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1.2.1充分条件与必要条件

选修 2—1

1.2.1

充分条件与必要条件(教案)

【教学目标】 1.理解充分条件、必要条件的概念; 2.结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法; 【教学重点】 充分条件与必要条件. 【教学难点】 对必要条件的理解.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 9 页~第 10 页) 1. 一般地,如果 “若 p ,则 q ” 为真, 即如果 p 成立, 那么 q 一定成立,记作: p ? q ” “ ; 如果“若 p ,则 q ”为假, 即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,记作:“ p ? q ”. ? 2.一般地,如果 p ? q ,那么称 p 是 q 的 充分条件 ;同时称 q 是 p 的 必要条件 . 3.对充分条件与必要条件的理解: (1)通俗的理解: 充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证 的. “有之必成立,无之未必不成立” . 必要性:必要就是必须有,必不可少, “有之未必成立,无之必不成立” . (2)从推理的角度理解: 如: p :两个三角形全等 ? q :这两个三角形的对应角相等,即 p ? q . p 就叫做 q 的 充分 条件, q 就叫做 p 的 必要 条件. (3)从集合的角度理解: 设 A, B 为两个集合, 集合 A ? B 是指 x ? A ? x ? B . 这就是说, x ? A ” “ x ? B ” “ 是 的 充分 条件, x ? B ”是“ x ? A ”的 必要 条件. “ 【基础练习】 1.用符号" ? "与" ":

2 2 2 2 (1) x ? y ? x ? y ; (2) x ? y

x ? y;

(3) x ? 1 ? x 2 ? 1 ;

(4) x ? 1
2

x ?1;

(5)内错角相等 ? 两直线平行; (6)整数 a 能被 6 整除 ? a 的个位数字为偶数; (7) ac ? bc

a ? b;

(8) a ? b ? ac ? bc .

1

2.下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5, 则x ? 10 . 解:命题(1)是真命题,命题(2)是假命题,所以,命题(1)中的 p 是 q 的充 分条件. 3.下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2) 若( x ? a)(x ? b) ? 0, 则x ? a . 解:命题(1)是真命题,命题(2)是假命题,所以,命题(1)中的 q 是 p 的必 要条件. 【典型例题】 例 1 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1) 若x ? 1, 则x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ; (2) 若f ( x) ? x, 则f ( x)在(??,??) 上为增函数;

x (3) 若x为无理数,则 为无理数.
2

【审题要津】判断各命题的真假即可,真命题中的 p 就是 q 的充分条件. 解:命题(1) (2)是真命题,命题(3)是假命题,所以,命题(1) (2)中的 p 是 q 的充分条件. 【方法总结】如果"若 p 则 q "为假命题,那么 p 就不是 q 的充分条件, q 也不是 p 的必要条件. 变式练习 1: 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 1 ,则 ?3 x ? ?3 ; (2)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ; (3)若 f ( x) ? ?

x ,则 f ( x) 为减函数; 3

解:命题(1) (2) (3)都是真命题,所以,命题(1) (2) (3)中的 p 是 q 的 充分条件. 例 2 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1) 若x ? y, 则x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a ? b, 则ac ? bc . 【审题要津】各命题的真假即可,真命题中的 q 就是 p 的必要条件. 解:命题(1) (2)是真命题,命题(3)是假命题,所以,命题(1) (2)中的 q 是 p 的必要条件. 变式练习 2: 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1)若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ; (2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等;
2

(3) 若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 . 解:命题(1)是真命题,命题(2) (3)是假命题,所以,命题(1)中的 q 是 p 的必要条件. 例 3 已知条件 p:m ? ?3;q:x 2 ? x ? m ? 0 无实根,指出 p 是 q 的什么条件? 【审题要津】要判断 p 是 q 的什么条件就要判断命题"若 p 则 q "是否是真命题,即
2 判断当 m ? ?3 时,方程 x ? x ? m ? 0 无实根是否正确. 2 解:当 m ? ?3 时, ? ? 1 ? 4m ? 0 ,所有方程 x ? x ? m ? 0 无实根.

即 p ? q 成立. 所有, p 是 q 的充分条件. 变式练习 3: 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什么条件? (1) p :三角形的三条边相等; q :三角形的三个角相等; (2) p:x ? 1或x ? 2;q:x 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 答: (1)p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件; (2)p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件.

1.判断下列命题的真假: (1) " a ? b"是" a ? b "的充分条件;
2 2

(2) a ? b”是a ? b 的必要条件; “
2 2

(3) x 是 6 的倍数”是“ x 是 2 的倍数”的充分条件; “ (4) x ? 5 ”是“ x ? 3 ”的必要条件; “ (5) x ? 2是x ? 4 x ? 4 ? 0 的必要条件;
2

(6)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (7) sin ? ? sin ?是? ? ? 的充分条件; (8) ab ? 0是a ? 0 的充分条件. 答: (1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (6)真命题 (7)假命题 (8)真命题 2. a ? 0, b ? 0 的一个必要条件是( ( A )a ? b ? 0 (4)真命题 (5)真命题

A

) . (C )

(B )a ?b ? 0

a ?1 b

(D )

a ? ?1 b

3

3.直线 l1 ∥ l 2 的一个充分条件是(

D

) .

( A)l1 ∥平面 ? , l 2 ∥平面 ? (C )l1 平行于 l 2 所在的平面

( B)l1 , l 2 与平面 ? 所成的角相等 ( D)l1 ⊥平面 ? , l 2 ⊥平面 ?

4.已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件,则 s 是 q 的 充分 条件, r 是 q 的 充分 条件, p 是 s 的 必要 条件. 5.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则对于下列条件: ① ? ? ? ,? ? ? ? l, m ? l ; ③? ? ? , ? ? ? , m ? ? ; 其中为 m ? ? 的充分条件的是 ② ② ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? ; ④ n ? ?, n ? ?, m ? ? . ④ . (将你认为正确的所有序号都填上)

6.下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p:x ? 1 q:x ? 1 ? ,

x ?1 ;

(2) p: ? 2 ? 3,q: 1 ? x ? 5 ; x ? (3) p:x ? 2,q:x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p: 三角形是等边三角形, q: 三角形是等腰三角形. 解: (1) p 是 q 的充分条件; (2) p 是 q 的充分条件; (3) p 是 q 的不充分也不必 要条件; (4) p 是 q 的充分条件;

1.已知 A ? x | x满足条件p , B ? x | x满足条件q . (1)如果 A ? B ,那么 p是q 的 (2)如果 B ? A ,那么 p是q 的 充分 条件; 必要 条件;

?

?

?

?

2.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中 p 是 q 的充分条件?哪些命题中 p 是 q 的必要条件? (1) 若x ? 5, 则x ? 5 ; (2)若△ ABC 中, a cos B ? b cos A ,则△ ABC 为等腰三角形. 解:命题(1) (2)中 p 是 q 的充分条件; (2)中 p 是 q 的必要条件.

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1.2.1

充分条件与必要条件(学案)

【知识要点】 1.充分条件; 2.必要条件. 【学习要求】 1.理解充分条件、必要条件的概念; 2.结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法;

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 9 页~第 10 页) 1. 一般地,如果 “若 p ,则 q ” 为真, 即如果 p 成立, 那么 q 一定成立,记作: p ? q ” “ ; 如果“若 p ,则 q ”为假, 即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,记作:“ p ? q ”. ? 2.一般地,如果 p ? q ,那么称 p 是 q 的 ;同时称 q 是 p 的 . 3.对充分条件与必要条件的理解: (1)通俗的理解: 充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证 的. “有之必成立,无之未必不成立” . 必要性:必要就是必须有,必不可少, “有之未必成立,无之必不成立” . (2)从推理的角度理解: 如: p :两个三角形全等 ? q :这两个三角形的对应角相等,即 p ? q . p 就叫做 q 的 条件, q 就叫做 p 的 条件. (3)从集合的角度理解: 设 A, B 为两个集合, 集合 A ? B 是指 x ? A ? x ? B . 这就是说, x ? A ” “ x ? B ” “ 是 的 条件, x ? B ”是“ x ? A ”的 “ 【基础练习】 1.用符号" ? "与" (1) x ? y (3) x ? 1 ": (2) x ? y
2 2

条件.

x2 ? y 2 ;
x2 ? 1 ;

x ? y;

(4) x ? 1
2

x ?1;

(5)内错角相等 两直线平行; (6)整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为偶数; a ? b; (7) ac ? bc (8) a ? b

ac ? bc .

2.下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件?

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(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5, 则x ? 10 .

3.下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2) 若( x ? a)(x ? b) ? 0, 则x ? a .

【典型例题】 例 1 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1) 若x ? 1, 则x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ; (2) 若f ( x) ? x, 则f ( x)在(??,??) 上为增函数;

x (3) 若x为无理数,则 为无理数.
2

变式练习 1: 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x ? 1 ,则 ?3 x ? ?3 ; (2)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ; (3)若 f ( x) ? ?

x ,则 f ( x) 为减函数; 3

例 2 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1) 若x ? y, 则x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a ? b, 则ac ? bc .

变式练习 2: 下列"若 p 则 q "形式的命题中,哪些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1)若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ; (2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等; (3) 若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 .

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例 3 已知条件 p:m ? ?3;q:x 2 ? x ? m ? 0 无实根,指出 p 是 q 的什么条件?

变式练习 3: 指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什么条件? (1) p :三角形的三条边相等; q :三角形的三个角相等; (2) p:x ? 1或x ? 2;q:x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ;

1.判断下列命题的真假: (1) " a ? b"是" a ? b "的充分条件;
2 2

(2) a ? b”是a ? b 的必要条件; “
2 2

(3) x 是 6 的倍数”是“ x 是 2 的倍数”的充分条件; “ (4) x ? 5 ”是“ x ? 3 ”的必要条件; “ (5) x ? 2是x ? 4 x ? 4 ? 0 的必要条件;
2

(6)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件; (7) sin ? ? sin ?是? ? ? 的充分条件; (8) ab ? 0是a ? 0 的充分条件. 2. a ? 0, b ? 0 的一个必要条件是( ( A )a ? b ? 0 (B )a ?b ? 0 ) . ) . (C )

a ?1 b

(D )

a ? ?1 b

3.直线 l1 ∥ l 2 的一个充分条件是(

( A)l1 ∥平面 ? , l 2 ∥平面 ? (C )l1 平行于 l 2 所在的平面

( B)l1 , l 2 与平面 ? 所成的角相等 ( D)l1 ⊥平面 ? , l 2 ⊥平面 ?

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4.已知 p, q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件,则 s 是 q 的 条件, p 是 s 的 条件. 5.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则对于下列条件: ① ? ? ? ,? ? ? ? l, m ? l ; ③? ? ? , ? ? ? , m ? ? ; 其中为 m ? ? 的充分条件的是 6.下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p:x ? 1 q:x ? 1 ? , ② ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? ; ④ n ? ?, n ? ?, m ? ? .

条件, r 是 q 的

. (将你认为正确的所有序号都填上)

x ?1 ;

(2) p: ? 2 ? 3,q: 1 ? x ? 5 ; x ? (3) p:x ? 2,q:x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p: 三角形是等边三角形, q: 三角形是等腰三角形.

1.已知 A ? x | x满足条件p , B ? x | x满足条件q . (1)如果 A ? B ,那么 p是q 的 (2)如果 B ? A ,那么 p是q 的 条件; 条件;

?

?

?

?

2.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中 p 是 q 的充分条件?哪些命题中 p 是 q 的必要条件? (1) 若x ? 5, 则x ? 5 ; (2)若△ ABC 中, a cos B ? b cos A ,则△ ABC 为等腰三角形.

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