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复高三总复习:椭圆的定义与标准方程


抛物线的定义与 标准方程

【知识要点】 1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大 F 1F 2 于____________) 的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点 F1, F2 叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 2.椭圆的标准方程 (1) (a>b>0), 焦点 F1(-c, 0), F2(c, 0),其中 c=_____________ . a 2 ? b2 y 2 x2 F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ? , (2)a2+b2=1(a>b>0),焦点___________________ a 2 ? b2 其中 c=_____________ .
x2 y 2 ? 2 ?1 2 ______________ a b

椭圆定义及标准方程

考 点

x2 y2 【例 1】(1)设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭 25 16 圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距 离为( ).A.4 B.3 C.2 D.5 (2)见下一页
解(1)

由题意知,在△PF1F2 中, 1 |OM|= |PF2|=3, ∴|PF2|=6, 2 ∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.
答案 A

y2 x2 【例 1】(2)求过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点 25 9 的椭圆的标准方程.
解(2)法一

即 c=4

y2 x2 椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4), 25 9 由椭圆的定义知,

2a= ? 3-0?2+?- 5+4?2+ ? 3-0?2+?- 5-4?2,
解得 a=2 5. 由 c2=a2-b2 可得 b2=4. y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 2 4 2 法二 因为所求椭圆与椭圆 y +x =1 的焦点相同, 25 9 且 c2=25-9=16. 所以其焦点在 y 轴上,
y2 x2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

因为 c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16.① ?- 5?2 ? 3?2 又点( 3,- 5)在所求椭圆上, 所以 + 2 =1, a2 b 5 3 2 2 即 2+ 2=1.② 由①②得 b =4,a =20, a b y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4

(1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应 考虑用定义来解决. (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点 位置可写出椭圆方程. ②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方 程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要 分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程 为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).

规律方法

6 -6考点一 求椭圆的标准方程
2 F1,F2 是椭圆 2

【例 1】已知

+

2

2 =1(a>b>0)的左、右焦点,A,B

分别是

此椭圆的右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,OP∥AB,PF1⊥x 轴,|F1A|= 10 + 5,则此椭圆的方程是
2 2 + 5 =1 10

.

考点一

考点二

考点三

-7-

y=-x.



解析:由于直线 AB 的斜率为-,故 OP 的斜率为-,直线 OP 的方程为
2 与椭圆方程 2 2





+

2

2 =1 联立,解得 x=± a.

2 2

因为 PF1⊥x 轴, 所以 x=- 2 a, 从而- 2 a=-c,即 a= 2c. 又|F1A|=a+c= 10 + 5, 故 2c+c= 10 + 5,解得 c= 5, 从而 a= 10.
2 2 所以所求的椭圆方程为 + =1. 10 5 2

考点一

考点二

考点三

[学以致用] x2 y2 1. [2013· 课标全国卷Ⅰ]已知椭圆 E: a2+b2=1(a>b>0)的右焦 点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐 标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. 45+36=1 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 B. 36+27=1 x2 y2 D. + =1 18 9 )

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B 在椭圆上,
2 2 ?x1 y1 ?a2+b2=1, ∴? 2 2 x y 2 ? 2+ 2 ② 2=1, ?a b



①-②,得 ?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, a2 b2 ?y1+y2??y1-y2? b2 即a2=- , ?x1+x2??x1-x2?

∵AB 的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2, y1-y2 0-?-1? 1 b2 1 而 =k = = ,∴ 2= . 2 a 2 x1-x2 AB 3-1 又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9. x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1.故选 D. 18 9

答案:D


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