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2012-2013概率统计B解答


院、系领导 审批并签名

B 卷

广 州 大 学 2012-2013 学 年 第 二 学 期 考 试 卷
概率论与数理统计参考解答
题 次 分 数 得 分 一 15 二 15 三 14 四 10 五 12 六 12 七 10 八 12 总 分 评卷人 100

一、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本 大题共 5 个小题,每小题 3 分,总计 15 分) 1.设 A, B 为两个随机事件,若 P( AB) ? 0 ,则(? C ) (A) A 和 B 两事件互不相容(互斥) (C) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (B) AB 是不可能事件 (D) P( A) ? 0 或 P( B) ? 0

2.若事件 A 与 B 独立,且 P( A), P( B) ? 0 ,则下列描述中(C )正确. A. A 与 B 互斥; C. P( AB) ? 0 ; B. A , B 的相关系数为 1; D. P( A) ? P( B) ? 1 .

3.对于任意两个随机变量 ? 和 ? ,若 E(?? ) ? E? ? E? ,则( B ) 。 (A) D(?? ) ? D? ? D? (B) D(? ? ?) ? D? ? D? (C) ? 和 ? 独立 (D) ? 和 ? 不独立 4.设 X ~ N ?? , ? 2 ? , Y ? aX ? b ,其中 a 、 b 为常数,且 a ? 0 , 则Y ~ ( D )

? A? N ?a? ? b, ?C ? N ?a? ? b,

a 2? 2 ? b 2 ; a 2? 2 ;

?

?

?B ? N ?a? ? b, ?D? N ?a? ? b,

a 2? 2 ? b 2 ; a 2? 2 .

?

?

5 . 设 X1 , X 2 是 随 机 变 量 , 其 分 布 函 数 分 别 为 F1 ( x), F2 ( x) , 为 使 F ( x) ? aF1 ( x) ? bF2 ( x) 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值 中应取 ( C)

第 1 页 共 6 页《概率论与数理统计》

3 2 (A) a ? , b ? ? . 5 5 1 3 (C) a ? ? , b ? . 2 2

2 2 (B) a ? , b ? . 3 3 1 3 (D) a ? , b ? . 2 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,总计 15 分) 1.每次试验中 A 出现的概率为 p , 在三次试验中 A 出现至少一次的概率是 则 p ? ___2/3____. 2.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从概率 p ? 0.6 的 0-1 分布,则 P?X ? Y ? =_0.52__。 3.随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P{ X ? E ( X )} ? 1/e 4.设 P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.6 , P( B | A) ? 0.8 ,则 A, B 至少发生一个的概率 为___0.9____. 5.若 X ~ b(n , p) ,且 E ( X ) ? 1, D ( X ) ?
26 , 27

.

3 ,则 P{ X ? 3} ? 4

13 256

.

三、 (每小题 7 分,共 14 分) (1)一个袋子中装有 a ? b 个球,其中 a 个黑球, b 个白球,随意的每次从中取出一 个球(不放回) ,求下列各事件的概率: (A)第 i 次取到的是黑球; (B)第 i 次才取到黑球; 解 记 (A),(B)中的事件分别为 A, B. 因为所考虑的事件涉及到取球的次序, 基 本事件也应考察顺序, (a ? b) 次取球的总取法为 (a ? b)!, 。………2 分 (1) 第 i 次取到的黑球可以是 a 个黑球中任意一个, 其中一个后, 各次取球

必 在 a ? b ? 1 个 球 中 任 意 选 取 , 共 有 (a ? b ? 1)! 种 选 法 , A 中 包 含 的 取 法 有
a ? [(a ? b ? 1)!] 种,

故 P( A) ?

a[( a ? b ? 1)!] a ? . ………5 分 (a ? b)! a?b

(2) 第 i 次才取到的黑球可以是 a 个黑球中的任意一个, 第 1 到第 i ? 1 是在 b 个

第 2 页 共 6 页《概率论与数理统计》

白球中任选 i ? 1 个(共有 Pbi ?1 种取法), 其它各次在剩下的 a ? b ? i 个球中任意选取 (共有 (a ? b ? i)!), 于是 B 所含的总取法为 a ? Pbi ?1 ? [( a ? b ? 1)!] , 故
a ? Pbi ?1 ? [( a ? b ? i )!] a ? Pbi ?1 ? . ………7 分 P( B) ? (a ? b)! Pai? b

(2) 设有 n 个小球 ,每个都等可能地落入 N 个格子中 ? n ? N ? ,求下列事件的概率 :

A ? ?某指定的 n 个格子中各有一球 ? ; B ? ?任意的 n 个格子中各有一球 ?
解答: n 个球都等可能地落入到 N 个格子中 ,应有N n 种可能的方法 ………2 分 事件 A 所含的基本事件数为n! n 事件 B 所含的基本事件数为CN n ! ………5 分 故: P ? A? ?
n CN n! n! , P B ? ………7 分 ? ? n N Nn

四、 (本题满分为 10 分) 某单位号召职工每户集资 3.5 万元建住宅楼,当天报名的占 60%,其余 40%中,第 二天上午报名的占 75%,而另外 25%在第二天下午报了名,情况表明,当天报名的 人能交款的概率为 0.8,而在第二天上、下午报名的人能交款的概率分别为 0.6 与 0.4,试求报了名的人能交款的概率。 解答.设 A 为报名后能交款 , B1 为当天报名的人, B2 为第二天上午报名的人 , B3 为 第二天下午报名的人, 由全概率公式
P( A) ? ? P( Bi ) P( A | Bi )
i ?1 3

……… 2 分 ……… 5 分

=0.6 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.6+0.4 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.7

……… 8 分 ……… 9 分 ……… 10 分

即报名的人能交款的概率为 70%. 五、 (本题满分为 12 分)

有 4 个外观完全相同的盒子, 其中 2 个装有气球. 随机打开一个盒子, 若没有气球 则从其余的盒子中随机选择一个打开, 如此继续, 直到发现气球为止.

第 3 页 共 6 页《概率论与数理统计》

(1) 求打开第 3 个盒子才找到气球的概率. (2) 以 X 表示找到气球时打开的盒子数, 写出 X 的分布律. (3) 计算 X 的数学期望和方差. 解: (1) 设 A1, A2 分别表示第 1 次和第 2 次打开空盒子. 所求概率为 ???????????? 4 分

1 1 1 P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) ? ? ? 2 3 6 (2) X 的分布律为 1 2 3 X 1 1 1 概 率 2 3 6
(3) E(X) =1? 1?2+2? 1?3+3? 1?6 =5?3 分 E(X2) =12? 1?2+22? 1?3+32? 1?6 =10?3 D(X) =E(X2) ? E(X) 2 =10?3 ?(5?3) 2=5?9 六、 (本题满分为 12 分) 设随机变量 X 的概率密度为

??????????? 8 分 ?????????????? 10

?????????????? 12 分

? ax ? 1, 0 ? x ? 2, f ( x) ? ? 其它. ? 0 , 求(1)常数 a ; (2) X 的分布函数 F ( x) ; (3) P(1 ? X ? 3). ?? 2 a 2 解: (1) 1 ? ? f ( x)dx ? ? (ax ? 1)dx ? ( x 2 ? x)0 ? 2a ? 2 ?? 0 2 1 ∴ a ? ? ………3 分 2 (2) X 的分布函数为 x ? 0, ?0 , ? x u ? x F ( x ) ? ? f (u )du ? ? ? (1 ? )du , 0 ? x ? 2, ?? 0 2 ? x ? 2. ? ?1 , x ? 0, ?0 , ? x2 ? ? ?x ? , 0 ? x ? 2, ………7 分 4 ? x ? 2. ? ?1 , 3 2 x 1 (3) P(1 ? x ? 3) ? ? f ( x)dx ? ? (1 ? )dx ? .………10 分 1 1 2 4
第 4 页 共 6 页《概率论与数理统计》

七、 (本题满分为 10 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 下表列出了二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布律及关 于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y X
x1

y1

y2

y3

P{X ? xi } ? Pi

1/8 1/8 1/6 1

x2
P{ y ? y j } ? p j

解 由于 P{X ? x1 , Y ? y1} ? P{Y ? y1} ? P{X ? x2 , Y ? y1} ? 1/ 6 ? 1/ 8 ? 1/ 24, 考虑到 X 与 Y 相互独立, 有 P{X ? x1}P{Y ? y1} ? P{X ? x1 , Y ? y1}, 所以 P{ X ? x1} ?
1 / 24 1 ? . 1/ 6 4

-----4 分

同理, 可以导出其它数值, 最后将所求数值填入表中. Y y3 P{X ? xi } ? Pi y2 y1 X x1 1/24 1/8 1/12 1/4
x2
P{ y ? y j } ? p j

1/8

3/8

1/4

3/4 1

1/6 1/2 1/3 -----10 分

八、 (本题满分为 12 分) 一零件由 10 部件连接而成,每部件的长度是一个随机变量,它们相互独立,服从 同一分布,其数学期望为 2mm, 均方差为 0.05mm, 规定零件的长度为(20±0.1)mm 时产品合格,试求产品合格的概率. 附表
? ( x) ? 1 2?

?

x ??

e

?

t2 2

dt

x
? ( x)

0.37 0.6443

0.52 0.6985

0.63 0.7357

0.87 0.8078

2.5 0.9938

3 0.9987

解答:

第 5 页 共 6 页《概率论与数理统计》

设各部分长度为 Xi(i=1,2,? ,10), 则总长度为 Z ? ? X i ,且
i ?1

10

由题意知,E(Xi)=2,D(Xi)=(0.05)2, ------2 分 由题意和棣莫佛—拉普拉斯定理,有,
Y? Z ? 10 ? 2 Z ? 20 近似服从 N (0,1) .------6 分 ? 10 ? 0.0025 0.025

因而产品合格的概率为 P{20-0.1≤Z≤20+0.1} =P{-0.10/ 0.025 ≤Y≤0.10/ 0.025 } ≈Φ (0.63)-Φ (-0.63) -----10 分 =2Φ (0.63)-1=2×0.7357-1=0.4714. -----12 分

第 6 页 共 6 页《概率论与数理统计》


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