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高三数学复习课中问题导学的实践

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数学通报          2 0 1 5年 第5 4卷 第3期

高三数学复习课中 “ 问题导学 ” 的实践
王克亮
( ) 江苏省射阳县教育局教研室  2 2 4 3 0 0

问题导学 ” 是指教师在课堂教学中以一系列    “ 问题为载体 , 通 过 学 生 的 独 立 思 考 、 自 主 探 究 、 合作讨论等方式来解决问题 , 从而达到学习学科 知识 、 掌握相关方法 、 提高思维能力等的一种教 学方法和策略 . 高三数学备考的一个重要任务是帮助学生构 建知识网络 和 方 法 网 络 , 提 高 学 生 的 解 题 能 力 . 那么在高三数学复习课上 , 如何通过 “ 问题导学 ” 的模式来达成这些目标呢 ? 笔者作了如下实践与 尝试 . 1  设置递进性问题 , 帮助学生回顾与固化 1 . 1  利用递进性问题回顾知识的形成过程 对于数学概念 、 公式 、 法则 、 定理等 , 高三 学生的一个 通 病 是 只 知 其 然 , 而 不 知 其 所 以 然 . 因此 , 在高三数学复习课上 , 宜设置一些递进性 的问题串 , 再现核心知识的形成过程 , 揭示其研 究思想 . 案例 1  正弦定理与余弦定理 ?→ ?→ 问题 1  如图 1, 向量A B与 B C的和是什么 ?

?→ ?→ ?→ 问题 2  向量等式A B+B C=A C两边平方后 能得到什么样的结果 ? 意图   得到余弦定理 . 追问   向量等式两边平方的实质是什么 ? 意图   揭示向量等式数量化这一本质 , 方法 是两边点乘同一个向量 . ?→ ?→ ?→ 问题 3  在向量等式A B+B C=A C两边点乘 同一个向量 , 你还能得到其它的数量等式吗 ? 意图   两边同时点乘一个边向量得到射影定 ; 理 两边同时点乘一条边的垂向量得到正弦 定理 . 评注   这里的递进性问题不仅回顾了正 、 余 定理的生成 过 程 , 还 揭 示 了 “ 将向量等式转化为 这一研究思想 . 数量等式 ” 1 . 2  利用递进性问题固化常规的解题思路 在高三数学第一轮复习中 , 不少学生对于一 些常规问题的解决还处在一个懵懂阶段 , 这时宜 设置一些递进性的问题串 , 帮助学生固化一些常 规的解题思路 , 形成有序的解题思维 . 案例 2  导数的综合应用
2 题目   求 函 数 f( x) =a x +( 1-2 a) x- l n x

( ) 在区间 1 ,1 上的最小值 . a<0 2 解析   对 f( 进行求导 , 得 f x) ′( x) =2 a x+





图1

?→ ?→ ?→ 意图   得到向量等式A B+B C=A C. 追问   这个结论与三角形的形状有关吗 ? ?→ ?→ ?→ 意图   强调A 如 B+B C=A C是 向 量 恒 等 式 ( ) 图 2 所示 .

1 ( ) 1-2 a) - ( x>0 . x 问题 1  这个导函 数 的 符 号 最 终 取 决 于 哪 个 式子 ? , 善于把握 意图   引导学生学会 “ 一看实质 ” 问题的本质 .如 本 题 中 的 导 函 数 经 通 分 后 发 现 ,
2 其符号取决于分子 2 a x +( 1-2 a) x-1.

问题 2  这个式子 的 对 应 函 数 中 哪 些 元 素 已 经确定 ? , 如二次函 意图   引导学生学会 “ 二看定量 ”
图2

2 0 1 5年 第5 4 卷   第 3 期           数学通报
2 数的开口方向 、 对称轴 、 纵 截 距 等 .这 里 ,2 a x

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间都应是其定义域的子集 ; 函数的单调区间描述 的是函数图象在局部的变化趋势 ; 在某个增区间 内,当x 应是恒 x x x <f( 1< 2 时 , 不等式 f( 1) 2) 成立的 ; 一个函数可有多个增区间或减区间 , 中 间不可随便用 “ 号联接 . ∪” 问题 3  如何理解函数 f( 是单调函数 ? x) 意图   点明以 下 几 点 : 说 明 函 数 f( 在其 x) 定义域内要么是增函数 , 要么是减函数 ; 对函数 定义域内任意的x x) x < f( 1 <x 2, 恒 有 f( 1) ( ) ( ( ) ( ) ) ; ( ) , 或 若 存 在 则 ′ x x x x f 2 f 1 >f 2 f ( , 其中 f 或f ′( x) ′( x) ′( x) =0 只能 有 ≥0 ≤0) f 的图象与直 有限个根 ; 从图 象 上 看 , 函 数 f( x) 线 y= 至多有一个交点 . a( a∈R) 评注   这里的每个问题都对应着一个重要的 数学概念 , 这些 问 题 的 解 决 能 起 到 “ 强化概念的 多元表征 , 加深学生对有关概念的理解 , 警示一 些注意点 , 等等 ” 的作用 . 2 . 2  利用对应性问题促进方法体系的构建 对于解题方法较多的某类问题 , 在高三数学 复习课上 , 可选择与每种解法相对应的一些题目 逐个给出 , 以此构建较完整的方法体系 . 案例 4  函数的值域 问题 1  已知函数 y=f( 的图象如图3所 x) 的定义域是    ; 值域是    . 示 , 那么 f( x)

+( 1-2 a) x-1 对 应 的 二 次 函 数 开 口 一 定 向 下 , 纵截距恒为 -1. 问题 3  导函数的零点情况如何 ? , 通常看导 意图   引导学生学会 “ 三看零点 ” 函 数 有 无 零 点? 有 几 个 零 点? 大 小 关 系 如 何? ,x 等 .本 题 中 的 导 函 数 有 两 个 零 点 x 1 =1 2= 1 - , 大小关系不定 . a 2 问题 4  导函数的零 点 与 所 给 区 间 的 位 置 关 系如何 ? , 即看导函 意图   引导学生学会 “ 四看位置 ” 数的零点与所给区间的相对位置关系 , 不能确定 1与 的 , 要分类讨 论 .本 题 中 , 因 零 点 x 2= - a 2 所给区间 1 ,1 的 位 置 关 系 不 能 确 定 , 所 以 要 2





分三种情况讨论 . 评注   这里的递进性问题帮助学生固化了处 理含参导数问题的 “ 四看 ” 步骤 , 一定程度上能增 强学生的解题能力 . 2  设置对应性问题 , 促进学生理解与构建 2 . 1  利用对应性问题促进学生对概念的理解 数学概念是解题的起点 , 在高三数学复习课 上 , 宜设置一些问题来促进学生对相关概念的理 解 .这些问题可与知识相对应 , 逐个给出 . 案例 3  函数的单调性 问题 1  从 以 下 角 度 看 , 你 是 如 何 理 解 “ 增 函数 ” 这个概念的 ? ( ) 从图象变化的趋势看 ; 1 ( ) 从代数刻画的角度看 ; 2 ( ) 从导数的角度看 ; 3 ( ) 从增量的角度看 . 4 意图   回顾 增 函 数 的 直 观 描 述 、 严 格 定 义 、 与导数的联系 , 并给出 “ 当x x x 1, 2 ∈A 且x 1≠ 2 ( x) - ( x) 时 , 都有f 1 f 2 >0( 也可以写为( x 1- x x 1- 2 ( ) ) ” 这一等价定义 . x x -f( x >0 f( 2) 1) 2) 追问   减函数呢 ? 问题 2  如 何 理 解 函 数 f( 的增区间与减 x) 区间 ? 意图   点明以下几点 : 函数的增区间与减区

图3
2 问题 2  函数 y=x +2 的 值 域 是     ; 函 2 数 y=x +x+2 的值域是    .

问题 3  函 数 y= 2 +1 的 值 域 是     ; 函 x 数 y= x 的值域是    . 2 x+1 1 的值域是 问题 4  函数 y= l o x( 0<x≤ ) g 2 2

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数学通报          2 0 1 5年 第5 4卷 第3期 ( ) 求实数 p, 1 q 的值 ; ( ) 判断函数 f( 在( 上单调性 , 2 x) -∞ , -1) 并加以证明 . 启示 4  在 解 答 题 中 运 用 函 数 的 奇 偶 性 时 , 要么直接回到定义 ; 要么先根据特殊情况得到参 数的值 , 再代回到解析式中验证其奇偶性 . 评注   这里的总起性问题引发了学生对后面 知函数奇偶性 题组的关注 与 思 考 , 进 而 提 炼 了 “ 反求参数 ” 这一类问题的常规解题切入口 . 4  设置回望性问题 , 引导学生反思与总结 高三数学复 习 课 上 , 在 某 类 问 题 解 决 之 后 , 或者在课的 结 尾 处 , 可 用 问 题 引 导 学 生 回 头 看 , 对解题过程进行反思 , 对相关的思想方法 、 解题 策略或注意点等进行归纳与总结 . 案例 6  解三角形 ( 课上 , 通过 对 多 道 解 三 角 形 问 题 的 体 验 与 ) 感悟之后 , 笔者作了如下置问 . 问题   你认为在解三角形时 , 通常要注意些 什么 ? ( 经过多位 学 生 的 发 言 与 补 充 , 得 到 了 如 下 ) 启示 . ) 启示   ( 知两角 , 即知三角 ; 1 ) ( 知一角 , 角可归一 ; 2 ( ) 知一角 , 其余角范围已缩小 ; 3


x ) 的值域是 l o x( x∈ [ 1,2]    ; 函数 y=2 + g 2

   . 问题 5  函数 y=x+ 槡 x+1 的值域是    ; 函数 y=x+2 1-x的值域是    .   槡 问题 6  函 数 y=x+ 1 ( 的值域是 x>0) x
2 x +1的值域是    ; 函数 y=    . x

x+1的值域是 问题 7  函数 y=2    . 2 x +3
3 2 问题 8  函数 y= 1x -x +x-2,x∈ ( 1, 3

] 的值域是    . 2 意图   在每个问题后提炼出求函数值域的对 应方法 . 评注   这里的问题就是具体的数学题目 , 这 求函数值域 ” 的 些对应性问题的解决自然构建了 “ 方法体系 . 3  设置总起性问题 , 引发学生关注与思考 高三数学复 习 课 上 , 在 某 类 问 题 出 现 之 前 , 可用一个问题作为总起 , 引发学生对该类问题的 关注与思考 , 明确阶段的学习目标 . 案例 5  函数的奇偶性 ( 问题   知函 数 f( 含 参 数) 的奇偶性来反 x) 求参数时 , 通常如何处理呢 ? 题 1  已知函数 f( x) = a x+ b x 是定义在 [ a 上的偶函数 , 则 a+ -1,2 a] b 的值为 . 启 示 1  有 时 要 运 用 定 义 域 的 对 称 性 来 处理 .

( ) , 即知三角 ; 知三边 ( 之比 ) 4
2 2 2 ( ) 看到 a 等 , 即想到余弦定理 ; 5 + b - c

) ( 边与正弦的齐次式可互化 ; 6 ) ( 边角关系式 , 可化边 , 可化角 ; 7 ( ) 不能 直 接 用 公 式 求 得 的 边 长 , 不 妨 试 试 8 方程思想 ; ( ) 遇角即判断钝锐 , 尽量缩小角的范围 . 9 评注   这里的回望性问题对 “ 解三角形 ” 中涉 及到的一般解题策略与注意点等作了高度的浓缩 与概括 . 通过实践 , 笔者认为在高三数学复习课中采 问题导学 ” 的模式有“ 可 显 化 教 学 目 标、 能 明 用“ 确思考 方 向 、 易 进 行 提 炼 总 结 、 利 增 强 师 生 互 动” 等优点 , 能提高复习的有效性 .

a·2 + a-2为 奇 函 题 2  若 函 数 f( x) = x 2 +1
. 启示 2  奇 函 数 f( 在 x=0 处 有 定 义 时 , x) ) 可用 f( 0 =0 来处理 .
x - a为奇函数 , 则 实 2 题 3  若函数 f( x) = x 2+ a



数 , 则实数 a 的值为

数 a 的值为



启示 3  不 能 确 定 奇 函 数 在 x=0 处 是 否 有 定义时 , 可回到定义来处理 .
2 x +2是 奇 函 数 , p 题 4  已 知 函 数 f( x) = 3 x+ q

5 ) 且 f( 2 = . 3



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