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21-2.高中数学选修2-1知识总结--圆锥曲线与方程[1] 2

高中数学选修 2-1 知识点总结

第二章 圆锥曲线与方程

※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 装 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 订 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 线 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※

2.2 椭 一、椭圆的定义:



平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (其中 2a ? F 1F 2 )的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1 F2 . 注意:当 2a ? F 1 F2 ;当 2a ? F 1F 2 时,表示线段 F 1F 2 时,轨迹不存在. 二、椭圆的标准方程与几何性质: 当椭圆焦点在 x 轴上时 标准 方程 当椭圆焦点在 y 轴上时

?

?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

图形

范 围 对称轴 对称 中心 长轴 短轴

? a ? x ? a , ?b ? y ? b

?a ? y ? a , ?b ? x ? b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 长轴长 2 a ,短轴长 2b
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x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 长轴长 2 a ,短轴长 2b

盘点知识
顶点 坐标 焦点 坐标 离心率

夯实基础

逐步提高
(0, ? a) , (?b, 0) (0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
e? c ( 其中 0 ? e ? 1) a

(? a, 0) , (0, ?b) (?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
e? c ( 其中 0 ? e ? 1) a

注意: 1. a 、 b 、 c 、 e 的几何意义: a 叫做长半轴长; b 叫做短半轴长; c 叫做半焦距; a 、

b 、c 之间满足 a 2 ? b2 ? c 2 . e 叫做椭圆的离心率,e ?
的扁平程度, e 越大,椭圆越扁, e 越小,椭圆越圆.

c 且 0 ? e ? 1 ,e 可以刻画椭圆 a

2.点 P 是椭圆上任一点, F 是椭圆的一个焦点,则 PF max ? a ? c , PF min ? a ? c . 3.点 P 是椭圆上任一点,当点 P 在短轴端点位置时, ?F 1 PF 2 取最大值. 4.椭圆的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定直线

l :x ?

c a2 的距离的比是常数 e ? (0 ? e ? 1) 时,这个点的轨迹是椭圆,定点是椭圆的 a c

焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率.

x2 y 2 5.椭圆方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 常用三角换元为 x ? a cos ? , y ? b sin ? . a b
三、点与椭圆位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 位置关系: a 2 b2 x0 2 y0 2 ? ? 1 (含焦点) a 2 b2
2 2

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

(2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? x0 ? y0 ? 1 2 2

a

b

(3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 四、直线与椭圆位置关系

x0 2 y0 2 ? ?1 a 2 b2

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高中数学选修 2-1 知识点总结 (1)直线与椭圆的位置关系及判定方法

第二章 圆锥曲线与方程 判定方法

※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 装 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 订 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 线 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※

位置关系 相交 相切 相离 (2)弦长公式:

公共点 有两个公共点 有且只有一个公共点 无公共点

??0

??0
??0

直线与椭圆方程首 先应消去一个未知 数得一元二次方程 的根的判别式 ?

设直线 y ? kx ? b 交椭圆于 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
2 x1 ? x2 ,或 | PP 则| P 1P 2 |? 1 ? k 1 2 |? 1 ?

1 y1 ? y2 (k ? 0) . k2

2.3 双曲线 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a (其中 2a ? F 1F 2 )的 点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦 距. 双曲线的定义可用集合语言表示为: P ? M MF1 ? MF2 ? 2a, 2a ? F1F2

?

?.

注意:当 2a ? F 1 、 F2 为端点的两条射线;当 2a ? F 1F 2 时,表示分别以 F 1F 2 时, 轨迹不存在. 二、双曲线的标准方程与几何性质: 当双曲线焦点在 x 轴上时 标准 方程 当双曲线焦点在 y 轴上时

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

图形

第 3 页 共 5 页

盘点知识
范 围 对称轴 对称 中心 实轴 虚轴 顶点 坐标 焦点 坐标 渐近线 离心率

夯实基础

逐步提高
y ? ? a ,或 y ? a

x ? ? a ,或 x ? a

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

x 轴、 y 轴
坐标原点 O (0, 0) 实轴长 2 a ,虚轴长 2b

(? a, 0) (?c, 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
x y b ? ? 0 ,即 y ? ? x a b a c e ? ( 其中 e ? 1) a

(0, ? a) (0, ?c) ,其中 c 2 ? a 2 ? b2
y x a ? ? 0 ,即 y ? ? x a b b c e ? ( 其中 e ? 1) a

注意: 1. a 、b 、c 、e 的几何意义:a 叫做半实轴长;b 叫做半虚轴长;c 叫做半焦距;a 、

b 、 c 之间满足 c 2 ? a 2 ? b2 . e 叫做椭圆的离心率, e ?
张口就越大.

c 且 e ? 1 . e 越大,双曲线的 a

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其离心率 e ?

2.

3. 双曲线的第二定义:当平面内点 M 到一个定点 F (c,0)(c ? 0) 的距离和它到一条定 直线 l : x ?

c a2 的距离的比是常数 e ? (e ? 1) 时,这个点的轨迹是双曲线,定点是双 a c

曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地,直线与双曲线有一个公共点,除相切外还有 当直线与渐进线平行时,也是一个公共点.

x2 y 2 5.共渐近线的双曲线可写成 2 ? 2 ? ? (? ? 0) ; a b
共焦点的双曲线可写成

x2 y2 ? ? 1(?b2 ? ? ? a 2 ) . 2 2 a ?? b ??

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高中数学选修 2-1 知识点总结

第二章 圆锥曲线与方程

※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 装 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 订 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ 线 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※

2.4 抛物线 一、抛物线的定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 .点 F 叫做 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 注意:当定点 F 在定直线 l 上时,点的轨迹为过点 F 与直线 l 垂直的直线. 二、抛物线的标准方程与简单几何性质: 标准 方程

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

图形

焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 性 顶点 离心 率 注意:

p ( , 0) 2 p x?? 2
x?0

(?

p , 0) 2 p x? 2
x?0

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0, ? ) 2 p y? 2

y?0

y?0

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

y轴
(0, 0)
e ?1

1. p 的几何意义: p 表示焦点到准线的距离. 2 p 表示抛物线的通径(过焦点且垂直 于轴的弦).
2 2. 若点 M ( x0 , y0 ) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点,则 MF ? x0 ? 2

p . 2

3. 若过焦点的直线交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点,则弦长

AB ? x1 ? x2 ? p .

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