中点…………9 ? 2a ( a ? x ) ? 0 ?z ? 0 ?
分 (III)由(II)知 FB1 为平面 BCC1B1 的法向量。 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FCC1 的法向量。?CC1 ? (0,?a, a), FC ? (?a,2a,0) 由?

? ?n ? CC1 ? 0 ? ? n ? FC ? 0

即?

? ? ay1 ? az1 ? 0 令 y1=1 得 x1=2,z1=1 ?? ax1 ? 2ay1 ? 0
n ? FB1 n ? FB1 ? a?a 6 ? 2a 2 ? 3 3

? n ? (2,1,1) cos ? n, FB1 ??

即二面角 F―CC1―B 的余弦值为

3 …………………………………12 分 3

4、证明:(1)由于 A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, 则 A1O⊥平面 BCD,又 BC?平面 BCD, 则 BC⊥A1O, 又 BC⊥CO,A1O∩CO=O, 则 BC⊥平面 A1CD,又 A1D?平面 A1CD, 故 BC⊥A1D. (2)因为 ABCD 为矩形,所以 A1B⊥A1D. 由(1)知 BC⊥A1D,A1B∩BC=B,则 A1D⊥平面 A1BC,又 A1D?平面 A1BD. 从而有平面 A1BC⊥平面 A1BD.

高考链接 1、B 2、D 3、C 4、B 5 、D 6、选 D。由三视图知,此组合体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体、中心去除一个半 径为 1 的圆柱,故其体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?12 ?1 ? 12 ? ? 7、(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3 2, AD ? 2 2

A?

C D H

O E

B

连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得

OD ? OC 2 ? CD2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
由翻折不变性可知 A?D ? 2
2 2 2

2,

所以 A?O ? OD ? A?D ,所以 A?O ? OD , 同理可证 A?O ? OE , 又 OD

OE ? O ,所以 A?O ? 平面 BCDE . (Ⅱ) 传统法:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角.
结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ? 所以 cos ?A?HO ?

30 3 2 2 2 ,从而 A?H ? OH ? OA? ? 2 2

OH 15 15 ? ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . A?H 5 5 z A? 向量法:以 O 点为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,
则 A? 0, 0, 3 , C

?

?

?0, ?3,0? , D ?1, ?2,0?

所以 CA? ? 0,3, 3 , DA? ? ?1, 2, 3 设n ?

?

?

?

?

C D

B O E x
向量法图

y

? x, y, z ? 为平面 A?CD 的法向量,则

? ? ? ? y ? ?x ?n ? CA? ? 0 ?3 y ? 3 z ? 0 ,即 ? ,解得 ? ,令 x ? 1 ,得 n ? 1, ?1, 3 ? z ? 3 x ? ? n ? DA ? 0 ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? ?

?

?

由(Ⅰ) 知, OA? ? 0, 0, 3 为平面 CDB 的一个法向量, 所以 cos

?

?

n, OA? ?

n ? OA? 3 15 , 即二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 ? ? 5 3? 5 n OA?

15 . 5

8、解析: (Ⅰ)因为 PC ? 平面 BDE , BD ? 平面 BDE ,所以 PC ? BD .又因为 PA ? 平 面 ABCD ,BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD .而 PC

PA ? P ,

PC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC ,所以 BD ? 平面 PAC .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PAC ,而 AC ? 平面 PAC , 所以 BD ? AC ,而 ABCD 为矩形,所以 ABCD 为正方形,于是

AB ? AD ? 2 .
法 1:以 A 点为原点, AB 、 AD 、 AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? BDP .则 P ? 0,0,1? 、C ? 2,2,0 ? 、B ? 2,0,0? 、

D ? 0,2,0 ? ,于是 BC ? ? 0,2,0? , PB ? ? 2,0, ?1? .设平面 PBC 的一个法向
量 为 n1 ?

? x, y, z ? , 则 ? ?

?n1 ? BC ? 0

?2 y ? 0 ,从而 ? ,令 x ?1 ,得 2 x ? z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? 1

n1 ? ?1,0,2? . 而平面 PAC 的一个法向量为 n2 ? BD ? ? ?2,2,0? . 所以二面角 B ? PC ? A 的
余弦值为 cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 n1 n2

=

2 10 ? ,于是二面角 5 ? 2 2 10

B ? PC ? A 的正切值为 3.

法 2: 设 AC 与 BD 交于点 O , 连接 OE .因为 PC ? 平面 BDE ,
OE ? 平面 BDE , 所以 PC ? OE ,PC ? BE , BE ? 平面 BDE ,

于是 ?OEB 就是二面角 B ? PC ? A 的平面角.又因为 BD ? 平面
PAC ,OE ? 平面 PAC , 所以 ?OEB 是直角三角形.由 ?OEC ∽ ?PAC 可得

OE PA ? ,而 AB ? AD ? 2 ,所以 AC ? 2 2 , OC ? 2 ,而 PA ?1 ,所以 OC PC
PC 3 3

PC ? 3 ,于是 OE ? PA ? OC ? 1 ? 2 ? 2 ,而 OB ? 2 ,于是二面角 B ? PC ? A 的正切值为

OB ? 3. OE

9、 (1)证明:取 AD 的中点 H ,连接 PH , BH , BD ∵ PA ? PD ,∴ AD ? PH ∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ∴△ ABD 是等边三角形 ∴ AD ? HB , PH HB ? H ∴ AD ? 平面 PHB ∴ AD ? PB ∵ E , F 分别是 BC , PC 的中点 ∴ EF ∥ PB , HB ∥ DE ∴ AD ? DE , AD ? EF , DE EF ? E ∴ AD ? 平面 DEF (2)解:由(1)知 PH ? AD , HB ? AD 易求得 PH ?

P

F

H
A

D

C

E
B

∴ ? PHB 是二面角 P ? AD ? B 的平面角

7 3 , BH ? 2 2
P ? AD ? B 的 余 弦 值 为

7 3 3 ? ?4 ? PH 2 ? HB 2 ? PB 2 21 4 4 2 ? ? ?? ∴ cos?PHB ? ∴二面角 2 PH ? HB 7 7 3 21 2? ? 2 2 2

?

21 7

10、 (1)方法一:∵ 平面 AEFD ? 平面 EBCF ,? EF // AD , ?AEF ?

?
2

,
z
D

? AE⊥ EF,∴ AE⊥ 平面 EBCF ,AE⊥ EF,AE⊥ BE,又 BE⊥ EF,故可如图建
立空间坐标系 E-xyz.

A

? EA ? 2,? EB ? 2 ,又? G 为 BC 的中点,BC=4,

E F

y

? BG ? 2 .则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,
2) ,E(0,0,0) , BD ? (-2,2,2) , EG ? (2,2,0) ,
B G C

x

BD ? EG .…4 分 BD ? EG ? (-2,2,2) (2,2,0)=0,∴
方法二:作 DH⊥ EF 于 H,连 BH,GH, 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥ 平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥ DH.

? EF // BC ,? ?AEH ? ?EBC ?

?
2

,? AE ? EF ,? AE // DH . ? AD // EF ,? AEHD
A

为平行四边形,? EH ? AD ? 2,? EH // BC , EH ? BC ,

D

E

H
F

B

G

C

且 ?EBC ?

?
2

, BE ? BC ? 2 ,? 四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥ BH,BH ? DH=H,

故 EG⊥ 平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴ EG⊥ BD.………4 分 (2)∵ AD∥ 面 BFC,所以 f ( x) ? V D ? BCF =VA-BFC=

1 1 1 ? S ?BCF ? AE ? ? ? 4(4 ? x ) x 3 3 2

2 8 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? ,即 x ? 2 时 f ( x) 有最大值为 . ………8 分 3 3 3 3
(3)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵ AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) ,

BF ? (?2,3,0), BD ? (-2,2,2) F(0,3,0) ,∴ ,


? ?( x, y, z ) (?2, 2, 2) ? 0 ?n1 BD ? 0 , 即 ? , ? ? ( x, y, z ) (?2,3,0) ? 0 ? ? n1 BF ? 0

A H

D

??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 n1 ? (3,2,1) 取 x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,∴ ? ? ?2 x ? 3 y ? 0
? AE ? 面BCF ,? 面 BCF 一个法向量为 n2 ? (0,0,1)
则 cos< n1 , n2 >= B

E _

F M C

G

n1 n2 14 ? ,………13 分 | n1 || n2 | 14
14 .………14 分 14

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-

11、推理论证法:
(1)证明:连结 B1D1 , BD ,因为四边形 A1B1C1D1 是正方形,所以 AC 1 1 ?B 1D 1. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 ? 平面 A1B1C1D1 ,

A1C1 ? 平面 A1B1C1D1 ,所以 AC 1 1 ? DD 1. 因为 B1D1 DD1 ? D1 , B1D1 , DD1 ? 平面 BB1D1D , 所以 A1C1 ? 平面 BB1D1D . 因为 EF ? 平面 BB1D1D ,所以 EF ? AC 1 1. (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH AE . 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG BH ,则 FG AE . 连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.
因为 CH ?

D1 A1
E

C1 G B1
F
B
H

D
A

C

D1 A1
E

C1 B1
F
B

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3

D
A

C

N
M

所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? (3)延长 EF , DB ,设 EF

1 1 a .故当 C1G ? a 时, A ,E ,G ,F 四点共面. 6 6

DB ? M ,连结 AM , 则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线. 过点 B 作 BN ? AM ,垂足为 N ,连结 FN ,
因为 FB ? AM , FB

BN ? B ,所以 AM ? 平面 BNF .

因为 FN ? 平面 BNF ,所以 AM ? FN . 所以 ?FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角.
1 a MB 2 MB BF 2 ? ,所以 MB ? 2 因为 ? ? 3 ? ,即 MB ? 2a 3 MD DE 1 a 3 2

2a .

在△ ABM 中, AB ? a , ?ABM ? 135 ,
2 2 2 所以 AM ? AB ? MB ? 2 ? AB ? MB ? cos135

? a 2 ? 2 2a

?

?

2

? 2 ? ? 13a 2 .即 AM ? 2 ? a ? 2 2a ? ? ?? 2 ? ? ? ?

? 13a .

因为

1 1 AM ? BN ? AB ? MB ? sin135 , 2 2
2

a ? 2 2a ? 2 ? 2 13 a . 所以 BN ? AB ? MB ? sin135 ? AM 13a 13

? . 所以 FN ? BF 2 ? BN 2 ? ? 1 a ? ? ? 2 13 a ? ? 7 13 a .所以 cos ?FNB ? ? ? ? ? FN 7 ? 13 39 ?3 ? ? ? ?
2

2

BN

6

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 空间向量法:

6 . 7

(1)证明:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 A? a,0,0? , A 1 ? a,0, a ? , C1 ? 0, a, a ? ,

z

D1 A1
E

C1 B1
F

1 ? 1 ? ? ? E ? 0, 0, a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ? ?
A

D
B

C

y

x

所以 AC , EF ? ? a, a, ? 1 1 ? ? ?a, a,0 ?
2 2

? ?

1 ? a? . 6 ?

因为 AC 1 1 EF ? ?a ? a ? 0 ? 0 ,所以 AC 1 1 ? EF .所以 EF ? AC 1 1. (2)解:设 G ? 0, a, h ? ,因为平面 ADD1 A1 平面 ADD1 A1 所以 FG 平面 BCC1B1 , 平面 AEGF ? FG ,

平面 AEGF ? AE ,平面 BCC1B1

AE . (

所以存在实数 ? ,使得 FG ? ? AE . 因为 AE ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , FG ? ? ?a, 0, h ? a ? , 2 ? 3 ? ? ? ? 1 ? a? . 2 ?

所以 ? ?a, 0, h ? a ? ? ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 3 ?

所以 ? ? 1 , h ?

5 5 1 a .所以 C1G ? CC1 ? CG ? a ? a ? a . 6 6 6

故当 C1G ?

1 a 时, A , E , G , F 四点共面. 6

(3)解:由(1)知 AE ? ? ?a, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,则 ?

? ?n AE ? 0, ? ?n AF ? 0.

? ax ? az ? 0, 即? ? 2 ? ? ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?

?

1

取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 .所以 n ? ?3, ?2,6? 是平面 AEF 的一个法向量. 而 DD1 ? ? 0,0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? , 则
cos ? ? n DD1 n DD1

?

0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6
2 2 2

6 ? . 7 3 ? ? ?2 ? ? 6 ? a

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

6 . 7

12、 (1)将侧面 SAB 绕侧棱 SA 旋转到与侧面 SAD 在同一平面内,如右图示, 则当 B、P、H 三点共线时, PB ? PH 取最小值,这时, PB ? PH 的 最小值即线段 BH 的长,设 ?HAD ? ? ,则 ?BAH ? ? ? ? , 在 Rt ?AHD 中,∵ AH ?

SA ? AD 2 AH 2 ,∴ cos ? ? ,--------------------2 分 ? ? SD AD 5 5

在三角形 BAH 中,有余弦定理得:

4 2 2 17 ? (? )? BH 2 ? AB2 ? AH 2 ? 2 AB ? AH cos(? ? ? ) ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5
∴ ( PB ? PH )min ? BH ?

85 .------------------------------------------------------------4 分 5

(2)证明:∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,又 EA ? 平面 SAB,∴EA⊥BC,又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面 SBC , 又 EK ? 平面 SBC,∴EA⊥EK, 同理 AH⊥KH,∴E、H 在以 AK 为直径的圆上 (3)方法一:如图,以 A 为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空间 直角坐标系如右图示,----------------------------------------------------------------------------10 分 则 S(0,0,2) ,C(1,1,0) ,由(1)可得 AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面 AEKH,

SC ? ( 1,1, ? 2 ) 为平面 AEKH 的一个法向量,-------------------11 分

AS ? ( 0 , 0 , 2 ) 为平面 ABCDF 的一个法向量,-------------------12 分
设平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 ? , 则 cos ? ?| cos ? AS ? SC ?|? | AS ? SC | ? 4 ? 6 . ----------------13 分 3 | AS | ? | SC | 2 6

∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值

6 ---14 分 3

【方法二: 由 ?SAB ? ?SAD 可知 又∵ EH ? 面 AEKH,

SE SH ? ,故 EH / / BD , SB SD

BD ? 面 AEKH, ∴ BD / / 面 AEKH. ------------------------10 分
设平面 AEKH ? 平面 ABCD=l,∵ BD / / 面 AEKH,

l / / BD -------------------------------------------------------------11 分 ∴

∵BD⊥AC,∴ l ⊥AC, 又 BD⊥SA,∴BD⊥平面 SAC,又 AK ? 平面 SAC, ∴BD⊥AK, ∴ l ⊥AK,

? CAK 为平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的一个平面角,--------------13 分 ∴ cos ?CAK ? cos ?CSA ?

2 6 ? 3 6
6 .------------------------14 分 3

∴ 平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为

13.解: (Ⅰ)由该几何体的三视图可知 AC 垂直于底面 BCED ,且 EC ? BC ? AC ? 4 ,

BD ? 1 ,

1 1 1 40 ? S BCED ? ? (4 ? 1) ? 4 ? 10 , V ? S BCED ? AC ? ? 10 ? 4 ? ,此几何体的体积为 2 3 3 3 40 ; 3
解法一: (Ⅱ)过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接 AF ,则 ?FBA 或其补角即为异面直 线 DE 与 AB 所成角,在 ?BAF 中, AB ? 4 2 , BF ? AF ? 16 ? 9 ? 5 ,

? cos?ABF ?

BF 2 ? AB2 ? AF 2 2 2 2 2 ? ; 即异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 。 2 BF ? AB 5 5

(Ⅲ)在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ? BQ ;取 BC 中点 O ,过点 O 作 OQ ? DE 于点 Q , 则点 Q 为所求点;连接 EO 、 DO ,在 Rt ?ECO 和 Rt ?OBD 中,
E

?

EC OB ? ? 2 ,? Rt ?ECO ∽ Rt ?OBD ,? ?CEO ? ?BOD , CO BD
C O

Q D

? ?EOC ? ?CEO ? 900 ,? ?EOC ? ?DOB ? 900 , ?EOD ? 900 , ?

B

OE ? CE 2 ? CO 2 ? 2 5 , OD ? OB2 ? BD2 ? 5 , ?
OE ? OD 2 5 ? 5 ? ? 2, ED 5

A

OQ ?

CQ , ? 以 O 为圆心,BC 为直径的圆与 DE 相切, 切点为 Q , 连接 BQ 、 可得 BQ ? CQ ;

? AC ? 平面BCED , BQ ? BCED ,? AC ? BQ ,? BQ ? ACQ , ? AQ ? 平面ACQ ,? AQ ? BQ ;
解法二: (Ⅰ)同上。 (Ⅱ)以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,

14 分

z
E

E (0,0,4)





DE ? (0,?4,3)
??



AB ? (?4,4,0)



D

cos ? DE , AB ??

DE ? AB DE ? AB

2 2 , 又异面直线 DE 与 AB 所成 5
2 2 。 5

C

B

y

角为锐角,异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为

A

x
(Ⅲ)设存在满足题设的点 Q ,其坐标为 (0, m, n) , 则 AQ ? (?4, m, n) , BQ ? (0, m ? 4, n) , QD ? (0,4 ? m,1 ? n) ,

? AQ ? BQ ,? m(m ? 4) ? n 2 ? 0

①;

? 点 Q 在 ED 上,? 存在 ? ? R(? ? 0) 使得 EQ ? ?QD ,
即 (0, m, n ? 4) ? ? (0,4 ? m,1 ? n) ,化简得 m ?

4? 4?? ,n ? 1? ? 1? ?

②,

②代入①得 (

??4 2 16? 2 ) ? ,得 ? ? 8? ? 16 ? 0 , ? ? 4 ; 1? ? (1 ? ? ) 2
16 8 , )。 5 5

? 满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,

14、证明与求解:⑴ CA ? AN ? NA1 ? A1C1 ? 1 , AA1 ? 底面, ?ANC ? ?A1 NC1 ? …… 1 分, ?CNC1 ?

?
4

, C1 N ? NC …… 2 分,因为 CA ? CB , BC ? CC1 , 2 AC ? CC1 ? C , 所 以 BC ? 平 面 CAA1C1 … … 3 分 , BC ? C1 N … … 4 分 , 因 为 BC ? NC ? C ,所以 C1 N ? 平面 BCN ……5 分 ⑵(方法一)以 C 为原点,CA、CB、CC1 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系……6 分, 则 C (0 , 0 , 0) 、 C1 (0 , 0 , 2) 、 B1 (0 , 1 , 2) ……7 分,

?

1 1 M ( , , 2) 、 N (1 , 0 , 1) ……8 分, 2 2 1 1 C1 M ? ( , , 0) 、 C1 N ? (1, 0 , ? 1) 、 CB1 ? (0 , 1 , 2) ……9 分, 2 2 ? ?n ? C1 M ? 0 设平面 C1 MN 的一个法向为 n ? (a , b , c) ,则 ? ……10 分, ? n ? C N ? 0 1 ? ?a ? b ? 0 即? ,取 n ? (1 , ? 1 , 1) ……11 分, ?a ? c ? 0 | n ? CB1 | 15 所以 sin ? ?| cos ? n , CB1 ?|? ……12 分, ? ……13 分。 15 | n || CB1 |

A1 M AN ? 2 ? ? , ?BAN ? ?NA1 M ? , ?BAN ~ ?NA1 M …… 6 2 A1 N AB 2 ? 分,所以 ?BNA ? ?A1 MN , ?MNB ? , BN ? MN ……7 分,由⑴知 BN ? C1 N , 2 C1 N ? MN ? N ,所以 BN ? 平面 C1 MN ……8 分。 延长 B1 B 到 B2 ,延长 C1C 到 C 2 ,使 BB2 ? CC 2 ? 2 ,连接 BC2 、 NC 2 ……9 分,
(方法二) 在 ?NBC2 中, BN ? 3 , BC2 ?
2

5 , NC2 ? 10 ……10 分,
2

cos?NBC2 ?

BN 2 ? BC2 ? NC 2 15 ……11 分, ? ? 15 2BN ? BC2

BN 是平面 C1 MN 的法向量,由所作知 BC2 // B1C ,从而 ? ? ?NBC 2 ?

?
2

,所以

sin ? ? ? cos?NBC2 ?

15 ……13 分。 15

其他方法,例如将直三棱柱补成长方体,可参照给分。 15、解:(I) 在正方形 ABCD 中, O 是对角线 AC、BD 的交点, ? O 为 BD 的中点, M 为 AB 的中点,? OM∥AD. 又 AD ? 平面 ACD,OM ? 平面 ACD, ? OM∥平面 ACD. (II)证明:在 ?AOC 中,

AC ? 1 , AO ? CO ?

2 , 2

? AC 2 ? AO2 ? CO2 ,? AO ? CO . AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,? AO ? BD , 又 又 BD CO ? O ? AO ? 平面BCD . (III)由(II)知 AO ? 平面BCD ,则 OC,OA,OD 两两互相垂直,如图,以 O 为原 O ? xyz 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则
2 2 2 2 ), C ( ,0,0), B(0, ? ,0), D(0, ,0) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA ? (0, 0, ) 是平面 BCD 的一个法向量. AC ? ( , 0, ? ) , BC ? ( , , 0) , 2 2 2 2 2 设平面 ABC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 n ? BC ? 0 , n ? AC ? 0 . O(0,0,0), A(0,0,

? ? ( x, y , z ) ? ( ? 即? ? ( x, y , z ) ? ( ? ?

2 2 , , 0) ? 0 2 2 , 2 2 , 0, ? )?0 2 2 所以 y ? ? x, 且 z ? x, 令 x ? 1, 则 y ? ?1 , z ? 1 ,解得 n ? (1, ?1,1) . -----12 分
从而 cos? n, OA? ?

3 n ? OA 3 ? ,二面角 A ? BC ? D 的余弦值为 .-------13 分 3 | n || OA | 3
z

M y

x

课后作业
一、基础题组
1、

2、

3、

4、

5、B

二、拔高题组
1、

(Ⅰ )利用 CD AD ? 0 , CD AP ? 0 ,推出 CD⊥ AD,CD⊥ AP,说明 CD⊥ 平面 PAD,证明平面 PDC⊥ 平面 PAD;

(Ⅲ )延长 AE ,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G ,连结 CG ,

解法二:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) , 1) ,

B (2,0,0),

C (2,4,0) ,

D (0,4,0) , E (0,2,

P (0,0,2) .

AB =(2,0,0) , ∴
AE =(0,2,1) ,

AD =(0,4,0) ,

AP =(0,0,2) ,

CD =(-2,0,0) ,

AC =(2,4,0) .

(Ⅰ )? CD ? AD ? 0 , ? CD ? AD . 又? CD ? AP ? 0 , ? CD ? AP .

? AP ? AD ? A ,

? CD ? 平面PAD ,
而 CD ? 平面PDC , ∴ 平面 PDC ⊥ 平面 PAD .

2



方法二:过点 A 作 AH ? EF 于 H ,由(Ⅰ)知 PF ? 平面 ABED ,而 AH ? 平面 ABED , 所 以 PF ? AH , 又 EF

PF ? F , EF ? 平面 PEF , PF ? 平面 PEF , 所以 AH ? 平面 PEF , 所 以 ?APH 为 直 线 AP 与 平 面 PEF 所 成 的 角 . 在 Rt?APF 中 ,

AP ? AF 2 ? PF 2 ? 64 ? 20 ? 2 21
AH ?

, 在 ?AEF 中 , 由 等 面 积 公 式 得

48 AF ? AD AH 16 3 8 1281 ? ,在 Rt?APH 中 , sin ?APH ? , ? ? ? EF AP 427 61 61 2 21
8 1281 . 427

所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为

考点:1、直线和平面垂直的判定定理;2、直线和平面所成角.

3、

(2)解:

EA ? 平面 ABCD , EA

PD ,? PD ? 平面 ABCD.

AD, CD ? 平面 ABCD, ? PD ? AD , PD ? CD .
四边形 ABCD 是正方形,? AD ? CD . 以 D 为原点,分别以直线 DA, DC , DP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,设 EA ? 1.

AD ? PD ? 2 EA , ? D ? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , A ? 2,0,0? , C ? 0,2,0? , B ? 2,2,0? , E (2, 0,1) ,

PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .
F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点,

1 1 1 ? F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) , GF ? (?1, 0, ) , GH ? ( ?2, 0, ). 2 2 2

(解法二)

DH ? BC ? (0,1,1) ? (?2,0,0) ? 0 , DH ? PC ? (0,1,1) ? (0, 2, ?2) ? 0 ,

? DH 是平面 PBC 一个法向量.

1 DC ? FH ? (0, 2,0) ? (?1,0,0) ? 0 , DC ? FG ? (0, 2, 0) ? (1, 0, ? ) ? 0 , 2

? DC 是平面平面 FGH 一个法向量.
cos DH , DC ? DH ? DC DH ? DC ? 2 2 2 ? 2 , 2
π (或 45 ? ). 4

?

平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

?

4、

为 AB ? 2 BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? . 整理得 tan ? ?

?

?

3 ,所以 ? ? 30 .所以 AC ? BC . 3
BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC ,

因为 AC ? FB , BF

所以 AC ? 平面 FBC ;

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD ,所以 CA 、 CB 、 CF 两两互相垂直. 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz ,

考点:1.余弦定理;2.直线与平面垂直;3 正弦定理;4.直线与平面所成的角;5.空间向量法
5、

又 AA1 ? AC , AC ? AA ? AC1 , 1 为正方形,? AC 1 1 得 ACC1 A 又 AC1

B1C1 ? C1 ,? AC ? 平面 AB1C1 ; 1

6、

又因为四边形 A 1 ? A 1B , 1 ABB 1 为菱形,所以 AB

? AB1 ? CB ? AB ? A B 1 1 ? ? 又 ?CB ? 面A1 BC ,所以 AB1 ? 面 A 1BC ; ? A B ? 面A BC 1 ? 1 ? ? CB A1 B ? B


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