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数列---2013届高考文科数学第一轮考点总复习


第 三 章





1

3.1

数列的概念

考点 搜索

●数列的概念 ●数列通项公式的求解方法 ●用函数的观点理解数列

高考

以递推数列、新情境下的 数列为载体,重点考查数列的通
2

一、数列的定义 一定顺序 1.按①_________排成的一列数 叫做数列,其一般形式为a1,a2,…,an,…, 简记为{an}. 一群孤立的点 ? 2.数列是一种特殊的函数,其 特殊性表现在它的定义域是正整数集 或正整数集的子集,因此它的图象是 ②_______________.
? ?
3

三、数列的分类 ? (1)按照项数是有限还是无限 来分:有穷数列、无穷数列. ? (2)按照项与项之间的大小关 系来分:递增数列、递减数列、摆 动数列和常数列.递增数列与递减数 列统称为单调数列. ? (3)按照任何一项的绝对值是 否都不大于某一正数来分:有界数
?

4

四、数列前n项和Sn与an的关系 a1+a2+a3+…+an ? 1.Sn=③________________(用 an表示); ?Sn (n ? 1)
?
? ? S n - S n-1 (n ? 2)

?

2.an=④________________(用
Sn表示).
? S n (n ? 1) ? ? S n - S n-1 (n ? 2)

?

盘点指南:①一定顺序;②一

5

?

1.已知数列{an}、{bn}的通项 公式分别是:an=an+2,bn=bn+1(a,b是常 A 数),且a>b.那么两个数列中序号与数 值均相同的项的个数是( ) A. 0个 ? C. 2个 B. ? 1个 D. 无穷多个
6

? ?

?

解:an=bn? an+2=bn+1? (a-

?

a2
?
? ?

1 an ? an 2.已知数列{an}中,a1=1,-1 ? a n -2 A 等于( =3, (n≥3),则a )
55 12

A.

5 13 3

B.

1 55 ? a3 ? a2 ? ? 4 ? a4 ? a3 ? ? ? a5 ? a4 ? ? . (n≥3) a1 a2 3 a3 12
7

C. 4 解:a1=1,a213 1 1 =3,

15 D. an ? an-1 ? an-2

??

?

3. 已知数列{an}的前n项和 B Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k 等于( ) A. 9 C. 7 B. 8 D. 6

? ?

? ?

解:因为数列{an}的前n项和 Sn=n2-9n, 15 所以,当n≥2时,a2n=Sn-Sn-1=2n-10;
? ?
8

题型1

根据数列前几项 写出数列的一个通项公式

?

1. 写出下面数列的一个通项公式:

9

10

11

? 拓展练习

写出下面数列的一个

通项公式:

12

13

14

15

题型2

运用an与sn的关系解题

?

2. (原创)设数列{an}的前n项和 为Sn,分别在下列条件下求数列{an} 的通项公式. 2 (1)an+Sn=2;
a1 ? 9 .

? ?

(2)an=Sn·n-1(n≥2,Sn≠0), S

? ?

解:(1)当n=1时,a +a =2,解得 a1=1. 当n≥2时,由a +S =2,得a +S
16

1 an ? an-1 , 2 11 1 2

?

)n-1. ? 由于n=1时,也符合上式, 1 ? 所以数列{an}的通项公式是 2 an=( )n-1(n∈N*). 1 1 1 ? (2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以Sn-SnS S Sn S 1=Sn·n-1, 1 ? 所以? 1 ? (n -1) ? (-1) ? 11- 2n , =-1(n≥2),所以数列 S S 2 { }为 ? 等差数列.
n n -1

1 即an=( 2

n

1

17

2 2 4 ? ? . 11- 2n 13- 2n (11- 2n)(13- 2n)

? 所以

?2 ? 9 (n ? 1) ? an ? ? . 4 ? (n ? N *, 且n ? 2) ? (11- 2n)(13 - 2n) ?

?

点评:由数列的前n项和Sn得 ? S1 (n ? 1) an ? ? . ? Sn - Sn-1 (n ? N *,且n ? 2) an的关系

? 是:

一般分

18

?

设数列{an}的前n项 拓展练习 和为Sn,分别在下列条件下求数列 {an}的通项公式. (1)Sn=3n-2; (2)Sn=n2+2n.
an ? ? n -1 . 3 2) ? 2? ( n ? N *,且n ? =3n-2-(3n-1当n≥2时,an=Sn-Sn-1 19 2)=2·n-1. 3

? ? ?

解:(1)当n=1时,a1=S1=1; ?1(n ? 1)

?

(2)当n=1时,a1=S1=3; ? 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 ? =n2+2n-(n-1)2-2(n-1) ? =2n+1. ? 因为a1=3满足上式,所以数 列{an}的通项公式为an=2n+1(n∈N*).
20

题型3

由递推关系式求递推公式

3. 设数列{an}满足 n a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ,n∈N*, 3 n 求数列{an}的通项公式. 3 n ? 解:依题意得 -1 2a +…+3n-13 = a1+3a2+3 3 n - n -1 ? 1 an ,① 3 3 3 1 +32a +…+3n-2a = ? a1+3a2 (n≥2), an ? n 3 n-1 3 ② 1 ? 由①-②得3n-1an= (n≥2). an ? n
?
3
21

?

点评:数列是特殊的函数, 数列的递推关系式反映的就是函 数的一个对应关系.如果已知的是 n=k时的命题,则n=k-1(k≥2)时的 命题,或n=1时的命题的相应形式 我们应该能准确的写出来,然后 由这些式子经过加减等运算得到 我们所需要的递推关系式或通项 公式.

22

? 拓展练习

a1+a2+ ? …+an=n2·n,则数列{an}的通项公式 a an=____. ? 解:设数列{an}的前n项和为 an n Sn,则S-1=n2·n. a ? n. an-1 n ? 1 ? 所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2an-(na a a a ?a ? ? ? ?? a 1)2an-1, a a 1 1 2 n -1 1 ? ? ? ? ?? ? . ? 所以2 3 4 n ?1 n( n ? 1)
2 3 n n 1 1 2 n -1

1 , 数列{an}满足a1= 2

23

?

1. 根据数列的前面几项,写 出它的一个通项公式,关键在于找出 这些项(a1,a2,a3,…)与项数(1,2, 3,…)之间的关系,常用方法有观察 法、逐项法、转化为特殊数列法等. 2. 利用Sn与an的关系求通项是 一个重要内容,应注意Sn与an间关系 的灵活运用,同时要注意a1并不一定

?

24

3. 已知数列的递推关系式求 数列的通项公式,解此类题型的方 法一般是将已知的递推关系,用代 数法、迭代法、换元法,或转化为 基本数列(等差或等比数列)的方法 求通项公式. ? 4. 数列中有两个重要变形, 在适当条件下,注意使用: an a2 a3 ? (1)a ? ? ??? an ? a1n=a1+(a2-a1)+…+(an-ana1 a2 an-1 );
?

25



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