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第二讲指数函数与对数函数 Microsoft Word 文档 高一


第二讲 指数函数与对数函数
姓名 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 成绩

10. 已知幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 2, 2 ,则此函数的解析式是( A、 y ? x 2 ) B、 y ?

?

?

)

1、当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? (a 2 ? 1) x 的值总大于 1 ,则实数 a 的取值范围是( (A) 1 ? a ? 2、函数 y ? 2 (A) (0,1] 3. 若函数 f ( x) ? 1 ? (A) 0
?x

2 x 2

C、 y ?

x

D、 y ?

1 x2

2

(B) a ? 1 )

(C) a ? 1

(D) a ?

2

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分.
11、函数 y ? log2 ( x2 ? 2 x ? 3) 的值域为
?3x ? 3 , x ≥ 0 ? 12、已知函数 f ( x) ? ?? 1 ? x ,若 x0 是 f ( x) 的零点,则 x0 的值为___________. ?? ? ? 4 ,x ? 0 ?? 2 ?

的值域是( (B) (0,1)

(C) (0,??)

(D) (??,??) ) (D) 4 )

m (a ? 0, a ? 1) 是奇函数,则 m 的值为( a ?1 (B) 1 (C) 2
x

13、函数 y= lg (

2 -1)的图象关于 1- x

对称
; x 4

4. 函数 f ( x) ? e x ( e 为自然对数的底数)对任意实数 x 、 y ,都有( (A) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) (C) f ( xy) ? f ( x) f ( y)

14、函数 f(x)=2+log5(x+3)在区间[-2,2]上的值域是

三、解答题:共 80 分 15、 (本题满分 12 分)已知 2≤x≤8,求函数 f(x)=(log 2 )(log 2 ) 的最大值和最小值. 2 x

(B) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (D) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ) C. (-∞,2)

1) 的定义域是( 5、函数 f(x)= log 1 ( x-
2

A. (1,+∞) 6、已知 f ( x ) ? ?

B. (2,+∞)

, 2] D. (1

? ?log 1 ( x ? 1)(x ? 0),
x ? ?2 2

( x ? 0).
B. 0

则 f(f(0))=…………………………( C. 1 D. 2


16. 已知函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0, 且 a ? 1) 在区间 ??1,1? 上的最大值是 7,求 a 的值。

A. -1

7、已知 A ? ?x | y ? log2 (1 ? x)? ,B ? y | y ? x ? 1 ,则下列关系正确的是( A. A?B=B
?1? ? ?
x

?

?



B. A?B=B

C. A?B=?
)个。 C.2
3

D. A?B=R

8、函数 f ( x) ? ? ? ? 3x 2 ? 2 的零点有( 2
A.0 B.1

D.3 )

9. 在同一坐标系中,函数 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 的图象之间的关系是( A、关于 y 轴对称 C、关于原点对称 B、关于 x 轴对称 D、关于直线 y ? x 对称

17(12 分)函数 f ( x) ? k ? a ? x (k , a 为常数, a ? 0 且 a ? 1) 的图象过点 A(0,1), B(3,8)
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ?

19、 (14 分)已知函数 f ( x) ? a x?1 (a ? 0且a ? 1)
(1)若函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值; (2)比较 f (lg

f ( x) ? 1 ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性并给出证明. f ( x) ? 1

1 )与f (?2.1) 大小,并写出比较过程; (3)若 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值. 100

18、 (14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? 2
1 . (1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; 2 ?1 (2)确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时,求 f ( x) 的值域。
x

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式

f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

20、 (14 分)已知函数 f ( x) ? a ?

第二讲 指数函数与对数函数答案
1、 D,? a ?1 ? 1,? a ? 2
x 2

设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x



?x ? ?2 , x ? 0 2、A, y ? ? x ,作图 ? ?2 , x ? 0

1 1 2x2 ? 2 x1 ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。
x x

m m ? ?1 ? x 4、A, a ?1 a ?1 5、D, log 1 ( x ? 1) ? 0,0 ? x ? 1 ? 1 ; 6、A; 7、D ;
3、C, ? f (? x) ? f ( x),?1 ?
?x

2

(Ⅲ)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

8、C ,作函数 y ? ?

?1? 2 ? 与函数 y ? ?3x ? 2 的图象,求交点个数; ?2?

x

9.B ;
x

10.C

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) , 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有:
2 2

?1? 11、 ?1, ??? ; 12、1 或 ?2 , f ? x ? ? 0 ,∴ 3 x ? 3 ? 0 .∴ x ? 1 , ? ? ? 4 ? 0 ?2?

∴ 2? x ? 4 ∴ x ? ?2

1 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3

∴ x0 ? 1 或 ?2 13、 原点; 解析: y= lg(

19、解:⑴∵函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3, 4) ,∴ a3-1 ? 4 ,即 a 2 ? 4 . 又 a ? 0 ,得 a ? 2 .
2 1+ x 1+ x 1+ x -1) = lg , 所以为奇函数. 形如 y= lg 或 y= lg 1- x 1- x 1- x 1- x
⑵当 a ? 1 时, f (lg

的函数都为奇函数. 14、[2,3];
1 3 1 15、解:由 2≤x≤8 得 ≤log2x≤3,y=( log2x-1)(2-log2x)=-(log2x- )2+ . 2 2 4 3 1 当 log2x= 时,即 x=2 2时,y 取最大值 ;当 log2x=3 时,即 x=8 时,y 取最小值-2. 2 4 16. 2 或 因为, f (lg

1 1 ) ? f (?2.1) ;当 0 ? a ? 1 时, f (lg ) ? f (?2.1) 100 100

1 ) ? f (?2) ? a ?3 , f (?2.1) ? a?3.1 ,当 a ? 1 时, y ? a x 在 (??, ??) 上为增函数, 100
?3

1 2

∵ ?3 ? ?3.1 , ∴a

? a ?3.1 . 即 f (lg

1 ) ? f (?2.1) .当 0 ? a ? 1 时,y ? a x 在 (??, ??) 上为减函数, 100 1 ) ? f (?2.1) . 100

?k ? 1 1 17、解: (1) ? ,∴ k ? 1, a ? ,∴ f ( x) ? 2 x ?3 2 ?k ? a ? 8

∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a

?3

? a ?3.1 . 即 f (lg
lg a ?1

2x ?1 2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? g ( x) (2) g ( x) ? x ,其定义域为 R,又 g (? x) ? ? x 2 ?1 1? 2x 2x ?1 2 ?1
∴函数 g ( x) 为奇函数.

⑶由 f (lg a) ? 100 知, a

? 100 . 所以, lg alg a?1 ? 2 (或 lg a ?1 ? loga 100 ).

∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 .∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 , ∴ lg a ? ?1 或 lg a ? 2 ,
2

所以, a ?

1 或 a ? 100 . 10
设 x1 ? x2 ,

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x ) ? 18、解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 2?2 2 ? 2 x ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

20、解: (1) ? f ( x) 的定义域为 R,
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

1 1 2 x1 ? 2 x2 ? a ? = , 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数.

(2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? 解得: a ?

1 1 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

1 1 1 . ? f ( x) ? ? x . 2 2 2 ?1 1 1 1 x ?1, (3)由(2)知 f ( x) ? ? x , ? 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ? x 2 2 ?1 2 ?1 1 1 1 ??1 ? ? x ? 0?? , ? f x ( ? ) 2 ?1 2 2 1 1 所以 f ( x ) 的值域为 ( ? , ). 2 2



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