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【全国百强校】上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2018 年交附高二下数学期末试卷 第Ⅰ卷(共 54 分) 一、填空题(本大题共 12 题,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分,满分 54 分,将答案填在 答题纸上) 1. 函数 【答案】 【解析】分析:解不等式组 详解:要使函数 即可得结果. 有意义,则有 ,故答案为 . 的定义域为__________. 点睛:定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对 实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数 数 的定义域由不等式 求出. 的定义域为 ,则函 2. 表面积为 的球的体积为__________. 【答案】 【解析】分析:先根据球的表面积公式,列方程得到球半径,再利用球的体积公式求解该球的体积即可. 详解: , ,故答案为 . 点睛:本题主要考查球的体积公式和表面积公式,意在考查学生对基础知识的掌握情况,属于基础题. 3. 【答案】 【解析】分析:先求出二项式 中 项的系数. 详解: 的二项展开式的通项为 , , 的展开式的通项公式,令 的指数等于 ,求出 的值,即可求得展开式 的二项展开式中, 项的系数是__________. (用数字作答) 展开式 项的系数为 故答案为 . 点睛:本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点 之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题: (1)考查二项展开式的通项公式 ; (可以考查某一项,也可考查某一项的系数) (2)考查各项系数和和各项的二项式系数和; (3)二项展开式定理的应用. 4. 高一(10)班有男生 人,女生 人,若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为 的样本, 则抽取男生的人数为__________人. 【答案】6 【解析】分析:根据分层抽样的定义直接计算即可. 详解:设抽取男生的人数为 , 因为男生 人,女生 人,从该班的全体同学中抽取一个容量为 的样本, 所以 , 取男生的人数为 ,故答案为 . 点睛:本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用,属于中档题.分层抽样适合总体中个体 差异明显,层次清晰的抽样,其主要性质是,每个层次,抽取的比例相同. 5. 人并排站成一行,其中甲、乙两人必须相邻,那么不同的排法有__________种.(用数学作答) 【答案】240 【解析】分析: 甲、乙两人必须相邻,利用捆绑法与其余的人全排即可. 详解:甲乙相邻全排列 种排法, 种排法, . 利用捆绑法与其余的人全排有 共有 ,故答案为 点睛:常见排列数的求法为: (1)相邻问题采取“捆绑法”; (2)不相邻问题采取“插空法”; (3)有限 制元素采取“优先法”; (4)特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数. 6. 若交大附中共有 【答案】1 【解析】分析:根据每年有 天,可判断 名教职工,中至少有两人生日在同一天为必然事件,从而可得 名教职工,那么其中至少有两人生日在同一天的概率为__________. 结果. 详解:假设每一天只有一个人生日,则还有 人,所以至少两个人同日生为必然事件, 所以至少有两人生日在同一天的概率为 ,故答案为 . 点睛:本题考查必然事件的定义以及必然事件的概率,属于简单题. 7. 设函数 【答案】 【解析】分析:根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式转化为 次不等式的解法求解即可. 详解: 且在 时, , ,两边平方利用一元二 ,则使得 成立的 的取值范围是__________. 导数为 即有函数 函数 等价为 即 解得 ,平方得 在 , 单调递增, 为偶函数, , , ,故答案为 . ,所求 的取值范围是 点睛:本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用,属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是,一直是 命题的热点,解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的 单调性(偶函数在对称区间上单调性相反, 奇函数在对称区间单调性相同), 然后再根据单调性列不等式求解. 8. 在长方体 __________. 【答案】 【解析】分析:过 作 结果. 详解:依题意,画出图形,如图, ,垂足为 ,则 平面 ,则 即为所求平面角,从而可得 中, , ,则直线 与平面 所成角的正弦值为 过 由 可得 所以 则 因为 所以 作 平面 , 平面 ,垂足为 , , , 即为所求平面角, , , ,故答案为 . 点睛:本题考查长方体的性质,以及直线与平面所成的角,属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法: 一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出 直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 9. 一个正方体的 个顶点可以组成__________个非等边三角形. 【答案】48 【解析】分析:从正方体的 个顶点中人取三个点共有 果. 详解:从正方体的 个顶点中人取三个点共有 种取法, 其中等边三角形共有 个, 所以非等边三角形共有 个,故答案为 . 点睛:本题主要考查组合数的应用,属于简单题. 10. 将集合 , 的元素分成互不相交的三个子集: , , 且 , ,其中 , 则满足条件的集合 有__________ 种取法,其中等边三角形共有 个,作差即可得结 个. 【答案】3 【解析】分析:由 然后列举出 详解: 所以 令 必定为: 又 ①当 ②当 时,同理可得 时,同理可得 , ,根据合理安排性,集合 ,则 , , . 或 , , 的最大一个元素, 可得 ,令 ,则 , , , 的值,从而可得结果. , 综上,一共有 种,故答案为 . 点睛:本题考查主要考查集合与元素的关系,意在考查抽象思维能力,转化与划归思想,分类讨论思想应 用,属于难题.解得本题的关键是首项确定 ,从而得到 ,


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