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(完整word版)人教版高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修 4 知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角??负角:按顺时针方向旋转形成的角
??零角:不作任何旋转形成的角

2、角? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象

限,则称? 为第几象限角.

? ? 第一象限角的集合为 ? k ?360 ? ? ? k ?360 ? 90 , k ? ?

? ? 第二象限角的集合为 ? k ?360 ? 90 ? k ?360 ?180 , k ? ?

? ? 第三象限角的集合为 ? k ?360 ?180 ? ? ? k ?360 ? 270 , k ? ?

? ? 第四象限角的集合为 ? k ?360 ? 270 ? ? ? k ?360 ? 360 , k ? ?

? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?

? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?

? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ?90 , k ? ?

? ? 3、与角? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ?360 ??, k ? ?

? ? 4、已知? 是第几象限角,确定 ? n ? ?* 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则? 原来

是第几象限对应的标号即为 ? 终边所落在的区域. n

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角? 所对弧的长为 l ,则角? 的弧度数的绝对值是 ? ? l . r

7、弧度制与角度制的换算公式: 2?

? 360

,1

?

? 180

,1

?

? ??

180 ?

? ??

? 57.3



8、若扇形的圆心角为? ??为弧度制?,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,

则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? 1 lr ? 1 ? r2 . 22

9、设? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ?的坐标是 ? x, y? ,它与原点

? ? 的距离是 r r ? x2 ? y2 ? 0 ,则 sin? ? y , cos? ? x , tan? ? y ? x ? 0? .

r

r

x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限

正切为正,第四象限余弦为正.

11、三角函数线: sin? ? ?? , cos? ? ?? , tan? ? ?? .

12、同角三角函数的基本关系: ?1?sin2 ? ? cos2 ? ?1

? ? sin2 ? ?1? cos2 ?,cos2 ? ?1? sin2 ? ; ?2? sin? ? tan? cos?

? ??

sin

?

?

tan ?

cos ? ,

cos?

?

sin ? tan ?

? ??



y
PT v O MA x

13、三角函数的诱导公式:

?1?sin?2k? ?? ? ? sin? , cos?2k? ?? ? ? cos? , tan?2k? ?? ? ? tan? ?k ??? .

?2?sin?? ?? ? ? ?sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? tan? .

?3?sin??? ? ? ?sin? , cos??? ? ? cos? , tan??? ? ? ? tan? .

?4?sin?? ?? ? ? sin? , cos?? ?? ? ? ?cos? , tan?? ?? ? ? ? tan? .

口诀:函数名称不变,符号看象限.

?5?

sin

? ??

? 2

?

?

? ??

?

cos

?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

sin

?



?

6 ? sin

? ??

? 2

?

?

? ??

?

cos

?



cos

? ??

? 2

?

?

? ??

?

?

sin

?



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y ? sin? x ??? 的图象;再将函数 y ? sin? x ??? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩

短)到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数
?
y ? sin??x ??? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不

变),得到函数 y ? ?sin ??x ???的图象.
函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变), ?
得到函数

? y ? sin?x 的图象;再将函数 y ? sin?x 的图象上所有点向左(右)平移 个单
?
位长度,得到函数 y ? sin??x ??? 的图象;再将函数 y ? sin??x ??? 的图象上所

有 点 的 纵 坐 标 伸 长 ( 缩 短 ) 到 原 来 的 ? 倍 ( 横 坐 标 不 变 ), 得 到 函 数

y ? ?sin ??x ???的图象.

函数 y ? ?sin??x ????? ? 0,? ? 0? 的性质:

①振幅:? ;②周期:? ? 2? ;③频率: f ? 1 ? ? ;④相位:?x ?? ;⑤初相:

?

? 2?

?.

函数 y ? ?sin ??x ??? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得

最大值为

ymax

,则

?

?

1 2

?

ymax

?

ymin

?

,?

?

1 2

?

ymax

?

ymin

?



? 2

?

x2

?

x1

?

x1

?

x2

?



15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

性 质 函 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 R


R

??x ?

x

?

k?

?

? 2

,k

?

??? ?




??1,1?


??1,1?

当 x ? 2k? ? ? ?k ? ?? 当 x ? 2k? ?k ??? 时,
2

最 时 , ymax ? 1 ; 当 ymax ? 1;当 x ? 2k? ??

值 x ? 2k? ? ? 2

?k ? ?? 时, ymin ? ?1.

?k ? ?? 时, ymin ? ?1.



2?

2?

R
既无最大值也无最小 值 ?







奇函数

偶函数

奇函数







???2k?

?

? 2

,

2k?

?

? 2

? ??

在 ?2k? ??,2k? ??k ???

单 调

?k ? ??上是增函数;在

上是增函数;在



? ??

k?

?

? 2

,

k?

?

? 2

? ??



???2k?

?

? 2

,

2k?

?

3? 2

? ??

?2k?,2k? ?? ?

?k ? ??上是增函数.

?k ? ??上是减函数.

?k ? ??上是减函数.

对称中心 对

对 称 中 心对 称 中 心

?k?,0??k ???









? ??

k?

?

? 2

,

0

? ??

?

k

?

??

? ??

k? 2

,

0

? ??

?

k

?

?

?

性 x ? k? ? ? ?k ? ??
2

对称轴 x ? k? ?k ???

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:

a ? b ? a?b ? a ? b .
? ? ? ? ⑷ 运 算 性 质 : ① 交 换 律 : a ? b ? b ? a ; ② 结 合 律 : a ? b ? c ? a ? b ? c ; ③

a?0?0?a ?a .

C

⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .

a

?

b

?

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2, y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2, y1 ? y2 ? .

19、向量数乘运算:

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ?a .

① ?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ?a 的方向与 a 的方向相反;当

? ? 0 时, ?a ? 0 .
? ? ⑵运算律:① ? ??a? ? ????a ;② ?? ? ?? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ?a ? ?b .
⑶坐标运算:设 a ? ? x, y? ,则 ?a ? ? ? x, y? ? ??x,? y? .
? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a . ? ? 设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2, y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0
共线.

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面

内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2e2 .(不共线的向量 e1 、e2 作

为这一平面内所有向量的一组基底)

22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1, y1 ? ,? x2, y2 ? ,



?1?

?

???2

时,点

?

的坐标是

? ??

x1 ? ? x2 1? ?

,

y1 ? ? y2 1? ?

? ??



23、平面向量的数量积:
? ? ⑴ a ?b ? a b cos? a ? 0,b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ?b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ?b ? a b ; 当 a 与 b 反向时, a ?b ? ? a b ; a ? a ? a2 ? a 2 或 a ? a ? a .③ a ?b ? a b .
? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ?b ? b ? a ;② ??a??b ? ? a ?b ? a ? ?b ;③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c .
⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ?b ? x1x2 ? y1y2 . 若 a ? ? x, y? ,则 a 2 ? x2 ? y2 ,或 a ? x2 ? y2 . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0 .

设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2, y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

c o s? ? a ?b ? x1 x2? y1 y2 .

ab

x12

?

y

2 1

x 22? y

2 2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;

⑵ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;

⑶ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ?cos? sin ? ;

⑷ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;

⑸ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ?);
1? tan? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ? ).
1? tan? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴ sin 2? ? 2sin? cos? .

⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ? ( cos2 ? ? cos 2? ?1 , 2
sin2 ? ? 1? cos 2? ). 2



tan

2?

?

2 tan? 1? tan2 ?



26、 ?sin? ? ?cos? ? ?2 ? ?2 sin ?? ?? ? ,其中 tan? ? ? .
?



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