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高中数学 第三章 三角恒等变形 3.1 同角三角函数的基本关系学案 北师大版必修4

§1

同角三角函数的基本关系

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin α +cos α =1,

2

2

sin α =tan α .(重点) cos α

2.会利用这两个公式求三角函数式的值,化简三角函数式或证明三角恒等式.(难点)

[基础·初探] 教材整理 同角三角函数的基本关系 阅读教材 P113~P116 练习 2 以上部分,完成下列问题. 1.关系式 (1)平方关系:sin α +cos α =__1__; sin α cos α (2)商数关系: =tanα , =cotα . cos α sin α 2.文字叙述 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切. 3.变形形式 (1)1=sin α +cos α ; (2)sin α =1-cos α ;cos α =1-sin α ; (3)sin α =± 1-cos α ;cos α =±
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1-sin α ;

2

(4)sin α =cos α tan α ; (5)(sin α ±cos α ) =1±2sinα cosα .
2

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立,则 sin α +cos β =1 也成立.( α sin 2 α (2)对任意角 α , =tan .( α 2 cos 2
2 2

)

)

(3)利用平方关系求 sin α 或 cos α 时,会得到正负两个值.( (4)当 α ≠

)


2

(k∈Z)时,tan α ·cot α =1.(

)

【解析】 (1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1,所以错误. (2)当 α =π 时,cos α =0,分母为 0 无意义,所以错误. 2

(3)求 sin α 或 cos α 时,应结合角的象限,判断是正或是负,因而错. (4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型] 利用同角三角函数的基本 关系求值 4 (1)若 sin α =- ,且 α 是第三象限角,求 cos α ,tan α 的值; 5 2sin α -2cos α (2)已知 tan α =2,求 的值. 4sin α -9cos α 【精彩点拨】 第(1)题应先利用平方关系求余弦,再由商数关系求正切; 第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式,再求值. 4 【自主解答】 (1)∵sin α =- ,α 是第三象限角, 5 ∴cos α =- 1-sin α =-
2

3 ? 4?2 1-?- ? =- , 5 ? 5?

sin α 4 ? 5? 4 tan α = =- ×?- ?= . cos α 5 ? 3? 3 (2)法一:∵tan α =2, ∴ 2sin α -2cos α 2tan α -2 2×2-2 = = =-2. 4sin α -9cos α 4tan α -9 4×2-9

法二:∵tan α =2,∴sin α =2cos α , ∴ 2sin α -2cos α 4cos α -2cos α = =-2. 4sin α -9cos α 8cos α -9cos α

同角三角函数的基本关系, 揭示了同一角三角函数间的关系, 其最基本的应用是“知一 求二”,求解时要注意根据角所在的象限,判断是一解或两解.

[再练一题] 1.已知 tan α =2,试求: (1)sin α 的值; sin α -cos α (2) 和 sin α cos α 的值. sin α +cos α sinα 【解】 因为 tan α =2,所以 =2,即 sin α =2cos α . cos α 又 sin α +cos α =1, 所以 sin α +?
2 2 2

?sin α ?2=5sin2α =1, ? ? 2 ? 4

2 5 所以 sin α =± ,又 tan α =2, 5 所以 α 为第一或第三象限的角,当 α 为第一象限角时, 2 5 2 5 sin α = .当 α 为第三象限角时,sin α =- . 5 5 sin α -cos α 2cos α -cos α 1 (2) = = , sin α +cos α 2cos α +cos α 3 sin α cos α 2 cos α sin α ·cos α tan α 2 sin α cos α = = = = . 2 2 2 2 2 sin α +cos α sin α cos α tan α +1 5 + 2 2 cos α cos α 利用 sin α ±cos α ,sin α ·cos α 之间的关系求 值 已知 sin θ ,cos θ 是方程 x -( 3-1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; sin θ cos θ (2)求 + 的值. 1-cot θ 1-tan θ 【精彩点拨】 本题主要考查韦达定理,同角三角函数的关系,由韦达定理得两根之和
2

与两根之积的关系,通过恒等变形可得 m 的值. 【自主解答】 (1)∵sin θ ,cos θ 是方程 x -( 3-1)x+m=0 的两根,
2

?sin θ +cos θ = 3-1, ∴?sin θ ·cos θ =m, ② ?Δ = 3- -4m≥0,
2





由①得 1+2sin θ cos θ =4-2 3,将②代入,得 3 1+2m=4-2 3,∴m= - 3. 2 由③得 m≤1- 3 ∴m= - 3. 2 (2) 原 式 = sin θ cos θ sin θ cos θ + = + cos θ sin θ sin θ -cos θ cos θ -sin θ 1- 1- sin θ cos θ
2 2

3 , 2



sin θ -cos θ =sin θ +cos θ = 3-1. sin θ -cos θ

2

2

1.已知角 α 的某一个三角函数值,求其他三角函数式的值时,一般先利用公式将其化 简,再利用同角三角函数的基本关系求解. 2.sin α +cos α ,sin α -cos α ,sin α cos α 三个式子中,已知其中一个,可 以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,利用此关系求 sin α +cos α 或 sin α -cos α 的值时,要注意判断它们的符号.
2

[再练一题] 1 2.已知 0<θ <π ,且 sin θ +cos θ = ,求 sin θ -cos θ 的值,及 tan θ 的值. 5 【导学号:66470063】 1 【解】 ∵sin θ +cos θ = ,① 5 1 2 ∴(sin θ +cos θ ) = , 25 12 解得 sin θ cos θ =- . 25 ∵0<θ <π ,且 sin θ cos θ <0,

∴sin θ >0,cos θ <0, ∴sin θ -cos θ >0. 49 2 又∵(sin θ -cos θ ) =1-2sin θ cos θ = , 25 7 ∴sin θ -cos θ = .② 5 4 3 由①②得 sin θ = ,cos θ =- , 5 5 sin θ 4 ∴tan θ = =- . cos θ 3 [探究共研型] 利用同角三角函数关系化 简、证明 探究 1 怎样理解同角三角函数关系中“同角”的含义? 【提示】 “同角”有两层含义,一是“角相同”,二是“任意”一个角. 探究 2 平方关系对任意 α ∈R 均成立,对吗?商数关系呢? π 【提示】 平方关系中对任意 α ∈R 均成立,而商数关系中 α ≠kπ + (k∈Z). 2 探究 3 证明三角恒等式常用哪些技巧? 【提示】 切化弦,整体代换,“1”的代换. 探究 4 证明三角恒等式应遵循什么样的原则? 【提示】 由繁到简. (1)化简 tan α · 1 -1,其中 α 是第二象限角; 2 sin α

1+2sin α cos α tan α +1 (2)求证: = . 2 2 sin α -cos α tan α -1 【精彩点拨】 (1)先确定 sin α ,cos α 的符号,结合平方关系和商数关系化简. sin α (2)逆用平方关系结合 tan α = 化简. cos α 【自主解答】 (1)因为 α 是第二象限角, 所以 sin α >0,cos α <0. 故 tan α · =tan α 1 -1=tan α · 2 sin α cos α 2 sin α
2

1-sin α 2 sin α

2



sin α cos α sin α -cos α ·| |= · =-1. cos α sin α cos α sin α
2 2

sin α +cos α +2sin α cos α (2)证明:左边= 2 2 sin α -cos α = = α +cos α 2 2 sin α -cos α
2

sin α +cos α tan α +1 = =右边. sin α -cos α tan α -1

所以原式成立.

1.化简三角函数式的一般要求: (1)函数种类最少; (2)项数最少; (3)函数次数最低. 2.证明三角恒等式常用的方法有: (1)从一边开始,证得它等于另一边; (2)证明左右两边都等于同一个式子; (3)变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与其等价的等式.

[再练一题] 1-2sin 40°cos 40° 3.(1)化简: ; 2 cos 40°- 1-sin 50° sin α -cos α +1 1+sin α (2)求证: = . sin α +cos α -1 cos α 【解】 (1)原式 = sin 40°+cos 40°-2sin 40°cos 40° cos 40°- cos 50° - cos 40°-|cos 50°| |sin 40°-cos 40°| cos 40°-cos 50° cos 40°-sin 40° cos 40°-sin 40°
2 2 2 2

= = =

=1. (2)证明:法一:左边

= =
2

α -cos α + α +cos α - α + -cos α 2 2 α +cos α -1
2 2 2

α +cos α + α +cos α +

sin α +2sin α +1-1+sin α = 1+2sin α cos α -1 = 2sin α +sin α 2sin α cos α 1+sin α = =右边. cos α

∴原等式成立. 法二:∵(sin α +cos α -1)(1+sin α ) =(sin α -1)(1+sin α )+cos α (1+sin α ) =sin α -1-cos α (1+sin α ) =-cos α +cos α (1+sin α ) =cos α (sin α -cos α +1) ∴ sin α -cos α +1 1+sin α = . sin α +cos α -1 cos α
2 2

4 1.已知 sin α =- ,α 是第三象限角,则 tan α 等于( 5 3 A. 4 4 C. 3 3 B.- 4 4 D.- 3

)

4 【解析】 因为 α 是第三象限角,所以 cos α <0,又 sin α =- , 5

所以 cos α =- 1-sin α =- 4 - 5 4 sin α 所以 tan α = = = . cos α 3 3 - 5 【答案】 C 2.化简 tan π A.sin 5 π C.cos 5 【解析】 tan π · 5 1-sin
2

2

3 ? 4?2 1-?- ? =- , 5 ? 5?

π · 5

1-sin

2

π 的结果是( 5

)

π B.-sin 5 π D.-cos 5 π π ? π? π =tan ·?cos ?,又 cos >0, 5? 5 5 ? 5

π sin 5 π π 所以原式= ·cos =sin . π 5 5 cos 5 【答案】 A 3.已知 sin α = 5 2 2 ,则 sin α -cos α 的值为________. 5 【导学号:66470064】 【解析】 因为 sin α = sin α -cos α =?
2 2

5 ? 5?2 4 2 2 ,所以 cos α =1-sin α =1-? ? = , 5 ?5? 5

3 ? 5?2 4 ? -5=-5. 5 ? ?

3 【答案】 - 5 1 1+2sin α cos α 4.已知 tan α =- ,则 的值是________. 2 2 2 sin α -cos α 【 解 析 】 1+2sin α cos α = 2 2 sin α -cos α α +cos α α +cos α α -cos α
2



1 sin α +cos α tan α +1 2 1 = = =- . sin α -cos α tan α -1 -3 3 2 1 【答案】 - 3

4-2m m-3 5.已知 sin α = ,cos α = ,α 是第四象限角,试求 tan α 的值. m+5 m+5 【解】 ∵sin α +cos α =1, ∴?
2 2

?4-2m?2+?m-3?2=1. ? ? ? ? m+5 ? ?m+5?

化简,整理得,

m(m-8)=0,∴m1=0,m2=8.
4 3 当 m=0 时,sin α = ,cos α =- , 5 5 不符合 α 是第四象限角,舍去. 12 5 当 m=8 时,sin α =- ,cos α = , 13 13 12 ∴tan α =- . 5

我还有这些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________



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