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高中数学 导数与定积分基础训练题 新人教A选修2-2


导数与定积分基础练习
一、选择题 π 1.设正弦函数 y=sinx 在 x=0 和 x= 附近的瞬时变化率为 k1,k2,则 k1,k2 的大小关系为 2 A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不确定 2.下列求导数运算正确的是 1 1 1 x x 2 A.(x+ )′=1+ 2 B.(log2x)′= C.(3 )′=3 log3e D.(x cosx)′=-2xsinx x x xln2 3.已知函数 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为 A.1-cos1 B.1+cos1 C.cos1-1 D.-1-cos1 4.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则
2

A. a ? 1, b ? 1

B. a ? ?1, b ? 1

C. a ? 1, b ? ?1

D. a ? ?1, b ? ?1

1 3 3 2 5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t - t +2t,那么速度为零的时刻是 3 2 A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

7.已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象大致形状是 B

8.若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 ...

y

y

y

y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x
D

o

a

b x

A B C 9.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在 (a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b) 内有极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

1

10. 设函数 f ( x) ? g ( x)? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1,g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点
2

处切线的斜率为 (1, f (1)) A. 4 B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2
) π D.(1,e ) 2

1 x π 11.函数 f(x)= e (sinx+cosx)在区间[0, ]上的值域为( 2 2 1 1 π 1 1 π π A.[ , e ] B.( , e ) C.[1,e ] 2 2 2 2 2 2 2 12.
x ?x ?1 )dx ? ( 0 (e ? e



A. B. 2e D. 13.给出下列三个类比结论. n n n n n n n ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sinα sinβ ; 2 2 2 2 2 2 2 ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 14.下列几种推理 过程是演绎推理的是( ) A .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班人数均超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 二、填空题 2 15.f(x)=x(x-c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________. 2 16.若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 17.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1)=________. 2 18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn} 的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 三、解答题 19.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

e?

1 e

2 C. e

e?

1 e

T16 成等比数列. T12

b x

20.已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 4
2

3

21.设函数 f(x)=lnx-2ax. 2 2 (1)若函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线为直线 l,且直线 l 与圆(x+1) +y =1 相切,求 a 的值; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调区间.

3 2 3 22.已知函数 f(x)=x - ax +b(a,b 为实数,且 a>1)在区间[-1,1]上的最大值为 1,最小值为-2. 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围.

23.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax. (1)当 x=0 时,函数 f(x)取得极大值,求实数 a 的值; (2)若存在 x∈[1,2],使不等式 f′(x)≥2x 成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,求实数 a 的取值范围; (3) 求函数 f(x)的单调区间.

24.已知函数 (1)讨论

,a>0, 的单调性; (2)设 a=3,求 在区间[1, ]上值域。

3

25. 设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根,且 f ?( x) ? 2 x ? 2 。 (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)求 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积; (3)若直线 x ? ?t ( 0 ? t ? 1把 y ? f ( x) )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值。

26.等差数列{an}中,公差为 d,前 n 项的和为 Sn,有如下性质: * (1)通项 an=am+(n-m)d; (2)若 m+n=p+q,m、n、p、q∈N ,则 am+an=ap+aq; (3)若 m+n=2p,则 am+an=2ap; (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等差数列. 请类比出等比数列的有关四条性质.

导数与定积分基础练习 答案 A B B A D 15. c=6 19. ?
?a=1, ? ?b=3. ?

D B A A A 16. (-∞,0) 3

A D B A 17. 3 18 :

T8 T12 T4 T8

f(x)=x- ;定值为 6 x

20. y=13x-32;直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26);(1,-14),(-1,-18) y=4x-18 或 y=4x-14. 1 1 21. a= ;x∈(0, )时,f(x)=lnx-2ax 是增函数; 2 2a 1 在 x∈( ,+∞)时,f(x)=lnx-2ax 是减函数. 2a 3 2 22. f(x)=x -2x +1, m≥20.
4

3 1 23. a=-1;a≥ ;当 a≥0 时,函数 f(x)递增区间是(-1,+∞);当 a<0 时,函数 f(x)递增区间是(-1,- - 2 a 1 1),递减区间是(- -1,+∞).

a

24. 综 上 ① 当 0 ? a ? 2 2 时 ,

f ( x) 在 (??, 0)及(0, ??) 上 都 是 增 函 数 . ② 当 a ? 2 2 时 , f ( x) 在

(

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上 是 减 函 数 , 在 (??, 0)(0, )及( , ??) 上 都 是 增 函 数 . 又 2 2 2 2
2 2 ? ? 1, e 2 ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e2 ? 2 ? 5? ? 5 ? 0 ?函数 f ( x) 在 ? 2 ? ? e e ? ?

f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e2 ) ? e2 ?
25. f(x)=x +2x+1,
2

s=

1 , t= 3 1 2 3

26. 解:等比数列{an}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则可以推出以下性质: n-m (1)an=amq ; * (2)若 m+n=p+q,m、n、p、q∈N ,则 am·an=ap·aq; 2 (3)若 m+n=2p,则 am·an=ap ; (4)当 q≠-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等比数列

5


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