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2016


§2.3

计算导数

1.理解导数的概念.(重点) 2.会用导数定义求简单函数的导数. 3.记住基本初等函数的求导公式,并能用它们求简单函数的导数.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 导函数的概念 阅读教材 P38~P40“练习”以上部分,完成下列问题. 一般地, 如果一个函数 f(x)在区间(a, b)上的每一点 x 处都有导数, 导数值记为 f′(x):

f′(x)=lim
Δ x→0

f(x+Δ x)-f(x) ,则 f′(x)是关于 x 的函数,称 f′(x)为 f(x)的导 Δx

函数,通常也简称为导数.

若函数 f(x)=(x-1) ,那么 f′(x)=________. 【提示】 ∵f(x)=x -2x+1, ∴ Δ y f(x+Δ x)-f(x) = =2x+Δ x-2. Δx Δx Δy = lim (2x+Δ x-2)=2x-2. Δx
Δ x→0 2

2

故 f′(x)=lim
Δ x→0

【答案】 2x-2 教材整理 2 导数公式表 阅读教材 P41“习题 2-3”以上部分,完成下列问题. 函数 导函数

y=c(c 是常数) y=xα (α 是实数) y=a (a>0,a≠1)
x

y′=0 y′=α xα -1 y′=axln_a,特别地(ex)′=
e
x

1

y=logax(a>0,a≠1)

y′= ,特别地(ln x)′ xln a
= 1

1

x

y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x

y′=cos_x y′=-sin_x y′=
1 2 cos x 1 2 sin x

y′=-

给出下列命题: 1 ①y=ln 2,则 y′= ; 2 1 2 x x ②y= 2,则 y′=- 3;③y=2 ,则 y′=2 ln 2;

x

x

④y=log2x,则 y′=

1

xln 2

. )

其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3

D.4

【解析】 对于①,y′=0,故①错误;显然②③④正确,故选 C. 【答案】 C [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型]

2

利用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数. 1 12 x (1)y=x ;(2)y= 4;(3)y=3 ;(4)y=log5x.

x

【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式, 若不符合可先将函数解析式化 为基本初等函数的求导形式. 【自主解答】 (1)y′=(x )′=12x . 4 ?1? -4 -5 (2)y′=? 4?′=(x )′=-4x =- 5. x
12 11

? ?
x

x

(3)y′=(3 )′=3 ln 3. (4)y′=(log5x)′= 1

x

xln 5

.

1.若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必 要的运算失误. 1 x 3.要特别注意“ 与 ln x” , “a 与 logax” , “sin x 与 cos x”的导数区别.

x

[再练一题] 1.若 f(x)=x ,g(x)=log3x, 则 f′(x)-g′(x)=__________. 【解析】 ∵f′(x)=3x ,g′(x)= ∴f′(x)-g′(x)=3x - 【答案】 3x -
2 2 2 3

1 , xln 3

1

xln 3

.

1 利用导数公式求函数在某点处的 导数

xln 3

质点的运动方程是 s=sin t, π (1)求质点在 t= 时的速度; 3 (2)求质点运动的加速度.

?π ? 【精彩点拨】 (1)先求 s′(t),再求 s′? ?. ?3?
(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数,故先求 v(t),再求导.
3

π 1 ?π ? 【自主解答】 (1)v(t)=s′(t)=cos t,∴v? ?=cos = . 3 2 ?3? π 1 即质点在 t= 时的速度为 . 3 2 (2)∵v(t)=cos t, ∴加速度 a(t)=v′(t)=(cos t)′=-sin t.

1.速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数. 2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是: (1)先求函数的导函数; (2) 把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.

[再练一题] 2.(1)求函数 f(x)= 1 3 在(1,1)处的导数;

x

2? ?π (2)求函数 f(x)=cos x 在? , ?处的导数. ?4 2 ?

? 1 ?′ 1 -3 1 3 【解】 (1)∵f′(x)=? 3 ? =(x )′=- x =- , ? x? 3 3 4 ? ? 3 x
∴f′(1)=- 1 =- . 3 3 3 1 1

1

4

(2)∵f′(x)=-sin x, π 2 ?π ? ∴f′? ?=-sin =- . 4 4 2 ? ? [探究共研型] 导数公式的应用 探究 已知函数 f(x)=tan x,试求 f(x)的图像在点? 【提示】 f′(x)=

?π , 3?处的切线方程. ? ?3 ?

1 ?π ?=4,即所求切线的斜率为 4,故切线方程为 y- ? 2 ,∴f′? cos x ?3?

4π ? π? 3=4?x- ?,即 4x-y+ 3- =0. 3 3 ? ?

?π 1? (2016·长沙高二检测)求过曲线 f(x)=cos x 上一点 P? , ?且与曲线在这点 ? 3 2?
的切线垂直的直线方程.
4

【精彩点拨】

求导数f′(x0) → 计算f′? 1 利用点斜式写 出直线方程

?π ? → ? ?3?

所求直线斜率 k=-

f′? ?

?π ? ?3?



【自主解答】 因为 f(x)=cos x,所以 f′(x)=-sin x,则曲线 f(x)=cos x 在点

?π 1? P? , ?的切线斜率为 ?3
2?

f′? ?=-sin 3

?π ? ? ?

π 3 =- , 3 2 3,

2 所以所求直线的斜率为 3

1 2 ? π? 所求直线方程为 y- = 3?x- ?, 3? 2 3 ? 2 即 y= 3 3x- 2 3 1 π+ . 9 2

求曲线方程或切线方程时,应注意: (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程; (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.

[再练一题] 3.已知曲线 C:f(x)=x -ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它 们的倾斜角互补,则 a 的值为________. 【解析】 设切点坐标为(t,t -at+a). 由题意知,f′(x)=3x -a, 切线的斜率为 k=f′(t)=3t -a,
3 2 2 2 3 3



所以切线方程为 y-(t -at+a)=(3t -a)·(x-t). ② 将点(1,0)代入②式得-(t -at+a)=(3t -a)(1-t), 3 解得 t=0 或 t= . 2 3 分别将 t=0 或 t= 代入①式, 2 27 得 k=-a 或 k= -a, 4
5
3 2

27 由题意得它们互为相反数得 a= . 8 【答案】 27 8 [构建·体系]

1 α 1.已知 f(x)=x (α ∈Q+),若 f′(1)= ,则 α 等于( 4 A. C. 1 3 1 8
α

)

B. D.

1 2 1 4 1 ,∴f′(1)=α = . 4

【解析】 ∵f(x)=x ,∴f′(x)=α x 【答案】 D 2.给出下列结论: 1 3 ①若 y= 3,则 y′=- 4;

α -1

x

x

13 3 ②若 y= x,则 y′= x; 3 ③若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. 其中正确的个数是( A.1 C.3
3

) B.2 D.0
2

0-(x )′ -3x -3 【解析】 对于①,y′= = 6 = 4 ,正确; 6

x

x

x

1 2 1 3-1 1 -3 对于②,y′= x = x ,不正确; 3 3 对于③,f′(x)=3,故 f′(1)=3,正确. 【答案】 B
6

3.若 f(x)=10 ,则 f′(1)=________. 【解析】 f′(x)=10 ln 10,∴f′(1)=10ln 10. 【答案】 10ln 10 4.曲线 f(x)= 4 1 在 x=1 处的切线的倾斜角的正切值为________.
x

x

x3
7

? 3?′ 3 -4 【解析】 f′(x)=? -4? =- x , 4 ?x ?
3 3 ∴f′(1)=- =k,∴倾斜角的正切值为- . 4 4 3 【答案】 - 4 3 2 5.若质点 P 的运动方程是 s(t)= t (s 的单位为 m, t 的单位为 s), 求质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度. 1 2 2 3 2 【解】 ∵s′(t)=( t )′=(t3)′= t , 3 3 1 2 -3 2 1 -1 ∴s′(8)= ×8 = ×2 = , 3 3 3 1 ∴质点 P 在 t=8 s 时的瞬时速度为 m/s. 3

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

7



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