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河南省南阳市第一中学2017届高三上期第四次月考数学(理)试题Word版含答案.doc


南阳市一中 2017 届高三上期第四次月考 理数试题
2016.12.17 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题) 1.复数 z1 ? 2 ? i ,若复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,则 z1 z 2 = A.-5 D. 3 ? 4 i 2.已知“ x ? k ”是“ A. [2,??) C. (2,??) B.5C. ? 3 ? 4i

3 ? 1 ”的充分不必要条件,则 k 的取值范围是 x ?1
B. [1,??) D. (??,?1]

3.某锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 A. 33 B. 17 C. 41 D. 42

4.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,设 a ? ln

1

?

, b ? (ln ? ) , c ? ln
2

? ,当任意

x1, x2 ? (0, ??) 时,都有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则
A. f (a) ? f (b) ? f (c) C. f (c) ? f (b) ? f (a) B. f (b) ? f (a) ? f (c) D. f (c) ? f (a) ? f (b)

ax3 ax ? x 2 ? 3 ? 5. 已知函数 f ( x) ? , g ( x) ? a 2 x3 ? 2ax2 ? x ? a (a ? R) 。在同一直 3 2
角坐标系中,函数 f ' ( x) 与 g ( x) 的图像不可能的是

A.

B.

C.

D.

6.若 x 是三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最小值是 A. ?

1 ? 2 2

B.

1 ? 2 2

C.1D. 2

7. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 BC 边上的高为 a ,则 c ? b b c 2 最大值为 A.2 D.4 8.已知函数 f ( x) ? 2 ?
2 ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x2 ,若在区间 (?1,1] 内, f ( x ? 1)

B. 2

C. 2 2

g ( x) ? f ( x) ? t ( x ? 1) 有两个不同的零点,则实数 t 的取值范围是
A. (0,??) D. (0, ] 9. A, B, C 是圆 O 上不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于点 D ,若 OC ? ?OA ? ?OB ( ? ? R, ? ? R ),则 ? ? ? 的取值范围是 A. (0, ? ? ) 10.抛物线 x ?
2

B. (0, )

1 2

C. [? , 0)

1 2

1 2

B. (1, ? ? )

C. (1,2]D.[1, ? ? )

1 y 在第一象限内图像上的一点 (ai , 2ai2 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记 2
*

为 ai ?1 ,其中 i ? N ,若 a2 ? 32 ,则 a2 ? a4 ? a6 等于 A. 21 B.32 C.42 D.64

2 2 11.过椭圆 C: x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B, a b

且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F2 。若 1 ? k ? 1 ,则椭圆
3 2

C 的离心率的取值范围是 A. (0, )

1 2

B. ( ,1)

2 3

C. ( , )

1 2 2 3

D. (0, ) ? ( ,1)

1 2

2 3

12.若函数 f ( x) 在区间 A 上, ?a, b, c ? A, f (a), f (b), f (c) 均可为一个三角形的三边长, 则称函数 f ( x) 为“三角形函数”. 已知函数 f ( x) ? x ln x ? m 在区间 [ 函数”,则实数 m 的取值范围为 A. ( ,

1 , e] 上是“三角形 e2

1 e2 ? 2 ) e e
1 C. ( ,?? ) e

2 B. ( ,?? ) e
D. (

e2 ? 2 ,??) e

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题)

13. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的柱子,自上而下各节的容积成等差数列。 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为_______升。 14.如下图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点 P(x, y)的轨迹方程是 y=f(x) ( x ? R) 。则对函数 y=f(x)有下列判断: ①函数 y=f(x)是偶函数; ②对任意的 x ? R ,都有 f(x+2)=f(x-2) ; ③函数 y=f(x)在区间[2,3]上单调递减; ④

?

2 0

f ( x)dx ?

? ?1
2

; 其中判断正确的序号是______. 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值小于 2,

y?x 15.设 m ? 1 ,在约束条件 ? ?

? y ? mx ?x ? y ? 1 ?

则 m 的取值范围为__________ 16.如图,∠ACB=90° ,DA⊥平面 ABC,AE⊥DB 交 DB 于 E,AF⊥DC 交 DC 于 F, 且 AD=AB=2, 则三棱锥 D-AEF 体积的最大值为___________ 三、解答题(共 7 小题,其中 22、23 选作一题) 17. (12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) ,记 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

?

3

) 的值;

(2)在锐角△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且满足

(2a ? c) cos B ? b cos C ,求 f (2 A) 的取值范围.
18. (12 分)

1 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? an ? ( ) n ?1 ? 2(n ? N * ) ,设 cn ? 2n an . 2
(1)求证:数列 {cn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)按以下规律构造数列 {bn } ,具体方法如下: b1 ? c1 , b2 ? c2 ? c3 ,

b3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c7 ,…,第 n 项 bn 由相应的 {cn } 中 2 n ?1 项的和组成,求数列 {bn } 的通项
公式. 19. (12 分)

? 如图(1) ,在平行四边形 ABB1 A 1 中, ?ABB 1 ? 60 , AB ? 4, AA 1 ? 2, C, C1 , 分别为

现把平行四边形 AAC AB, A1B1 的中点. 1 1C 沿 CC1 折 起,如图(2)所示,连结 B1C, B1 A, B1 A1 . (1)求证: AB1 ? CC1 ; (2)若 AB1 ? 6 ,求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值. 20. (12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? =1(a>b>0)过点 P(-1, -1), c 为椭圆的半焦距, 且 c= 2 b. 过 a 2 b2

点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△ PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程. 21. (12 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? ln( x ? 1) ,其中 a ? R . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) ? e ? x ?

1 在区间 (0, ??) 内恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1

选做题:下面两题任选一题,每题 10 分 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ? ?
? 3 t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 2 ( t 为参数) ? 1 ?y ? 3 ? t ? 2 ? x ? ?1 ?

为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若 P(x,y)是直线 l 与圆面 ? ? 4 sin(? ? 23.选修 4-5:不等式选讲

?
6

)

?
6

) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围.

设 f ( x) ?| ax ? 1 | (1)若 f ( x) ? 2 的解集为 [?6,2] ,求实数 a 的值 (2)当 a ? 2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 7 ? 3m 成立,求 实数 m 的取值范围。

第四次月考理数答案 一、选择题 二、填空题 13. AACDB ACDBC CD

67 66

14. ①②④

15. (1,1+ 2 )

16.

2 6

三、解答题 17.

18.

19.

20.

21. (1) f ' ( x) ? 2ax ? 2a ?

1 2ax2 ? 4ax ? 2a ? 1 ? ( x ? ?1) x ?1 x ?1

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 内单调递减. 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 ,有 x ?? 1? 单调递减;当 x ? (?1 ?

1 ' 1 .此时,当 x ? (?1, ?1 ? ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 2a 2a

1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 2a

(2)令 g ( x) ?

1 1 ex ? x ?1 ? x ,则 g ( x) ? x x ?1 e e ( x ? 1)

当 a ? 0 , x ? 0 时, f ( x) ? a( x2 ? 2x) ? ln( x ? 1) ? 0 .故当 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0, ??) 内恒 成立时,必有 a ? 0 . 当0 ? a ?

1 时, ?1 ? 1 ? 0 .由(1)可知函数 f ( x ) 在 (0, ?1 ? 1 ) 上单调递减即 2 2a 2a 1 x ? (0, ?1 ? ) 时, f ( x) ? f (0) ? g ( x) ,不符合题意,舍。 2a

当a ?

1 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? 0 ,则 2
1 1 1 x 1 2a( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 ? ? ? 2 ax ? 2 a ? ? ? x ? 1 ( x ? 1)2 e x ( x ? 1)2 x ? 1 ( x ? 1)2

h' ( x) ? 2ax ? 2a ?
?

( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? 1 ?0 ( x ? 1)2

所以 h( x) 在 x ? 0 时单调递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) 恒成立,满足题 意。综上, a ? [ 1 , ??) . 2 22.

23. 解:(Ⅰ)显然 ,当 时,解集为 , ,无解;当 时,

解集为

,令



,综上所述,



(Ⅱ) 当

时,令

由此可知,



单调减,在

单调增,在

单调增,则当

时,

取到

最小值

,由题意知,

,则实数

的取值范围是


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