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人教B版高二数学(理)上学期试题----必修3,选修2-3【详解答案】


2013-2014 学年度高二数学期末考试试题
命题人:高二数学组 审题人:高二数学组 考试时间:120 分钟
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)

7. 设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为: ξ P 则 q 等于 A. 1 B. 1 ?
2 2

-1 0.5

0 1-2q

1 q2 ( )

C. 1 ?

2 2

D. 1 ?

2 2

1. 双曲线

x2 y2 ? ?1 3 4

8. 小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面 ,约定谁先到后必须等 的实轴长和虚轴长分别是( ) 10 分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是 1:40 分到达的,假设小华 在 1 点到 2 点内到达,且小华在 1 点到 2 点之间何时到达是等可能的,则他们会面的 概率是( A.
1 6

A. 2 3 ,4 B. 4.2 3 C.3,4 D. 2, 3 ? ? ? ? 2. 已知 a ? (?3,2,5) , b ? (1, x,?1), 且 a ? b ? 2 ,则x的值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3. 有一个样本容量为 50 的样本数据分布如下,

) B.
1 2

C.

1 4

D.

1 3

?12.5,15.5 ? ? 27.5,30.5?
A. 94%

3;?15.5,18.5 ?

8;?18.5, 21.5 ?

9;? 21.5, 24.5 ?

11;? 24.5, 27.5 ? 10; )

9.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 ( A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 )

6; ?30.5,33.5 ? 3. 估计小于 30 的数据大约占有( B. 6% C. 88% D. 12%

2 4. 袋中装有 6 个白球,5 只黄球,4 个红球,从中任取 1 球,抽到的不是白球的概率为( ) 10. ( 如果 () 3x 2 ? 3 ) n 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( ) x 2 4 3 A. B. C. D. 非以上答案 5 5 15 A.10 B.6 C.5 5. 以 A ? ?2, 4, 6, 7,8,11,12,13? 中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这种分 D.3

数是可约分数的概率是 ( A.
5 13

) C.
3 14

11. 将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四 D.
5 14

B.

5 28

个不同场馆服务,不同的分配方案有( A. 540 种 B. 960 种

)种. D. 2160 种

6. x1 , x2 ,..., xn 的平均数是 x ,方差是 s 2 ,则另一组数 3x1 ? 2, 3x2 ? 2,..., 3 xn ? 2

C. 1080 种

12. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位 的平均数和方差分别是 ( A. 3 x, s 2 B. ) C. 3 x ? 2 ,3s 2 D. 3 x ? 2 ,3s 2 ? 2 6s ? 2
1

员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的 安排方案共有

3 x ? 2, s2

A. 504 种

B.

960 种

C. 1008 种

D. 1108 种

y

2.5

3

4

4.5

二.填空题(本大题满分 20 分,每小题 5 分,各题只要求直接写出结果.) 13. 在二项式 ( x ? 1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为 表示) 14. 四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域, 且相邻两个区域不能同色, 那么一共有 ______ 种不同的涂色方法。
⑤ ⑥ ② 15. 二项式 ① ③ ④

.(结果用数值

(1)请画出上表数据的散点图; ? x+ a ? =b ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的 线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 18. 若 (6 x ? 6
1 x ) n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 19. 7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头(2)甲不排 头,也不排尾(3)甲、乙、丙三人必须在一起(4)甲、乙之间有且只有两人(5)甲、
5 , 2

(1 ? sin x) n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为
2 .

乙、丙三人两两不相邻(6)甲在乙的左边(不一定相邻) 20.已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (1)若 a ? 1 , b ? ?? 1,1? ,求函数 y ? f ( x) 在 ?1,?? ? 上是增函数的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点 (a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x) 在 ?1,?? ? 上是增函数 ?y ? 0 ?

则 x 在 ?0,2? ? 内的值为

16. 对于二项式 (1 ? x)1999 ,有下列四个命题:
1000 999 x ①展开式中 T1000 ? ?C1999 ;②展开式中非常数项的系数和是 1;

③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; ④当 x=2000 时,(1-x) 1999 除以 2000 的余数是 1. 其中正确命题的序号是__________. (把你认为正确的命题序号都填上) 三.解答题(第 17 题 10 分,其它每题各 12 分,共 70 分)

的概率. 21.已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n 的展开式中 x 的系数为7, (1)试求 f ( x) 中的 x 2 的系数的最小值. , a ? y ? b x .下表提供了某
? ?

17. 已知回归直线方程是: y ? bx ? a ,其中 b ?

^

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

(2)对于使 f ( x) 的 x 2 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 3 的系数.
m 22.规定 Cx ?

?x
i ?1

2

i

厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y (吨) 标准煤的几组对照数据.
x 3 4 5 6 2

x( x ? 1)?( x ? m ? 1) 0 m ? 1 ,这是组合数 Cn ,其中 x∈R,m 是正整数,且 C x m! (n、m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.
3 ?15

(1) 求 C

的值;(2) 设 x>0,当 x 为何值时,

3 Cx 2 (C 1 x)

取得最小值?

m n?m m m ?1 m ? Cn ? Cn ? Cn (3) 组合数的两个性质;① Cn . ② Cn ?1 . m 是否都能推广到 C x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给 出证明;若不能,则说明理由.

三.解答题 17. (1)散点图如下图:

期末试题答案
一. 选择题 1-6: ACCCCC 7-12:ADBDCC 9. 标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两 (2) x = 3 ? 4 ? 5 ? 6 =4.5, y = 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =3.5
4 4

个有 10.[解析]

种方法,共有

种,

?
i ?1

4

xi y i

=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5. ? xi2 =32+42+52+62=86
i ?1

4

2 C2 6C4 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同 A2

?= ∴b

?x y
i ?1

4

i i

? 4x ? y ? 4x 2

2 C2 6〃C4 场馆去,共有 A4 种分法,故所有分配方案有: 〃A4 4 4=1 080 种. A2 2

?x
i ?1

4

2 i

= 66.5 ? 4 ? 3.5 ?24.5 =0.7
86 ? 4 ? 4.5

12. 分两类:甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 2 ? A A A 种方法,甲乙排中间,丙排 7
2 2 1 4 4 4

? a

? x =3.5-0.7×4.5=0.35. = y -b

号或不排 7 号,共有 4 A ( A ? A A A ) 种方法。故共有 1008 种不同的排法
2 2 4 4 1 3 1 3 3 3

? =0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为 y

二.填空题 13. -462 14. 120 15.
5? ? 或 6 6

16. ①④.

(3)现在生产 100 吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35, ∴降低 90-70.35=19.65(吨)标准煤. 18. 解:(1)由题意知:
n = 7 或 2(舍)

14.(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A44 ; (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A44 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A44 ; (4)③与⑤同色、②与④同色,则有 A44 ; ( 5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A44 ;所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A44 =120
3



故 n = 7 (6 分)
(2)

所以 故无常数项(6 分)
19.

(3)因为

,所以

=

=1 1 ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7 20. [解析]:(1)根据题意得: C m

(1) 22. 解:(1) C?315 ? (?15)(?16)(?17) ? ?680 . (4 分)
3!

2 2 ? Cn ? x 2 的系数为 C m

m(m ? 1) n(n ? 1) m ? n ? m ? n ? ? 2 2 2
2 2

7 35 将(1)变形为 n ? 7 ? m 代入上式得: x 2 的系数为 m 2 ? 7m ? 21 ? (m ? ) 2 ? 2 4
x 2 的系数的最小值为 9 故当 m ? 3或4时,
3 3 ? C4 ?5 x 3 的系数为为 C3 (2)当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时,

(2)

3 Cx x( x ? 1)( x ? 2) 1 2 ? ? ( x ? ? 3) 1 2 (C x ) 6x2 6 x

. (6 分)



x > 0 , x ? 2 ? 2 2 .当且仅当 x ? 2 时,等号成立.
x
3 Cx 取得最小值. (8 分) 2 (C 1 x)


21. 解: (1) ;

当 x ? 2 时,

(3)性质①不能推广,例如当 x ? 2 时, C1 2 有定义,但 C
(2)归纳概括出关于正整数 等比数列,则 证明如下:
0 1 事实上,当 m=1时,有 C1 . x ? C x ? x ? 1 ? C x ?1

2 ?1 2

无意义;(10 分)

的一个结论是:已知{

}( 是正整数)是首项是

,公比是 的

性质②能推广,它的推广形式是 Cxm ? Cxm ?1 ? Cxm?1 ,x?R , m 是正整数.

=

当 m≥2时. Cxm ? Cxm ?1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)
m! (m ? 1)!

?

x( x ? 1)?( x ? m ? 2) ? x ? m ? 1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)( x ? 1) ? 1? ? ? (m ? 1)! m! ? m ?

m ? Cx (12 分) ?1 .

4



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