9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列的几种递推公式


数列的几种递推公式
一、

an?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

二、

an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为 例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

1

例 3:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

解: an ?

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 ? ? 3n ? 1 3n ? 4 5 2 6 ? ?3 ? 8 5 3n ? 1 。

?

变式:已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则

?1 {an}的通项 an ? ? ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan , 用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an , 又 a2 ? a1 ? 1,
? a1 ? 1, a a a2 a ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n , a1 a2 a3 an?1
n! (n ? 2) 2

将以上 n 个式子相乘,得 an ?

三、 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 再利用换元法转化为等比数列求解。

q , 1? p

2

例 4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为

an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .
故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2. bn an ? 3

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, 则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 . 变 式 : 在 数 列 ?an ? 中 , 若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) , 则 该 数 列 的 通 项 an ? _______________(key: an ? 2n?1 ? 3 )

3

四、类型 4

an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。
r 均为常数) 。
n ?1

n (或 an?1 ? pan ? rq ,其中 p,q,

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q



an?1 p an 1 a ? ? n? bn ? n n ?1 q q q 引入辅助数列 ?bn ? (其中 qn ) 得: q ,

得:

bn?1 ?

p 1 bn ? q q 再待定系数法解决。

例 5:已知数列 ?an ? 中,

a1 ?

5 1 1 a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 6, 3 2 ,求 an 。

1 1 2 a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 2 n ?1 ? a n ?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 n ?1 3 2 3 解:在 两边乘以 2 得:

令 bn ? 2 ? an ,则
n

bn ?1 ?

2 2 bn ? 1 bn ? 3 ? 2( ) n 3 3 ,解之得:

所以

an ?

bn 1 1 ? 3( ) n ? 2( ) n n 2 3 2
4

五、递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 解法:利用

消去 S n (n ? 2) 或

与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。

例 6.

S n ? 4 ? an ? n?2 2 . 数列 ?an ? 前 n 项和

1

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

解: (1)由

S n ? 4 ? an ?

1 2
n?2

得:
1 2
n?2

S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ? 1

1 2 n ?1

于是

S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? (

?

) 2 n ?1 ,

所以

an?1 ? an ? an?1 ?

1 1 1 ? a n ?1 ? a n ? n n ?1 2 2 2 .

n (2)应用类型( an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )

的方法,上式两边同乘以 2
a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

n ?1

得: 2

n?1

an?1 ? 2n an ? 2



1 ? a1 ? 1 n 2 .于是数列 2 an 是以 2 为首项,2 为公差的等差

?

?

n 数列,所以 2 an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

? an ?

n 2 n ?1
5

六、倒数变换: 将递推数列 an?1 ?
can 1 d 1 1 (c ? 0, d ? 0) ,取倒数变成 ? ? an ?1 c an c an ? d

的形式的方法叫倒数变换. 例 7. 已知数列 ?an ? (n ? N * ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?
an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1 1 1 ? ?2, an?1 an

【解析】:将 an ?1 ?

an 1 1 取倒数得: ? 2? , an?1 an 2an ? 1

?1? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列. a1 ? an ?
1 1 . ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? 2n ? 1 an

跟踪训练

已知数列 ?an ? 中,

, an ?1 ?

2an ,求数列 ?an ? 的通项公式. an ? 2

6

二、数列的求和 (1)公式法:必须记住几个常见数列前 n 项和

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2 ;

?na1 ?? q ? 1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q ?? q ? 1 ?



2 a 1.已知等差数列 ? n ? 的前 n 项和为 Sn ? pn ? 2a ? q( p, q ? R), n ? N

(Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 an ? 2log2 bn ,求数列的{bn}前 n 项和. (Ⅰ)解法一: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn ? 2n ? q ? p(n ?1) ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .

?an ? 是等差数列,
? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 ,? q ? 0 ············4 分

解法二:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? pn ? 2n ? q ? p(n ?1) ? 2(n ?1) ? q ? 2 pm ? p ? 2 .

当 n ? 3 时, a1 ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? [2 p(n ?1) ? p ? 2] ? 2 p .

a2 ? p ? 2 ? q ? 2 p ? 3 p ? 2 ? q .
又 a2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 ? 3 p ? 2 , 所以 3 p ? 2 ? q ? 3 p ? 2 ,得 q ? 0 .············4 分
a1 ? a1 ? a5 2 ,? a3 ? 18 .又 a3 ? 6 p ? p ? 2 ,? 6 p ? p ? 2 ? 18 ,? p ? 4

(Ⅱ)解:

?an ? 8n ? 6 ············8 分
bn?1 24( n?1)?1 ? 4n?3 ? 24 ? 16 4n?3 b 2 又 an ? 2log2 b n 得 bn ? 2 .?b1 ? 2 , bn ,即 ? n ? 是等比数列.

b 所以数列 ? n ? 的前 n 项和

Tn ?

2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) 1 ? 16 15
7

(2)分组求和:
1 1 1 ?4 ?7 ? 3n ? 2 2 n ?1 如:求 1+1, a ,a ,…, a ,…的前 n 项和

? (3n ? 1)n ?? a ? 1 ? ? 2 Sn ? ? ? (3n ? 1)n ?? a ? 1 ? 2 ? (注: )

(3)裂项法: 如
an ? 1 n(n ? 2) 求 Sn

常用的裂项有
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 ;
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2 ; 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

8

' 2.已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列

{an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。
(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;
bn ? 1 m Tn ? an an?1 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, 20 对所有 n ? N ? 都 求使得

(Ⅱ) 、 设

成立的最小正整数 m;

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
? 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n.

2

3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- (
当 n=1 时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
bn ? 3 3 1 1 1 ( ? ) a n a n ?1 = (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? = 2 6n ? 5 6n ? 1 ,
?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知

故 Tn=

?b
i ?1

n

i

1 =2

1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? ? 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 ? = 2 (1- 6n ? 1 ). ?

1 1 m 1 m ? 因此,要使 2 (1- 6n ? 1 )< 20 ( n ? N )成立的 m,必须且仅须满足 2 ≤ 20 ,

即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10.

(4)错位相减法:其特点是 cn=anbn 其中{an}是等差,{bn}是等比 如:求和 Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn-1 注意讨论 x,
?n 2 ?? x ? 1 ? S n ? ? (2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ?? x ? 1 ? (1 ? x) 2 ?

(5)倒叙相加法:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。 如求证:Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1) Cnn=(n+1)2n

9


赞助商链接

更多相关文章:
数列的递推公式数列的通项公式的几种常用方法
数列的递推公式数列的通项公式的几种常用方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法 (宁波市北仑中学 竺君祥...
递推公式求通项公式的几种
递推公式求通项公式的几种方_建筑/土木_工程科技_专业资料。由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题, 也是难点问题, ...
数列递推式变形的六种策略
数列递推式变形的六种策略以递推形式给出的数列, 我们解决的基本策略是对递推式进行转化变形, 这一步实施起来起技巧性强, 往往成为解题的难点。为克服这难点...
递推公式求通项公式的三种方法
递推公式求通项公式的三种方法 - 由递推公式求通项公式的三种方法 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项, 只是 由递推...
已知数列递推公式求通项公式的几种方法
已知数列递推公式求通项公式的几种方法 - 求数列通项公式的方法 一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {...
递推公式求通项公式的几种基本类型[1]
递推公式求通项公式的几种基本类型[1]_金融/投资_经管营销_专业资料。网课 7:由递推公式求通项公式的几种基本类型 求递推数列的通项公式的九种方法利用递...
已知数列递推公式求通项公式的几种方法
已知数列递推公式求通项公式的几种方法 - 求数列通项公式的 求数列通项公式的方法 一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 ,...
几种分式型递推数列的通项求法
显然,该数列的递推式 2.2 递推式的特征方程与特征根 我们先来看一引例: 首项为 ,由递推式 的通项公式我们是会求的: 1 即 1 给定的数列 0 为常...
高中数学必修五:数列中由递推公式求通项公式的五种类型题
数列中由递推公式求通项公式的五种类型题 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一,是一类考 查思维能力的题型,要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的...
递推数列的通项公式的九种方法精编版
递推数列的通项公式的九种方法精编版 - 求递推数列的通项公式的九种方法 求递推数列通项公式是数列这一章节的重难点, 不仅是高考的热点题型, 而且也对培养...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图