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第一部分 第3章 3.1 3.1.2 第二课时 指数函数的图象和性质的应用


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第 3 章

2.1 3.1.2

第 二 课 时 应用创 新演练

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3.1

指数函数

3.1.2 指数函数

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第二课时

指数函数的图象和性质的应用

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1x [例 1] 利用函数 f(x)=( ) 的图象,作出下列各函数 2 的图象:(1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)-f(x);(4)f(-x).

[思路点拨]

利用图象的平移变换和对称变换作图象.

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[精解详析]

1 x- 1 1x (1)f(x-1)=( ) ,其图象可由 f(x)=( ) 的 2 2

图象向右平移 1 个单位(如图(1)); 1 x+ 1 1x (2)f(x+1)=( ) , 其图象可由 f(x)=( ) 的图象向左平移 2 2 1 个单位得到,(如图(2)); 1x 1x (3)-f(x)=-( ) ,其图象可由 f(x)=( ) 的图象关于 x 轴 2 2 对称得到(如图(3));

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1 -x (4)f(-x)=( ) =2x, 其图象就是 f(x)=2x 的图象, 也可通过 2 1 f(x)=( )x 的图象关于 y 轴对称得到(如图(4)). 2

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[一点通] 函数的图象变换 (1)平移变换: a>0左移a个单位 y=f(x)――――――――→y=f(x+a) a<0右移|a|个单位 k>0上移k个单位 y=f(x)――――――――→y=f(x)+k k<0下移|k|个单位 (2)对称变换: 关于x轴 y=f(x)――――→y=-f(x) 对称 关于y轴 y=f(x)―――→y=f(-x) 对称 关于原点对 y=f(x)―――――→y=-f(-x) 称

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(3)翻折变换: 保留y轴右侧部分,去掉左侧部 y=f(x)―――――――――――――――→y=f(|x|). 分,再将右侧部分翻到左侧 保留x轴上侧部分,把下 y=f(x)―――――――――――→y=|f(x)| 侧部分翻到x轴上侧

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1.函数y=ax-1(a>0且a≠1)的图象过定点________. 解析:∵y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1),而 y=ax-1的图象又可由y=ax的图象向右平移1个单位 得到,所以函数y=ax-1的图象过定点(1,1).

答案:(1,1)

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2.说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,

并画出它们的示意图.
(1)y=2x+1;(2)y=2x-2;(3)y=2x+1;(4)y=2x-2.

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解:(1)将指数函数y=2x的图象向左平移1个单位长度,
就得到函数y=2x+1的图象. (2)将指数函数y=2x的图象向右平移2个单位长度,就得 到函数y=2x-2的图象.

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(3)将指数函数 y=2x 的图象向上平移 1 个单位长度,就 得到函数 y=2x+1 的图象. (4)将指数函数 y=2x 的图象向下平移 2 个单位长度,就 得到函数 y=2x-2 的图象.

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1 |x| 3.画出函数 y=( ) 的图象,并根据图象写出函数的单 2 调区间.
? 1 x ?(2) ,x≥0, 解:原函数变形为 y=? ?(1)-x,x<0, ? 2

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1 |x| 显然函数 y=( ) 是偶函数, 2 1x 先画出 y=( ) (x≥0)的图象,再作出其关于 y 2 1 轴对称的图象, 即得 y=( )|x|的图象如图所示. 2 1 由图象可知,函数 y=( )|x|在(-∞,0)上是增 2 函数,在(0,+∞)上是减函数.

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1x [例 2] 判断 f(x)=( ) 3

2

-2x

的单调性,并求其值域.

[思路点拨] 先确定 u=x2-2x 的定义域,值域及单 1u 调性,然后再确定 f(x)=( ) 的单调性及值域. 3

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[精解详析] 令 u=x2-2x, 则原函数变为
?1 ?u y=? ? . ?3 ?

∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,
?1 ?u 又∵y=? ? 在(-∞,+∞)上递减, ?3 ?

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?1 ?x 2 -2x ∴y=? ? 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. 3? ?

∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
?1 ?u ∴y=? ? ,u∈[-1,+∞), ?3 ? ?1 ?u ?1 ?-1 ∵0<? ? ≤ ? ? =3,∴原函数的值域为(0,3]. ?3 ? ?3 ?

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[一点通]

(1)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1),它由两个
函数y=au,u=f(x)复合而成.其单调性由两点决定,一 是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调性. (2)求这种指数型函数的单调区间,首先求出函数的 定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查

f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性.

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4.已知函数 f(x)=a-x(a>0 且 a≠1)满足 f(-2)>f(-3). 则函数 g(x)=a
1- x 2

的单调增区间是________.

解析:由f(-2)>f(-3)即a2>a3,易知0<a<1. 令t=1-x2,则y=at在定义域内单调递减, 故应求t=1-x2的递减区间,易知t在[0,+∞)单调 递减. 答案:[0,+∞)

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5.求函数 y=a

x 2 + 2x- 3

的单调区间.

解:(1)设 y=au,u=x2+2x-3. 由 u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得 u 在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数. 根据 y=au 的单调性,当 a>1 时,y 关于 u 为增函数; 当 0<a<1 时,y 关于 u 为减函数. ∴当 a>1 时,原函数的递增区间为[-1,+∞),递减区间 为(-∞,-1]; 当 0<a<1 时,原函数的递增区间为(-∞,-1],递减区 间为[-1,+∞).

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[例3]

1980年我国人均收入255美元,到2000年人民生

活达到小康水平,人均收入为817美元,则年平均增长率是 多少(精确到1%)?若以不低于此增长率的速度递增,则到

2020年,人均收入至少为多少美元(精确到1美元)?
[思路点拨] 先根据实际问题列出相应的函数,然后

根据相应的数据确定出函数中的待定系数,再求解其他问 题. 返回

[精解详析] 设年平均增长率是 x. 由题意,得 y=255×(1+x)n, 因为到 2000 年人均收入为 817 美元, 即 n=2 000-1 980=20 时,y=817, 所以 817=255×(1+x)20. 所以 x≈0.06.

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到 2020 年,即 n=2 020-1 980=40, 此时 y=255×(1+0.06)40≈2 623. 答:年平均增长率是 6%,若以不低于此增长率的速 度递增,则到 2020 年人均收入至少是 2 623 美元.

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[一点通]

在实际问题中,经常会遇到类似的指数

型函数模型:设原有量为N,平均增长率为p,则对于经 过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x表示.我们把形如y =kax(k∈R,k≠0,a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数, 这是非常有用的函数模型.

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6.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制所占据内存是 原来的2倍,那么开机后,该病毒占据64 MB (1 MB=210KB)内存需要经过的时间为________分钟.

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解析:设开机 t 分钟后,该病毒占据 y KB 内存,由题意 得 y=23 1, 则有 y=2
t +1 3 t+

=64×210,

又 64×210=26×210=216, t 所以有 +1=16,解得 t=45. 3

答案:45

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7.截止到2009年底,我国人口约13.56亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后, 我国人口数最多为多少(精确到亿)? 解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后, 我国人口数为y亿.2010年1月,我国人口约为13.56亿; 经过1年,人口数为13.56+13.56×1%=13.56×(1+

1%)(亿);

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经过2年,人口数为13.56×(1+1%)+13.56×(1+1 %)×1 %=13.56×(1+1%)2(亿);

经过3年,人口数为13.56×(1+1%)2+13.56×(1+
1%)2×1%=13.56×(1+1%)3(亿); …… 所以,经过x年,人口数为 y=13.56×(1+1%)x=13.56×1.01x(亿).

当x=20时,y=13.56×1.0120≈17(亿).
即经过20年后,我国人口数量最多为17亿. 返回

对于形如 y=af(x)(a>0,a≠1)的函数,有如下结论 (1)函数 y=af(x)的定义域、奇偶性与 f(x)的定义域、奇 偶性相同; (2)先确定函数 f(x)的值域, 再由指数函数的单调性, 求 y=af(x)的值域; (3)当 a>1 时,函数 y=af(x)与函数 f(x)在相应区间上的 单调性相同;当 0<a<1 时,函数 y=af(x)与函数 f(x)在相应 区间上的单调性相反.

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一般地,在函数y=f(g(x))中,若函数u=g(x)在区间

(a,b)上是单调增(减)函数,且函数y=f(u)在区间(g(a),
g(b))[或在区间(g(b),g(a))]上是单调函数,那么函数y= f(g(x))在区间(a,b)上的单调性见下表: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

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由 表 知 , 函 数 y = f(g(x)) 的 单 调 性 规 律 为 “ 同 增 异 减”.即 u=g(x),y=f(x)的单调性相同时,f(g(x))是单调增 函数;单调性不同时,f(g(x))为单调减函数.

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