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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.7 定积分的简单应用课后知能检测 新人教A版选修2-2


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.7 定积分的 简单应用课后知能检测 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题 1.(2013·郑州高二检测)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( ) A. C. 10 3 16 3 B.4 D.6 如图阴影部分面积即为所求,求得曲线 y= x 与直线 y=x-2 的交点为

【解析】

A(4,2),

∴面积 S 阴=?4( x-x+2)dx

?0

2 1 2 ? =( x 2 - x +2x)? 3 2 ?0 【答案】 C

3

4

16 = . 3

图 1-7-4 2.(2012·湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图象如图 1-7-4 所示,则它与 x 轴所 围图形的面积为( A. C. 2π 5 3 2 ) B. D. 4 3 π 2

1

【解析】 由图象可知二次函数的表达式为 f(x)=1-x ,∴S=

2

1 2 (1-x )dx=(x-3

? x3)? ?-1

1

1 1 4 =(1-3)-(-1+3)=3.

【答案】 B 3.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到 最高时的高度为( A. C. 160 m 3 40 m 3
2 2

) B. D. 80 m 3 20 m 3
2

【解析】 由 v=40-10t =0, 得物体达到最高时 t=2.高度 h=?2(40-10t )dt=(40t

?0

10 3 ? - t )? 3 ?0

2

160 = (m). 3

【答案】 A 4 . 已 知 力 F 和 物 体 移 动 方 向 相 同 , 而 且 与 物 体 位 置 x 有 如 下 关 系 : F(x) =
? ?|x|,x≤0, ? 2 ?x +1,x>0, ?

那么力 F 使物体从 x=-1 点运动到 x=1 点所做的功为( 13 J 6

)

A.2J C. 11 J 6

B.

D.3J

【答案】 C 5.(2013·郑州高二检测)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( A. 1 12 B. 1 4
2 3

)

2

C.

1 3

D.

7 12

【解析】 由题可知 y=x ,y=x 围成的封闭图形的面积为 1 3 1 4 ? ? (x -x )dx=(3x -4x )? ?0 ?
1 0 2 3 1

2

3

1 1 1 = - = . 3 4 12 【答案】 A 二、填空题 6.由曲线 y= x、直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为________. A. C. 10 3 16 3 B.4 D.6

【解析】 由 y=?

? x, ?y=x-2
4

得其交点坐标为(4,2). 因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所
3
4

2 1 2 ? 围成的图形的面积为? [ x-(x-2)]dx=? ( x-x+2)dx=( x 2 - x +2x)? 3 2 ?0 ? ?
4 0 0

2 = ×8 3

1 16 - ×16+2×4= . 2 3 【答案】 16 3
2

7.作变速直线运动的物体的速度 v(t)=4-t ,初始位置 s(0)=1,则 3 秒时所处的位 置 s(3)为________. 【解析】 由题意可知 s(3)=?3v(t)dt+1

?0

=?3(4-t )dt+1

2

?0

=(4t- )? 3 ?0 =4. 【答案】 4

t3 ?

3

+1

3

8.若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm,则使弹簧伸长 12 cm 时(在弹性限度内),克服弹力 所作的功为________. 【解析】 由题意可知 1=k×0.02,∴k=50,故在弹簧伸长 12 cm 时所做的功为∫0 50ldl=25l ?
2 0.12

? ?0

0.12

=0.36(J).

【答案】 0.36 J 三、解答题 9.(2013·哈尔滨高二检测)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根, 且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 【解】 (1)∵f′(x)=2x+2, ∴可设 f(x)=x +2x+c. 又∵f(x)=0 有两个相等的实根, ∴4-4c=0,c=1, ∴f(x)=x +2x+1. (2)y=f(x)与两坐标轴的交点分别为(-1,0),(0,1),故所求面积为
2 2

f(x)dx=
1 3 ? 2 =( x +x +x)? 3 ?-1
0

(x +2x+1)dx 1 = , 3

2

1 所以所求图形的面积为 . 3 10.在某介质内做变速直线运动的物体,经过时间 t(单位:s)所走过的路程 s=4t (单 位:m),若介质阻力 F 与物体的运动速度 v 成正比,且当 v=10 m/s 时,F=5 N,求物体在 位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功. 【解】 ∵物体经过时间 t 所走过的路程 s=4t , ∴速度 v(t)=s′=8t. 1 设 F=kv(t),由“当 v=10 m/s 时,F=5 N”知 k= , 2 ∴F=4t. ∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所作的功
2 2

W=?44tdt=30(J).

?1

11.有一动点 P,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t ,解下列各小题:
4

2

(1)P 从原点出发,当 t=3 时,求离开原点的路程; (2)求当 t=5 时,P 点的位置; (3)求 t=0 到 t=5 时,点 P 经过的路程; (4)求 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. 2 3 2 2 【解】 (1)因为(4t - t )′=8t-2t , 3 2 3 ? 2 2 所以 s1=?3(8t-2t )dt=(4t - t )? 3 ?0 ?
0 3

=18. 50 = . 3

2 3 ? 2 2 (2)s2=?5(8t-2t )dt=(4t - t )? 3 ?0 ?
0 2

5

(3)当 v(t)=8t-2t ≥0 时,即 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动;t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动,因此, 所求路程应为 s3=?4(8t-2t )dt+?5[-(8t-2t )dt]
2 2

?0

?4

2 3 ? =(4t - t )? 3 ?0
2

4

2 3 2 ? +( t -4t )? 3 ?4
2

5

=26.

(4)依题意?t(8t-2t )dt=0,

?0

2 3 2 即 4t - t =0,得 t1=0 或 t2=6. 3

t1=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况. t2=6 是我们所求的 t 值,此时 v(t)=v(6)=-24.

5


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