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高中数学


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三角函数的图象与性质
一.课标要求: 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性; 2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ],正切函数在(-π /2,π /2)上的 性质(如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等) ; 3. 结合具体实例, 了解 y=Asin x+φ ) (w 的实际意义; 能借助计算器或计算机画出 y=Asin (wx+φ )的图像,观察参数 A,w,φ 对函数图像变化的影响。 二.命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查, 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容, 是学习高等数学和应用技术学科的基础, 又是 解决生产实际问题的工具, 因此三角函数的性质是本章复习的重点。 在复习时要充分运用数 形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆 上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图 象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。 预测 07 年高考对本讲内容的考察为: 1.题型为 1 道选择题(求值或图象变换) 道解答题(求值或图像变换) ,1 ; 2.热点问题是三角函数的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换; 三.要点精讲 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? 2 y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?

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递减区间是 ?2k? ?

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?
2 ,k? ? 2 3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

? ?

2 y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) ,
递减区间是 ?2k?,k? ? ? ? (k ? Z ) , 2

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B (其中A ? 0,? ? 0) 最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

2?

?
2

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的

交点都是该图象的对称中心。 4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这 两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看 “变量” 起多大变化, 而不是 “角 变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点 的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 或向右( ? <0=平移

|? |

1 倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0) ?

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? ,0) k ? Z ; 2

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

? , ?

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? , 0) ; 2 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最
值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公 式,另外还有图像法和定义法。
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π 3π 、π 、 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值, 2 2

9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、

再描点作图。 四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是(



解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x ∈(0,

? 2

)时,y=-xcosx<0。答案为 D。 )

例 2. (2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数。选 项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数。 点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能 熟练地运用数形结合的思想方法。 题型 2:三角函数图象的变换
1 π 例 3.试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3 1 π 解析:y= sin(2x+ ) 3 3
1 π 2倍 ?横坐标扩大为原来的 ?? y ? sin x ? ) ? ? ? ? ? ?? ? ( 纵坐标不变 3 3
图象向右平移 个单位 1 ?? ? ? ? ?3 ??? y ? sin x ? 纵坐标不变 3 π

3倍 ?纵坐标扩大到原来的?? y ? sin x ???????? 横坐标不变

另法答案:
1 π π 1 (1)先将 y= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 3 6 3 1 1 (2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 3 3
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的图象;

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1 (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 3 y=sinx 的图象。

例 4. (2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 轴向下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( ) A. (1-y)sinx+2y-3=0 B. y-1)sinx+2y-3=0 ( C. y+1)sinx+2y+1=0 ( D.-(y+1)sinx+2y+1=0 解析:将原方程整理为:y=

? 2

个单位,再沿 y

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单 2 ? cos x 2

位和 1 个单位,因此可得 y=

1

2 ? cos(x ? ) 2
点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 如果对平移有深刻理 解,可直接化为: y+1)cos(x- ( 题型 3:三角函数图象的应用 例 5.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) 。 (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0, | ? |?

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项。

?
2


I
300

在一个周期内的图象,根据图中数据求 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式; (2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内,电流 150

-

1 900

o

1 180

t

I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 的最

-300

小正

整数值是多少? 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能 力. (1)由图可知 A=300。 设 t1=-

1 1 ,t2= , 900 180 1 1 1 + )= 。 180 900 75

则周期 T=2(t2-t1)=2( ∴ ω=

2? =150π 。 T

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又当 t=

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1 1 时,I=0,即 sin(150π · + ? )=0, 180 180 ? ? 而 | ? |? , ∴ ? = 。 2 6
故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? (2)依题意,周期 T≤

?

1 2? 1 ,即 ≤ , >0) (ω 150 ? 150
*

6

)。

∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N , 故最小正整数ω =943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形 数结合的有效途径。 例 6. (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin (1) (ω x+ ? ) A>0,ω >0,x∈R)在一个周期内的图象如图所 ( 示,求直线 y=

3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标。


7 ? 解析:根据图象得 A=2,T= π -(- )=4π , 2 2
∴ω =

1 x ,∴y=2sin( + ? ) , 2 2

又由图象可得相位移为-

? 2

,∴-

? ? =- 1 2 2

,∴ ? =

? 4

.即 y=2sin(

1 ? x+ ) 。 2 4

根据条件 (k∈Z) , ∴x=4kπ +

1 ? 1 ? 1 ? ? 2 3 =2sin( x ? ) ,∴ x ? =2kπ + (k∈Z)或 x ? =2kπ + π 3 3 2 4 2 4 2 4

? 6

(k∈Z)或 x=4kπ +

5 π (k∈Z) 。 6

∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

5? , 3 ) k∈Z) ( 。 6

点评: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 (2) (2002 全国文 5, 4) (0, ) 使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为 理 在 2π 内, ( )

A. (

? 4 ? 4



? 2

)∪(π ,

5? ) 4

B. (

? 4
? 4

,π )

C. (



5? ) 4

D. (

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

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解析:C;

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? 4
5? , 4

解法一: 作出在 (0, ) 2π 区间上正弦和余弦函数的图象, 解出两交点的横坐标 由图 1 可得 C 答案。



图1 图2 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C。 (如图 2) 题型 4:三角函数的定义域、值域 例 7. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域; 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充当角。 解析: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ -
π π ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z) 。 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ -

π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}。 2 2 (2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z) 。 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。

π π ,2kπ + ) k∈Z}。 , 2 2 点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角 函数线。

故所求定义域为{x|x∈(2kπ -

6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 例 8. (2003 京春,18)已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义 cos 2 x
域,判断它的奇偶性,并求其值域。 解析:由 cos2x≠0 得 2x≠kπ +

? 2

,解得 x≠

k ? ? ,k∈Z,所以 f(x)的定义域为 2 4

{x|x∈R 且 x≠

k ? ? ? ,k∈Z}, 2 4
6 cos4 (? x) ? 5 cos2 (? x) ? 1 6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 ? =f(x) 。 cos(?2 x) cos 2 x

因为 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)=

所以 f(x)是偶函数。
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又当 x≠

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k? ? ? (k∈Z)时, 2 4

f(x)=

6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) ? ? 3 cos2 x ? 1 。 cos 2 x cos 2 x

所以 f(x)的值域为{y|-1≤y<

1 1 或 <y≤2}。 2 2

点评: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。 题型 5:三角函数的单调性 例 9.求下列函数的单调区间: (1)y=
1 π 2x π sin( - )(2)y=-|sin(x+ )|。 ; 2 4 3 4 1 2 π sin( x- )再求之。 2 3 4

分析: (1)要将原函数化为 y=-

(2)可画出 y=-|sin(x+ 解: (1)y= 故由 2kπ -

π )|的图象。 4

1 π 2x 1 2x π sin( - )=- sin( - ) 。 2 2 4 3 3 4

π 2x π π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2

? 3kπ -
由 2kπ +

3π 9π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调减区间; 8 8

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2 9π 21 π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调增区间。 8 8 3π 9π ,3kπ + ] , 8 8

? 3kπ +

∴递减区间为[3kπ - 递增区间为[3kπ + (2)y=-|sin(x+

9π 21 π ,3kπ + ] k∈Z) ( 。 8 8

π π 3π π )|的图象的增区间为[kπ + ,kπ + ] ,减区间为[kπ - , 4 4 4 4

kπ +

π ] 。 4
5? 4 3? 4 ? 4

-

-

y?
4

3? 4

5? 4

7? 4

o
例 10. (2002 京皖春文,9)函数 y=2
sinx

x
的单调增区间是( )

A. kπ - [2
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? 2

,2kπ +

? 2

] k∈Z) (

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B. kπ + [2

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? 2

,2kπ +

3? ] k∈Z) ( 2

C. kπ -π ,2kπ ] k∈Z) [2 ( D. kπ ,2kπ +π ] k∈Z) [2 ( x sinx 解析:A;函数 y=2 为增函数,因此求函数 y=2 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单
调增区间。 题型 6:三角函数的奇偶性 例 11.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x ) 。 分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系。 解析:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 ,∴ 点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。 例 12. (2001 上海春)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。

? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2 解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数。当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)
答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①, =-sinx 仍是奇函数。当 ? =2kπ +

? 2

,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ -

? 2

,k∈Z

时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论 ? 为何值都不能使 f (x)恒等于零。所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k∈Z 不能不 写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。 题型 7:三角函数的周期性 6 6 例 13.求函数 y=sin x+cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值。 分析:将原函数化成 y=Asin(ω x+ ? )+B 的形式,即可求解。 解析:y=sin x+cos x=(sin x+cos x) (sin x-sin xcos x+cos x) =1-3sin xcos x=1- ∴T=
π 。 2
kπ (k∈Z)时,ymax=1。 2
2 2 6 6 2 2 4 2 2 4

3 3 5 2 sin 2x= cos4x+ 。 4 8 8

当 cos4x=1,即 x=

例 14.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值;
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?

12

) ? 4,

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解析:(1) f ( x) ?

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(2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan(? ? ? )的值 。

a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) , ?T ? ? , ? ? ? 2 ,
① ,且 4 ? a sin

又 ? f (x) 的最大值。

? f ( ) ? 4 , ? 4 ? a2 ? b2 12
由 ①、②解出 a=2 ,

?

2? 2? ? b cos ②, 12 12

b=3.

(2) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin(2 x ?

?
3

) , ? f (? ) ? f (? ) ? 0 ,

? 4 sin(2? ? ? 2? ?


?
3

) ? 4 sin(2? ?

?
3

), 2? ?

?
3

? 2k? ? 2? ?

?
3





?
3

? 2k? ? ? ? (2? ?


?
3

),

? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,
?
6 )? 3 3

? ? ? ? k? ?

?
6



? tan(? ? ? ) ? tan(k? ?

(k ? Z ) 。

点评: 方程组的思想是解题时常用的基本思想方法; 在解题时不要忘记三角函数的 周期性。 题型 8:三角函数的最值 例 15. (2003 京春文,2)设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 3

M+m 等于( A.



2 3

B.-

2 3

C.-

4 3

D.-2

解析:D;因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1。所以 y=

1 cosx-1 3

的最大值、最小值为-

4 2 和- 。因此 M+m=-2。 3 3

例 16. (2000 京、皖春理,10)函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
C.1-



A.

2 -1 2
?

B.

2 +1 2

2 2
?

D.-1-

2 2

解析:B; y

1 ? 2 ? sin x ? cos x

1

2 ? 2 sin( x ? ) 4

?

1 2 ?1? 。 2 2? 2

五.思维总结 1.数形结合是数学中重要的思想方法,在中学阶段,对各类函数的研究都离不开图象,
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很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。 2.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域。 3.对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可 根据周期性作出整个函数的图象。 4.求定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化。 5.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的 次数为 1 的形式,否则很容易出现错误。 6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的,要比较两三角函数值的 大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7.判断 y=-Asin(ω x+ ? ) >0)的单调区间,只需求 y=Asin(ω x+ ? )的相反区 (ω 间即可,一般常用数形结合而求 y=Asin(-ω x+ ? ) (-ω <0=单调区间时,则需要先将 x 的系数变为正的,再设法求之。

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