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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课件


3.5 三角函数的图象和性质

考纲点击 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函 数的周期性. 2. 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调 性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等), 理解正切函数在区 ? π π? 间?-2,2?内的单调性. ? ?

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的每一个值时, 都有①________________, 那么函数 f(x) 就叫做周期函数.②______叫做这个函数的周期. (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 ③__________,那么这个④__________就叫做 f(x)的最小正周 期. ①f(x+T)=f(x) ②T ③最小正数 ④最小正数

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

π {x|x∈R 且 x≠2+ 定义域 x∈R x∈R kπ,k∈Z} 值域 ⑤__________ ⑥__________ ⑦____________
⑤{y|-1≤y≤1} ⑥{y|-1≤y≤1} ⑦R

⑧__________ ⑩__________ 上递增, k∈Z;上递增, k∈Z; ?__________上递 单调性 增,k∈Z ⑨__________ ?__________ 上递减,k∈Z 上递减,k∈Z
? π ? π ⑧?-2+2kπ,2+2kπ? ? ? ?π ? 3π ⑨?2+2kπ, 2 +2kπ? ? ?

⑩[(2k-1)π,2kπ] ?[2kπ,(2k+1)π] ? π ? π ??-2+kπ,2+kπ? ? ?

x= ?_______ 时,ymax=1(k∈ 最值 Z);x=? __________时, ymin=-1(k∈Z) 奇偶性 ?__________

x=?______ 时,ymax=1(k∈ Z);x=? ______时,ymin =-1(k∈Z) ?__________

无最值

?__________

π π ?2+2kπ ?-2+2kπ ?2kπ ?π+2kπ ?奇函数 ?偶函数 ?奇函数

对称性

21 对称中心:? 对称中心:○ __________ __________ 23 对称轴 l:○ __________ 25 ○______ 24 对称轴 l:○ __________ 26 ○______

22 对称中心:○ __________


27 ○______

周期性

?(kπ,0),k∈Z
?kπ ? 22 ○? 2 ,0?,k∈Z ? ?
24 ○x=kπ,k∈Z

? ? π 21 ○?kπ+2,0?,k∈Z ? ?
23 ○x=kπ+ 25 ○2π

π 2,k∈Z 26 27 ○2π ○π

考点自测 1.设函数
? π? f(x)=sin?2x-2?,x∈R,则 ? ?

f(x)是(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数

? π? 解析:f(x)=sin?2x-2?=-cos2x,f(-x)=f(x), ? ?

∴f(x)为偶函数,排除 A、C, 又 T=π,故选 B. 答案:B

2.函数

π A.{x|x≠4,x∈R} π B.{x|x≠-4,x∈R} π C.{x|x≠kπ+4,k∈Z,x∈R} 3π D.{x|x≠kπ+ 4 ,k∈Z,x∈R} π π 3 解析:∵x-4≠kπ+2,∴x≠kπ+4π,k∈Z. 答案:D

?π ? y=tan?4-x?的定义域是( ? ?

)

3.函数 f(x)=sinx- 3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间 是( ) ? ? 5π 5π? π? A.?-π,- 6 ? B.?- 6 ,-6? ? ? ? ? ? π ? ? π ? C.?-3,0? D.?-6,0? ? ? ? ?

? π? 解析:∵f(x)=2sin?x-3?的增区间为 ? ? ? π 5π? ?2kπ- ,2kπ+ ? (k∈Z),∴当 x∈[-π,0]时增区间为 6 6? ? ? π ? ?- ,0?,故选 D. ? 6 ?

答案:D

4.已知 ( π A.-6 )

?π ? y=tan(2x+φ)的图象过点?12,0?,则 ? ?

φ 可以是 π D.12

π C.-12 ?π ? 解析:∵y=tan(2x+φ)过点?12,0?. ? ? ?π ? π ? +φ?=0,∴ +φ=kπ,k∈Z, ∴tan 6 6 ? ? π π ∴φ=kπ-6.当 k=0 时,φ=-6. 答案:A

π B.6

1 1 5.若集合 M={θ|sinθ≥ 2 ,0≤θ≤π},N={θ|cosθ≤ 2 , 0≤θ≤π},则 M∩N=__________.

解析:首先作出正弦函数与余弦函数的图象,以及直线 y 1 =2.如图

π 5π 结合图象可得集合 M、N 分别为 M={θ|6≤θ≤ 6 }, π π 5π N={θ|3≤θ≤π},由上可得 M∩N={θ|3≤θ≤ 6 }. π 5π 答案:{θ|3≤θ≤ 6 }

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒 有-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,所以 1 叫做 y=sinx,y=cosx 的上确界,-1 叫做 y=sinx,y=cosx 的下确界. 在解含有正余弦函数的问题时,要注意深入挖掘正、余弦 函数的有界性.

2.对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质, 要求对于函数整个定义域范 围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常 数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有 一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期.

(2)从周期函数的定义,对于条件等式“f(x+T)=f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后,函数值不变;从图象的角 度看就是,每相隔距离 T 图象重复出现.因此对于 f(ωx+φ+ T)=f(ωx+φ)(ω>0), 常数 T 不能说是函数 f(ωx+φ)的周期. 因 ? ? ? T? T ?ω?x+ ?+φ?,即自变量由 x 增加到 x+ ,也就 为 f(ωx+φ)=f ω? ω ? ? ? T 是ω才是函数的周期.

题型探究 题型一 与三角函数有关的函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cosx); (2)y= sinx-cosx.

解析:(1)要使函数有意义,必须使 sin(cosx)>0. ∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.

π 方法一:利用余弦函数的简图得知定义域为{x|- 2 +2kπ π <x<2+2kπ,k∈Z}.

方法二:利用单位圆中的余弦线 OM,依题意知 0< OM≤1, ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 ? ? π π ?x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z?. 2 2 ? ?

(2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 方法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、 余弦函数的周期是 2π, ? π ? 5π 所以定义域为?x|4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z?. ? ?

方法二:利用三角函数线,如图 MN 为正弦线,OM 为余 弦线, 要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM, π 5π 则4≤x≤ 4 (在[0,2π]内). ∴定义域为 ? π ? 5π ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. 4 ? 4 ?

方法三:sinx-cosx=

π 将 x-4视为一个整体,由正弦函数 y=sinx 的图象和性质 π 可知 2kπ≤x-4≤π+2kπ, π 5π 解得 2kπ+4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z. ? ? π 5π 所以定义域为?x|2kπ+4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z?. ? ?

? π? 2sin?x-4?≥0, ? ?

点评:①对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍 然是使解析式有意义即可.②求三角函数的定义域常常归结为 解三角不等式(或等式).③求三角函数的定义域经常借助两个 工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利 用数轴.

变式探究 1 求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx); (2)y= 36-x2+lgcosx.

解析:(1)根据对数函数的性质,需真数 2sinx>0, 解得 2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z), 所以函数定义域为{x|2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z}. ?cosx>0, ? (2)使解析式有意义的 x 满足? 解得 2 ? ?36-x ≥0,

?2kπ-π<x<2kπ+π?k∈Z?, ? 2 2 ? ?-6≤x≤6. ?
3π π π 3π 得-6≤x<- 2 或-2<x<2或 2 <x≤6, ? ? 3π? ? π π? ?3π 故函数的定义域为?-6,- 2 ?∪?-2,2?∪? 2 ,6?. ? ? ? ? ? ?

题型二 与三角函数有关的函数的值域 例 2 求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- 3sinx; (3)y=sinx+cosx+sinxcosx.

解析:(1)y=2cos

2

? 1?2 1 x+2cosx=2?cosx+2? -2. ? ?

于是当且仅当 cosx=1 时取得 ymax=4, 1 1 当且仅当 cosx=-2时取得 ymin=-2, ? 1 ? 故函数值域为?-2,4?. ? ?

(2)y=3cosx- 3sinx=2

? π? ∵|cos?x+6?|≤1,∴该函数值域为[-2 ? ?

? 3? ? ?

? ? π? 3 1 ? cosx-2sinx?=2 3cos?x+6?. 2 ? ? ?

3,2 3].

t2-1 (3)令 t=sinx+cosx,则 sinxcosx= 2 ,且|t|≤ 2. 1 2 1 ∴y=2(t -1)+t=2(t+1)2-1, ∴当 t=-1 时,ymin=-1, 1 当 t= 2时,ymax= 2+2. ? ? 1 ∴该函数值域为?-1,2+ 2?. ? ?

点评:求三角函数式的值域时,先观察解析式的结构,针 对不同的结构类型采用不同的方法求其值域. (1)将原函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ) +B 型或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式,利用换元法进 行配方可解决问题. (2)关于 y=acos2x+bcosx+c(或 y=asin2x+bsinx+c, a≠0) 型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间 上的值域问题,切忌不要忽视函数的定义域. (3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性.

变式探究 2 求下列函数的值域: (1)y=4tanxcosx; (2)y=6-4sinx-cos2x; 2sinx+1 (3)y= . sinx-2

解析: (1)y=4tanxcosx=4sinx(cosx≠0). 由于 cosx≠0,所以 sinx≠± 1, ∴函数的值域为(-4,4). (2)y=6-4sinx-cos2x=sin2x-4sinx+5=(sinx-2)2+1. ∵-1≤sinx≤1, ∴函数的值域为[2,10].

2sinx+1 5 (3)方法一:y= =2+ , sinx-2 sinx-2 5 5 由于-1≤sinx≤1,所以-5≤ ≤-3, sinx-2 ? 1? ∴函数的值域为?-3,3?. ? ? 2sinx+1 2y+1 方法二:由 y= ,解得 sinx= , sinx-2 y-2 2y+1 1 ∵-1≤sinx≤1,∴-1≤ ≤1,解得-3≤y≤3, y-2 ? 1? ∴函数的值域为?-3,3?. ? ?

题型三

三角函数的奇偶性与周期性 6cos4x+5sin2x-4 例 3 已知函数 f(x)= . cos2x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小正周期.

π 解析:(1)由 cos2x≠0 得 2x≠kπ+2, kπ π 解得 x≠ 2 +4,k∈Z, kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x≠ 2 +4,k∈Z}. kπ π 当 x≠ 2 +4,k∈Z 时, 6cos4x+5sin2x-4 6cos4x-5cos2x+1 f(x)= = cos2x cos2x ?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1, cos2x 又 f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.

1+cos2x 1 3 (2)∵f(x)=3cos x-1=3× -1=2+2cos2x. 2 2π ∴T= 2 =π,∴f(x)的最小正周期为 π.
2

点评:①判断函数的奇偶性,首先要判断其定义域是否关 于原点对称,之后再作进一步判断.②在求三角函数式的最小 正周期时,要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子,否则 很容易出现错误.

x x x 变式探究 3 已知函数 f(x)=2sin4cos4+ 3cos2. (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; ? π? (2)令 g(x)=f?x+3?,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. ? ?

解析:
? x π? x x (1)∵f(x)=sin2+ 3cos2=2sin?2+3?. ? ? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= 1 =4π. 2 ? x π? 当 sin?2+3?=-1 时,f(x)取得最小值-2; ? ? ? x π? 当 sin?2+3?=1 时,f(x)取得最大值 2. ? ?

? x π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?2+3?, ? ? ? π? 又 g(x)=f?x+3?, ? ? ?1? ? x π? π? π? x ? ?x+ ?+ ?=2sin? + ?=2cos . ∴g(x)=2sin 2 3? 3? 2 ?2 2? ? ? ? x? x ?- ?=2cos =g(x), ∵g(-x)=2cos 2 2 ? ?

∴函数 g(x)是偶函数.

题型四 三角函数的单调性 例 4 求下列函数的单调区间: ? π? (1)y=sin?-2x+3?; ? ? (2)y=|tanx|; 1 (3)y=log2sin2x.

解析:
? π? (1)y=-sin?2x-3?, ? ?

它的增区间是 它的减区间是

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.

? π? y=sin?2x-3?的减区间, ? ? ? π? y=sin?2x-3?的增区间. ? ?

π π 3π 由 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 , 5π 11π 得 kπ+12≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z. ? π 5π? 故所给函数的减区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z;增区间 ? ? ? 5π 11π? 为?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ?

? π? (2)观察图象可知, y=|tanx|的增区间是?kπ,kπ+2?, k∈Z, ? ? ? ? π 减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

1 (3)函数 y=log2u 为减函数,且 u=sin2x>0 的增区间为 ? ? π? π π? ?kπ,kπ+ ?,k∈Z;减区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 4? 4 2? ? ? ? π? 1 ∴函数 y=log2sin2x 的减区间为?kπ,kπ+4?,k∈Z; ? ? ? π π? 增区间为?kπ+4,kπ+2?,k∈Z. ? ?

π π π 点评:(1)中,不能直接由 2kπ-2≤-2x+3≤2kπ+2,k π π 3π ∈Z 解增区间,也不能由 2kπ+2≤-2x+3≤2kπ+ 2 ,k∈Z 解减区间,可以通过取 k=0,± 1,± 等值验证所求的结果是 2 错误的,也可以通过画图象验证.(3)中,许多同学不考虑函数 的定义域,即 sin2x>0 时 x 满足的条件,导致了错解.

变式探究 4 求下列函数的单调区间: 1 ?π 2x? (1)y=2sin?4- 3 ?; ? ? ? π? (2)y=-|sin?x+4?|. ? ?

1 ?π 2x? 1 ?2x π? ? - ?=- sin? - ?. 解析:(1)y=2sin 4 3 2 ? 3 4? ? ? π 2x π π 故由 2kπ-2≤ 3 -4≤2kπ+2, 3π 9π 解得 3kπ- 8 ≤x≤3kπ+ 8 (k∈Z) π 2x π 3π 由 2kπ+2≤ 3 -4≤2kπ+ 2 , 9π 21π 解得 3kπ+ 8 ≤x≤3kπ+ 8 (k∈Z). ? 3π 9π? ∴递减区间为?3kπ- 8 ,3kπ+ 8 ?, ? ? ? 9π 21π? 递增区间为?3kπ+ 8 ,3kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ?

? π? (2)画出函数图象,由图象可知 y=-|sin?x+4?|的图象的减 ? ? ? ? π π? π 3π? 区间为?kπ-4,kπ+4?,增区间为?kπ+4,kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? ? ?

归纳总结 ?方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1),求 三角函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正 负号).

?失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分 析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y =Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区 间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定 义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同: ? ?π ? π? (1)y=sin?2x-4?;(2)y=sin?4-2x?. ? ? ? ?

3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, 如: y=sin2x-4sinx+5, t=sinx(|t|≤1), y=(t-2)2+1≥1, 令 则 解法错误.

新题速递 1.(2012· 湖北卷)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的 个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

解析:因为 f(x)=xcos 2x=0,所以 x=0 或 cos 2x=0.而在 π 3π 5π 7π 区间[0,2π]上,使得 cos 2x=0 成立的 x 值有4, 4 , 4 , 4 , 所以零点的个数为 5. 答案:D

2.(2012· 山东卷)函数

?πx π? y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与 ? ?

最小值之和为( ) A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3
π πx π 7π 解析:因为 0≤x≤9,所以-3≤ 6 -3≤ 6 ,结合函数图 ?πx π? 3 象易知- 2 ≤sin? 6 -3?≤1,即- 3≤y≤2,所以最大值与最 ? ? 小值之和为 2- 3. 答案:A

?sinx-cosx?sin2x 3.(2012· 北京卷)已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间.

解析: (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sinx-cosx?sin2x 因为 f(x)= =2cosx(sinx-cosx)=sin2x- sinx ? π? cos2x-1= 2sin?2x-4?-1. ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

(2)函数 y=sinx 的单调递减区间为 ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ? π π 3π 由 2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,x≠kπ(k∈Z), 3π 7π 得 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 ,(k∈Z), 所以 f(x)的单调递减区间为 ? 3π 7π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ?



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