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专题:抽象函数的单调性与奇偶性的证明学生版


抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型 正比例函数 f(x)=kx 幂函数 指数函数 对数函数 f(x)=ax (k≠0) 抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或 f ( x ) ? f ( x ) ]
y f ( y)

f(x)=xn (a>0 且 a≠1) (a>0 且 a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y) [ 或f ( x ? y) ? f ( x )
f ( y)

f(x)=logax

f(xy)=f(x)+f(y) [ 或f ( x ) ? f ( x ) ? f ( y)]
y

1.已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) ,对一切实数 x 、 y 都成立,且 f (0) ? 0 ,求证 f ( x) 为偶函数。

2.奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)内递减,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围。

3.如果 f ( x) = ax 2 ? bx ? c (a>0)对任意的 t 有 f (2 ? t ) ? f 2 ? t ) ,比较 f (1)、f (2)、f (4) 的大小

4. 已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f (-1)=-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。

5. 已知函数 f(x)对任意 >2,f(3)=5,求不等式

,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x) 的解。

6.设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在

,使得

,对任何 x 和

y,

成立。求:

(1)f(0); (2)对任意值 x,判断 f(x)值的正负。

7.是否存在函数 f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;② ③f(2)=4。同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,如不存在,说明理由。



8.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 (1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。

,求:

9.设函数 y=f(x)的反函数是 y=g(x)。如果 f(ab)=f(a)+f(b), 那么 g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。

10. 己知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件: ①当 是定义域中的数时,有 ;

②f(a)=-1(a>0,a 是定义域中的一个数); ③当 0<x<2a 时,f(x)<0。 试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。

11. 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)·f(y),且 f(-1)=1,f(27)=9, 当 时, 。 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 ,求 a 的取值范围。

12. 设 f(x)定义于实数集上,当 证: 在 R 上为增函数。

时,

,且对于任意实数 x、y,有

,求

13.已知函数 f(x)的奇偶性。

对任意不等于零的实数

都有

,试判断函数

14.定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m, n, 总有 判断 f(x)的单调性;

, 且当 x>0 时, 0<f(x)<1。

15. 设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时 f(x)<0,且 f(1)= -2,求 f(x)在[-3,3]上 的最大值和最小值.

16.设 f(x)定义于实数集上,当 x>0 时,f(x)>1,且对于任意实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y), 求证:f(x) 在 R 上为增函数。

17. 已知偶函数 f(x)的定义域是 x≠0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1,x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 f (2 x2 ?1) ? 2

18.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- )=0,当 x>- 时,

1 2

1 2

f(x)>0.求证:f(x)是单调递增函数;

19.定义在 R+上的函数 f(x)满足: ①对任意实数 m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3)≤2,求 x 的取值范围.

20. 已知函数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1、x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试判断函 数 f(x)的奇偶性。

21. 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ?1? f ( x ? y) ? 求证:f(x)是奇函数。

f ( x) f ( y ) ? 1 , (2) 存在正常数 a, 使 f(a)=1. f ( y ) ? f ( x)

22. 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 x )+f(3 x -9 x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

23. 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数 a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

24. 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时f(x)<0恒 成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)证明f(x)为减函数; 25. 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 0. (1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x ?1
f ( a ) ? f (b ) > a?b



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