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1.2.2 充要条件


边城高级中学

张秀洲

1.会判断一个命题的充要条件.
2.会求一个命题的充要条件.

3.会证明 p 是 q 的充要条件.

预习教材 P11—P12 解决下列问题
一、会具体判断所给条件是哪一种条件.

二、证明充要条件和求充要条件.
三、完成 P12练习.

1、从逻辑关系上,关于充分不必要条件、必要不充分

条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判定

条件p与结论q关系
p ? q, 但q ? p q ? p, 但p ? q
p ? q, q ? p p ? q, q ? p





p是q成立的充分不必要条件
p是q成立的必要不充分条件 p是q成立的充要条件
p是q成立的既不充分也不必要条件

例1、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0, q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;

(2)p: x>0,y>0,

q: xy>0;

(3)p: a>b,

q: a+c>b+c.

解:在(1)(3)中,p ? q, 所以(1)(3)中的p是q 的充要条件。在(2)中,q ? p,所以(2)中p的 不是q的充要条件。

例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空:
必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___条件 . 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的______条件 . (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形” 既不充分也不必要 的__________条件 .

例3.在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:

如图(1)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 充分不必要
如图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 必要不充分

条件;
条件;

如图(3)所示,开关A闭合是灯泡B亮的

充要

条件;

如图(4)所示,开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件;

三、《教材》 P12 练习1、2.

2018年5月31日星期四

2、p是q的充要条件的理解 (1)充分性:p ? q, 必要性:q ? p. (2)p ? q,即p与q是等价的,立体几何中的“当且仅当” 即充要条件.

3、怎样证明充要条件? 证明充要条件时要注意: (1)既要证明充分性又要证明必要性。 (2)区别"p是q的充要条件","p的充要条件是q"两种说法。 p是q的充要条件:充分性 p ? q . p的充要条件是q:充分性 q ? p.

提醒:证明时首先明确要证明的命题,避免条件、结论的混淆。

例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.

求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
作OP⊥l于点P,则OP=d. (1)充分性(p?q): 若d=r,则点P在⊙O上. 在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ。
O P Q

证明:如图

在Rt△OPQ 中,OQ>OP =r.

l

所以,除点P外直线l上的点都在⊙O的外部, 即直线l与⊙O仅有一个公共点P。

(2)必要性(q?p): 若直线l与⊙O相切,不妨设切点为P,

则OP⊥l.d=OP=r.
所以直线l与⊙O相切。

充要条件的证明
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的

充要条件是m≥2.
[思路探索] 本题的条件是p:m≥2, 结论是q:方程x2+mx+1=0有两个负实根. 证明该问题,充分性的证明是p?q,必要性的证明是q?p.

证明 (1)充分性:∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0,
∴方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2,

由根与系数的关系知,x1· x2=1>0,∴x1,x2同号. 又x1+x2=-m≤-2<0,∴x1,x2同为负数.
即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.

(2)必要性:∵x2+mx+1=0有两个负实根, 设其为x1,x2,且x1x2=1,
2 ? Δ = m -4≥0, ? 所以? ? ?x1+ x2=- m<0,

? ?m≥ 2或 m≤- 2, 即? ? ?m>0,

∴m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2. 综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.

【规律方法】充要条件的证明,关键是确定哪是条件,哪是结 论,并明确充分性是由条件推结论,必要性是由结论推条件, 也可以理解为证明充分性就是证原命题成立,证必要性就是证 原命题的逆命题成立.

充要条件的证明
证明不等式ax2+2x+1>0恒成立的充要条件是a>1.
证明 当a=0时,2x+1>0不恒成立.
当a≠0时,ax2+2x+1>0恒成立
? ?a>0 ?? ?a>1. ? ?Δ= 4- 4a<0

所以不等式ax2+2x+1>0恒成立的充要条件是a>1.

充要条件的证明
求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于
1的充要条件是k<-2.
证明 必要性:若方程 x2+(2k-1)x+k2=0 有两个大于 1 的根, ? ?k≤1 4 ? ??(x +x )-2>0 2 ? 1 ? ?x1x2-(x1+x2)+1>0 不妨设两个根为 x1,x2,则 ?Δ=(2k-1) -4k ≥0 ? ?(x1-1)+ (x2-1)>0 ?(x -1)(x -1)>0 ? 1 2 ? ?k≤1 ? 4 即?-(2k-1)-2>0 ? 2 ? ?k +(2k-1)+1>0
2 2

,解得 k<-2.

充要条件的证明

充分性:当 k<-2 时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0. 设方程 x2+(2k-1)x+k2=0 的两个根为 x1,x2. 则(x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1 =k2+2k-1+1=k(k+2)>0. 又(x1-1)+ (x2-1)=(x1+x2)-2 =-(2k-1)-2=-2k-1>0, ∴x1-1>0,x2-1>0.∴x1>1,x2>1. 综上可知, 方程 x2+(2k-1)x+k2=0 有两个大于 1 的根的充要条件 为 k<-2.

充分条件和必要条件的应用
已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若 p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围.
[规范解答]令 M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}= 1 {x|x≤- 或 x≥2}; 2分 2 N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}

={x|x≤a-2或x≥a},
1 1 ? ? 由已知 p? q,且q ?p ?a- a,得: -2>- 3 2≥- 2? ≤ a<2 或3<a≤2?3≤a≤2 2,或? 所以? 2 2 2 ? ? 1 1 ? ? ? a<2 a ≤ 2 ? ? ? a - 2>- 3 a-2≥- 3 3 2 2 所以? ,或? ? ≤ a<2 或 <a≤2? ≤a≤2 2 2 2 10 分 ? ? ?a<2 ?a≤2 3 10分 分 即所求 a 的取值范围是 [ ,2]. 12 2

各种条件混淆不清致错
一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一 个负根的充分不必要条件是
A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1

(

C

)

[错解] ∵一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根.

? 4-4a>0 ? ? ?Δ >0, ∴? 即?1 ?a<0,故选 ? ?x1x2<0. ? <0 ?a

A.

你学会了吗?

※对自己说,你有什么收获?

※对同学说,你有什么提示?
※对老师说,你有什么疑惑?
2018年5月31日星期

1 、在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相推出, 切不可不加判断以单向推出代替双向推出.

2、搞清
①A是B的充分条件与A是B的充分不必要条件之间的区别与联系; ②A是B的必要条件与A是B的必要不充分条件之间的区别与联系

3、判断的技巧 ①向定语看齐:顺向为充(原命题真) 逆向为必(逆命题为真) ②等价性:逆否为真即为充,

否命为真即为必。

2018年5月31日 1次
必做题:《教材》 P12 A组2、3、4题
选做题:《教材》 P13 B组2题 【预习】课本P14-P17《简单的逻辑联结词》

2018年5月31日 1次
选做题:已知关于x的方程 (1-a)x2+(a+2)x-4=0(a∈R).
求:⑴方程有两个正根的充要条件; ⑵方程至少有一个正根的充要条件。

【预习】课本P14-P17《简单的逻辑联结词》



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