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将数形结合思想渗透于初中数学教学中


将数形结合思想渗透于初中数学教学中
“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法,“数”和“形”是数学中 两个最基本的概念。数是数量关系的体现,形是空间形式的体现,两者是对立统 一的,我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究;而在研究图形时, 又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换,运用彼此间 的相互联系和作用, 去有效地探求问题的解答,我认为这就是数形结合的思想方 法。华罗庚教授曾精彩地诠释:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合 百般好,隔裂分家万事休。”由此可见,数形结合的巧与妙,数形结合的思想方 法能扬数之长,取形之优,使得数量关系与空间形式珠联壁合,相映生辉。因此 在数学教学中,注意渗透这方面的思想,引导学生要善于将两者巧妙地结合起来 分析问题,让学生在不断感悟中开阔和发展思维,为达到快速、有效地解决问题 奠定良好的基础。 什么样的题目可以用数形结合法, 没有一个标准的、 硬性的规定, 一般而言, 在初中数学中涉及以下一些内容时可用数形结合法, 而且往往更有直观、 更有效。 一、实数与数轴上的点的对应关系是一种最简单的数形结合 数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明, 因为数轴上的点与实 数是一一对应关系。 因此两个实数大小的比较,可以通过它们在数轴上对应的点 的位置进行判断, 相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系 来刻划。 例如:实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示, 化简 a ? b ? b ?1 ? a ? c ? 1? c = 。
b a c 1

利用数轴的直观性,结合实数绝对值的几何意义, 结果易得,体现数形结合在解题中的直观与简明。 此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。 如求不等式
x ? 9 ? 7 的非正整数解。

利用数轴将不等式的解集 x ? ?2 在数轴上直观地表示出来, 使学生形象地看 到 x ? ?2 的数有无限多个,但满足条件的非正整数只有-2、-1、0 三个,说明数 形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。

二、应用题的解答可借助数形结合思想 甲、乙两地相距 23 千米,A 从甲地到乙地,在乙地停留 20 分钟后,又从乙 地回到甲地;B 从乙地到甲地,在甲地停留 30 分钟后,又从甲地返回到乙地, 若 A、B 同时从甲、乙两地出发,经过 5 小时后,在他们各自返回的路上相遇, 如果 A 的速度比 B 的速度快 3 千米/小时,求两人的速度。 分析:这是一道已知条件十分复杂的应用题,将数与形结合,借助图形来分 析,就直观、清楚多了。A、B 所走的路程可用下图表示:从图中可清楚地看到, A、B 两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的 3 倍,即等量关 系为:A 走的路程 + B 走的路程 =23×3。如果设 B 每小时走 x 千米,则 A 每小 时走 x ? 3 千米,由于两人途中都停留了一段时间,
? 1? ? 1? A 实际走 ? 5 ? ? 小时,B 实际走 ? 5 ? ? 小时,由此 2? ? 3? ? 1? ? 1? ? 就不难列出方程:? x ? 3? ? 5 ? ? ? x ? 5 ? ? ? 23 ? 3 , 3? 2? ? ?

得出 x ? 6 ?千米 / 小时? , x ? 3 ? 9 ?千米 / 小时? 由此可见,数与形的有机结合,确实能为解题 带来方便,它能使抽象的问题形象化、直观化,复杂的问题简单化,两者之间的 互助与联通能开辟出解题捷径,是一种有效的解题策略。 三、所求式子结构有一定几何意义时,可用数形结合法。 例 1:求和:S =

1 1 引导学生观察所求式子,发现后一项均为前一项的 ,而 又正好 2 2 是 1 的一半,由此想到构造一个面积为 1 的正方形,再将其不断地等
1 255 = 分??如图所示,从而得到 S=1- 256 256 (04 年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题)

1 1 1 1 ? ? ? ? 2 4 8 16

?

1 256

1

1 4 1 2 1

16 1 8

???

例 2:已知:

0<a<1,0<b<1.

求证:

a 2 ? b 2 ? a 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ? (1 ? a) 2 ? (1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? 2 2

此题通过化简不等式左边也可得证,但比较繁杂,可引导学生试用简便些的 方法去求解,观察所给代数式的结构,含有明显的几何意义,若能结合不等式左

边式子的特点, 将数的形式与形的特征联系起来构想,你会发现其形式与勾股定 理相吻合,从而想到构造直角三角形,利用“形”的特点来帮助解决“数”的问 题。 分析: 求证的不等式左边的每一项都可以视为一个直角三角形的斜边,所证 的四个二次根式之和大于等于 2 2 ,可以看作分成两组线段之和不小于 2 即 可,而 2 可以由边长为 1 的正方形的对角线作出来。 证明:如图,作出边长为 1 的正方形 ABCD,设 AH=a ,AE=b ,EF∥AD, HG
P ?
2


,A ?
2

AB
a ( ?


2


b1 ? P )2


?B ,

2

AC = BD = 2 ,在△APC 中,PA+PC≥AC = 2 ,---------① 在△BPD 中,PB+PD≥BD = 2 ,---------② 由 ①+②,得 PA+ PB+ PC+ PD≥ 2 2 ,结论得证。 此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想,发挥了逻辑思维和形 象思维的互助功能,这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思
1-b
A

a

H P

1-a

b
E

D F

路,打破常规的思维定势,培养学生细心观察、大胆猜想,善于 横纵向思考问题的综合解题能力。 四、函数及其图象巧妙凸现数形结合思想 “函数及其图象”是初中数学的一个重要内容,同时也是一个难点内容,有 关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切 的联系,在解题时要善于将它们“牵手” ,将它们的“形”与对应的“数”结合 起来,往往会使很多棘手问题迎刃而解,且解法简捷、独特。 例 3、已知一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k≠0),x 与 y 的部分对应值如 下表所示,那么不等式 kx+b<0 的解集是( A、x<0 x y -2 3 B、x>0 -1 2 C、x<1 0 1 1 0 ) D、x>1 2 -1 3 -2
B G C

分析:从表中选取两对对应值 x=0,y=1;x=1,y=0 作为点的 坐标,在平面直角坐标系内画出 y=kx+b 的图象,不等式 kx+b <0 的解集就是直线 y=kx+b 在 x 轴下方部分所对应的自变量 x 的取值,由图可知,当 y<0 时,x 的取值为 x>1,所以不等式 kx+b<0 的解集为 x>1,故选 D。 解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来,从形的角度 看,是求直线在 x 轴下方所对应的自变量的取值范围,从数的角 度看,是求不等式的解集。 例 4、已知方程 x2-2px+10=0 有一个根大于 1,另 一个根小于 1,求 p 的取值范围。 分析:由二次函数与一元二次方程的关系知:方程 x2-2px+10=0 的两个根是抛物线 y=x2-2px+10 与 x 轴的两个交 点的横坐标,因为一根大于 1,另一根小于 1,所以抛物线与 x 轴的 两个交点一个在 1 的左边,另一个在的右边,且开口向上,如图可知 当 x=1 时,函数值 y<0,即 12-2p+10<0,故 p>5.5 此解法利用函数图象的直观性,把抽象的数学语言与直观的图形 结合起来,化难为易,充分体现了数形结合解题的有效性。 以上两例是有关函数与不等式、方程的问题,解这类题时要善于将问题中的 数与形结合起来进行思考, 将抽象思维与形象思维融合在一起, 通过 “以形助数” “以数解形”的思想策略,揭示出隐含在其内部的几何背景,使复杂的问题简单 化, 抽象的问题具体、 直观化, 从而有效地找到解题途径, 达到优化解题的目的, 同时也能开阔和发展学生的思维。 五、图形或结论中显现着数式思想 例 5、如图,用 8 块大小相同的长方形地砖拼成一个 矩形地面,那么这块矩形地面的面积 S= (04 年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题) 注意观察图形中隐含的数量关系, 将对应的数与形结合起来, 结果便一目了然。 分析:设长方形的长为 x cm 宽为 y cm ,则有 。
60cm

y
1 O 1

x

y

O

·

1

x

a

x+y=60 x=3y

解得

x=45 y=15
∴ S=60×2×45=5400 可见,应用数形结合思想,许多问题都会变得清晰易解. 例 6、在正三角形 ABC 外接圆的弧 BC 上任取一点 P 求证:①PB+PC=PA; ②PB·PC+AB2=PA2

分析: 此题可利用图形的特殊性和旋转变换特征进行求证, 但过程较为繁琐。 若将图形与数量关系结合起来,在"形"中觅"数",问题便可迎刃而解,且简明扼 要。 设正三角形 ABC 边长为 a,PA=x,PB=y,PC=z, 在△PAB 和△PAC 中利用余弦定理,有:
A

? x 2 ? y 2 ? xy ? a 2 ? 2 2 2 ? x ? z ? xz ? a

? x 2 ? y 2 ? xy ? a 2 ? 0 即: ? 2 2 2 ? x ? z ? xz ? a ? 0
B P C

这说明 y,z 是关于 u 的方程 u2-xu+x2-a2=0 的两个根。 由韦达定理,有:y+z=x,y·z=x2-a2 即:PB+PC=PA,PB·PC+AB2=PA2

此题充分展现数形结合的巧与妙, 让学生在 “山穷水尽疑无路” 时, 看到 “柳 暗花明又一村”的美好景象。在教学中,注意渗透这方面的思想,灵活将两者巧 妙地结合起来用于解决问题,往往会收到事半功倍的效果。 六、数据与图表的关系也映射着数与形的联系; 例 7、某公司有 15 名员工,他们所在部门及相应每人所创的利润如下表所示: 部 人 门 数 A 1 20 B 1 5 C 2 2.5 D 4 2.1 E 2 1.5 F 2 1.5 G 3 1.2

每人所创的年 利润(万元)

根据表中提供的的信息填空: ⑴、该公司每人所创年利润的平均数是 ⑵、该公司每人所创年利润的中位数是 万元。 万元

⑶、 你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润 的一般水平。答 。 ( 答:3.2; 2.1; 中位数。 ) 分析:图表阅读题的解答隐含着数形结合的思想,可以帮助培养设计图纸、

处理报表的能力,具有实际意义。在阅读图表时应注意题中每一个数据的作用, 计算平均数时,要先求总人数为 15(人),在计算中位数时,不能简单地把第二 行数据直接排列选择,而应考虑排到第 8 位的那个数据才是中位数。 图表信息是运用二维表提供数据关系信息, 让学生通过对表中数据信息的分 析、比较、判断和归纳,弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系, 然后综合这些形与数,利用所学知识解决问题。 七、方案设计问题是数形结合能力的综合体现 例 8、 在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料 (如 右图) ,现找出其中一种,测得∠C=900,AC=BC=4,今要从这种三角形 中剪出一种扇形,做成不同形状玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ ABC 的边上,且扇形的弧与△ABC 的其它边相切,请设计出所有可能
C B A

符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(画出图形,并直接写出扇形半径) 。

象 这 类 有 关图案设计的问题,渗透了对学生的审美观念、联想思维的检测,着意培养学生 大胆而严谨的思维,不仅展现了数与形的有序结合所产生的“美”与“妙” ,更 直接地反映出数形思想的结合能引导学生更好地发现与创造, 更能全面地提高学 生的整体综合素质。 我国数学教育家傅仲孙先生有一句名言:几何之务不在知其然,而在知其所 以然,不在知其所以然,而在知其何由以所以然。所谓“何由以所以然”就是要 知道“如何想到这个结果或方法的” ,也就是要引导学生思考“为什么这么想” 及“获取知识、结论、方法的途径及思维过程” ,教给学生有效的数学思想方法, 其实就是提高学生的一种认知能力,使学生的解题思路进入一个理性的广阔天 地, 同时在这个过程中也是考验我们教师的教科研能力,对我们自身也是一种提 高和发展。
r=2
2

r =4

r=2

r=4

2- 4

以上各例从不同侧面展现了数形结合的巧妙、新颖和简洁有效,充分说明了 数与形之间的交替和互助作用。 由此可见在解题过程中,巧妙地将数与形有机地 结合起来,往往能使问题的解答简明、直观和有趣。将数形结合的数学思想方法 渗透到课堂教学及解题训练中, 对培养学生思维的广阔性、层次性及能力的提升 都将是十分有效和有益的。



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