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新华教育高中部数学同步人教A版必修五第一章解三角形-正弦定理和余弦定理学习过程


正弦定理和余弦定理
学习过程
知识点 1 : 正弦定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a

sin A sin B sin C (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a = k sin A , b = k sin B , c = k sin C ;

=

b

=

c

a

(2) sin A sin B sin C 等价于 sin A 从而知正弦定理的基本作用为:

=

b

=

c

a

=

b

c

sin B , sin C

=

b

a

sin B , sin A

=

c
sin C

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a =

b sin A sin B a sin B 。 b

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A =

一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 知识点 2 : 余弦定理 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余 弦的积的两倍。即

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC

变形公式:

cos A = cos B = cosC =

b2 + c 2 ? a 2 2bc a 2 + c 2 ? b2 2ac

b2 + a 2 ? c 2 2ba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 学习结论: (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 学习结论:

a

sin A sin B sin C (2)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

=

b

=

c

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC

典型例题
例题 1.在 ?ABC 中,已知 A = 32.0°, B = 81.8° , a = 42.9 cm,解三角形。 .

解:根据三角形内角和定理,

C = 180° ? ( A + B ) = 180° ? (32.0° + 81.8°)
= 66.2° ;
根据正弦定理,

b=

a sin B 42.9sin81.80 = ≈ 80.1(cm) sin A sin32.00 ;

根据正弦定理,

c=

a sin C 42.9sin66.20 = ≈ 74.1(cm). sin A sin32.00

0 例题 2、在 ? ABC 中,已知 a = 2 3 , c = 6 + 2 , B = 60 ,求 b 及 A 、 2 2 2 解析: 解析:⑴解:∵ b = a + c ? 2ac cos B 2 2 0 = (2 3) + ( 6 + 2) ? 2 ? 2 3 ?( 6 + 2) cos 45 2 = 12 + ( 6 + 2) ? 4 3( 3 +1)

=8 ∴ b = 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵ cos A = ∴ A = 60 .
0

b2 + c2 ? a2 1 = 2bc 2

解法二:∵ sin A =

a 3 sin B = b 2

又∵ 6 + 2 > 2.4 +1.4 = 3.8,

2 3 < 2×1.8 = 3.6,
0 0 ∴ a < c ,即 0 < A < 90 ,

∴ A = 60 .
0

例题 3、在△ABC 中, tan A = 、 (1)求角 C 的大小;

2 3 , tan B = ,且最长边为 2 . 5 7

(2)求最短边的长. 解析: (1)∵ tan A = 解析:

2 3 tan A + tan B , tan B = , ∴ tan( A + B ) = =1 5 7 1 ? tan A tan B

又 A + B + C = 180° , ∴ tan C = tan ?π ? ( A + B ) ? = ? tan( A + B ) = ?1 , ? ? ∴ C = 135° (2)由(1)知 C 为最大角,从而由已知得 c =

2,

Q tan B > tan A > 0 ,

∴ B > A ,故△ABC 的最短边为 a 。



tan A =

1 5 29 2 2 29 = cos A = sin A = tan A ? cos A = 2 29 ,∴ 1 + tan A 5 ,∴ 29 ,
2 c sin A 4 29 ,∴由正弦定理得最短边 a = = . 2 sin C 29 1 3, cos C = , AC = 3 6 ,求△ABC 的面积. 3

又 sin C =

例题 4、在△ABC 中,已知 tan B = 、

解析: 解析:设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b,
由 tan B = 3 , 得B = 60 o ,∴ sin B = 3 1 , cos B = . 2 2

又 sin C =

2 2 b sin C ,由正弦定理得c = =8 3 sin B

∴ sin A = sin ( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C

=

3 1 1 2 3 3 2 × + × = + 2 3 2 3 6 3 1 bc sin A = 6 2 + 8 3 2

故所求面积 S ?ABC =



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