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2018-2019年人教A版高中数学必修二同步学习:第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.1PPT课件_图文

第二章 §2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面 学习目标 1.掌握平面的表示法,点、直线与平面的位置关系. 2.掌握有关平面的三个公理. 3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 平面 思考 几何里的“平面”有边界吗?用什么图形表示平面? 答案 没有.平行四边形. 答案 梳理 (1)平面的概念 ①平面是一个不加定义,只需理解的原始概念. ②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、 黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个 平行四边形,并且 其锐角画成45°,且横边长等于邻边长的 2 倍. 一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用 虚线 画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面 ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平 面BD. 知识点二 点、直线、平面之间的关系 思考 直线和平面都是由点组成的,联系集合的观点,点和直线、平面 的位置关系,如何用符号来表示?直线和平面呢? 答案 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表 示,直线和平面的位置关系,可用数学符号 “?”或“?”表示. 答案 梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 A∈l A?l A∈α A?α 图形语言 l在α内 l在α外 l,m相交于A l,α相交于A α,β相交于l l?α l? α l∩m=A l∩α=A α∩β=l 知识点三 平面的基本性质 思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内?有两 个公共点呢? 答案 前者不在,后者在. 答案 思考2 观察图中的三脚架,你能得出什么结论? 答案 不共线的三点可以确定一个平面. 答案 思考3 观 察 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1( 如 图 所 示 ) , 平 面 ABCD 与 平 面 BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗? 答案 不是,平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC. 答案 梳理 公理 文字语言 图形语言 符号语言 A∈α, B∈α?l?α 作用 内的依据 ②判定点在平面内 公 如果一条直线上的两点 ____ A∈l,B∈l,且 ①确定直线在平面 理 在一个平面内,那么这 1 公 理 2 此平面内 条直线在________ 过不在一条直线上 的三 A,B,C三点不 共线?存在唯一 ①确定平面的依据 点,有且只有 一个平面 的平面α使A, B,②判定点线共面 C∈α 公 理 3 如果两个不重合的平面 有一个公共点,那么它 P∈α且 ①判定两平面 们有且只有一条过该点 的公共直线 ________ 相交的依据 P∈β?α∩β=l, ②判定点在直 且P∈l 线上 题型探究 类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 解 在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B. 在(2)中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P. 解答 反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语 言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 跟踪训练 1 解 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关 系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α; 点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①. 解答 (2)l?α,m∩α=A,A?l; 解 直线l在平面 α内,直线 m与平面 α相交于点 A,且点 A不在直线 l上, 如图②. 解答 (3)平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC. 解 平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC , 如图③. 解答 类型二 点线共面 例2 如图,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α. 证明 因为PQ∥a, 所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a?β,点P∈β. 因为P∈b,b?α, 所以P∈α. 又因为a?α, 所以α与β重合,所以PQ?α. 证明 引申探究 将例2 中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平 行直线一定在同一平面内. 证明 反思与感悟 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. 再证明两个平面重合. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线也在另一个平面内, 跟踪训练2 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直 线l1,l2,l3在同一平面内. 证明 类型三 点共线、线共点问题 例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1 的中点.求证:CE、D1F,DA三线交于一点. 证明 反思与感悟 (1)点共线:证明多点共线通常利用公理 3,即两相交平面交线的唯一性, 通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择 其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上. (2)三线共点:证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线 的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上,此外还可先 将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两


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