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中考数学专题训练(一):解直角三角形(三角函数应用)

解直角三角形(三角函数应用) 1、 (绵阳市 2013 年)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高 15 米,从 A 点经过旗杆顶点恰 好看到矮建筑物的墙角 C 点,且俯角α 为 60?,又从 A 点测得 D 点的俯角β 为 30?, 若旗杆底点 G 为 BC 的中点, 则矮建筑物的高 CD 为( A ) A.20 米 B. 10 3 米 C. 15 3 米 D. 5 6 米 [解析] GE//AB//CD, BC=2GC, GE=15 米, AB=2GE=30 米, AF=BC=AB ? cot ∠ ACB=30 × cot60 ? =10 3 米, DF=AF ? tan30 ? =10 3 × =10 米, CD=AB-DF=30-10=20 米。 2、 (2013 杭州)在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,若 AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( A. B. C. D. ) 3 3 考点:解直角三角形. 专题:计算题. 分析:在直角三角形 ABC 中,由 AB 与 sinA 的值,求出 BC 的长,根据勾股定理求出 AC 的长,根据面积法求出 CD 的长,即为斜边上的高. 解答:解:根据题意画出图形,如图所示, 在 Rt△ ABC 中,AB=4,sinA=, ∴ BC=ABsinA=2.4, 根据勾股定理得:AC= ∵ S△ABC=AC?BC=AB?CD, ∴ CD= 故选 B = . =3.2, 点评:此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:锐角三角函数定义,勾股定理,以及三角 形的面积求法,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 3、 (2013?绥化)如图,在△ ABC 中,AD⊥ BC 于点 D,AB=8,∠ ABD=30°,∠ CAD=45°,求 BC 的长. 1 考点: 解直角三角形. 分析: 首先解 Rt△ ABD,求出 AD、BD 的长度,再解 Rt△ ADC,求出 DC 的长度,然后由 BC=BD+DC 即可求解. 解答: 解:∵ AD⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°. 在 Rt△ ABD 中,∵ AB=8,∠ ABD=30°, ∴ AD= AB=4,BD= AD=4 . 在 Rt△ ADC 中,∵ ∠ CAD=45°,∠ ADC=90°, ∴ DC=AD=4, ∴ BC=BD+DC=4 +4. 点评: 本题考查了解直角三角形的知识,属于基础题,解答本题的关键是在直角三角形中利 用解直角三角形的知识求出 BD、DC 的长度. 4、 (2013?鄂州)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设 计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计) ,一根没有弹性的木 棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中,随着木棒的滑 动就可以画出一个圆来.若 AB=20cm,则画出的圆的半径为 10 cm. 考点: 直角三角形斜边上的中线. 分析: 连接 OP,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OP 的长,画出的圆的 半径就是 OP 长. 解答: 解:连接 OP, ∵ △ AOB 是直角三角形,P 为斜边 AB 的中点, 3718684 ∴ OP= AB, ∵ AB=20cm, ∴ OP=10cm, 故答案为:10. 2 点评: 此题主要考查了直角三角形的性质, 关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半. 5、 (2013 安顺)在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°, ,BC=8,则△ ABC 的面积为 . 考点:解直角三角形. 专题:计算题. 分析:根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出 AC 的长度,然后利用三角形的面积公式进行计 算即可. 解答:解:∵ tanA= =, ∴ AC=6, ∴ △ ABC 的面积为×6×8=24. 故答案为:24. 点评:本题考查解直角三角形的知识,比较简单,关键是掌握在直角三角形中正切的表示形 式,从而得出三角形的两条直角边,进而得出三角形的面积. 6、(11-4 解直角三角形的实际应用·2013 东营中考)某校研究性学习小组测量学校旗 杆 AB 的高度,如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60?,在教学楼三楼 D 处测得 旗杆顶部的仰角为 30?, 旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上, 已知每层楼的高度为 3 米, 则旗杆 AB 的高度为 米. 3 15. 9.解析: 过 B 作 BE⊥CD 于点 E, 设旗杆 AB 的高度为 x, 在 Rt ?ABC 中, tan ?ACB ? 所以 AC ? AB , AC AB x x 3 3 ? ? ? x ,在 Rt ?BDE 中, BE ? AC ? x, 3 tan ?ACB tan 60? 3 3 BE BE ,所以 DE ? ? DE tan ?BDE 3 3 ?BOE ? 60? , tan ?BDE ? 所以 DC ? CE ? DE ? x ? 1 ? x ,因为 CE=AB=x, 3 3 x 1 x ? 6 ,所以 x=9,故旗杆的高度为 9 米. 3 7、 (2013?常德)如图,在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高,AE 是 BC 边上的中线,∠ C=45°, sinB= ,AD=1. (1)求 BC 的长; (2)求 tan∠ DAE 的值. 考点: 解直角三角形. 分析: (1)先由三角形的高的定义得出∠ ADB=∠ ADC=90°,再解 Rt△ ADC,得出 DC=1;解 Rt△ ADB, 得出 AB=3, 根据勾股定理求出 BD=2 , 然后根据 BC=BD+DC 即可求解; (2)先由三角形的中线的定义求出 CE 的值,则 DE=CE﹣CD,然后在 Rt△ ADE 中根 据正切函数的定义即可求解. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵ AD 是 BC 边上的高, ∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°. 在△


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