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1.1.2.3循环结构 教案(人教A版必修3)


1.1.2.3 循环结构 ●三维目标 1.知识与技能 (1)理解循环结构概念. (2)把握循环三要素:循环变量赋初值、循环体、循环的终止条件. (3)能识别和理解循环结构的框图以及功能. 2.过程与方法 通过由实例对循环结构的探究与应用过程,培养学生的观察类比,归纳抽象能力;参与 运用算法思想解决问题的过程, 逐步形成算法分析——算法设计——算法表示的程序化算法 思想. 3.情感、态度与价值观 (1)感受算法思想在解决具体问题中的意义,提高算法素养. (2)经历体验发现、创造和运用的历程与乐趣,体验成功的喜悦. (3)培养学生形式化的表达能力、构造性解决问题的能力,以及程序化的思想意识. ●重点难点 由于循环变量赋初值、 循环体、 循环的终止条件是在顺序结构和条件结构未出现的概念, 同时也是掌握循环结构的关键,由此确立本节课的重难点. 重点:循环结构的三要素. 难点:循环三要素的确定以及循环执行时变量的变化规律. ●教学建议 学生已经学习了算法的概念、顺序结构、条件结构及简单的赋值问题.高一学生形象思 维、感性认识较强,理性思维、抽象认识能力还很薄弱,因此教学中选择学生熟悉的,易懂 的实例引入,通过对例子的分析,使学生逐步经历循环结构设计的全过程,学会有条理的思 考问题,表达循环结构,并整理成程序框图. 在教学中,学生始终是主体,教师只是起引导作用.在教学中建议教师不断指导学生学 会学习.学生在一定情境中对学习材料的亲身经验和发现,才是学生学习的最有价值的东 西.在教授知识的同时,必须设法教给学生好的学习方法,让他们“会学习”.通过本节课 的教学,让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题,以培养 学生发现问题、提出问题的创造性能力. 鉴于本节课抽象程度较高, 难度较大. 通过精心设置的一个个问题链, 问题链环环相扣, 层次递进,使学生历经问题的抽象过程和新算法的构建过程,激发学生探索新知欲望,最终 在教师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性,使学生变被动学习为主 动学习,本课时建议教师用问题探究式教学法.在教学过程中通过不断地提出问题,促进学 生深入思考. ●教学流程 课标解读 2. 能进行两种循环结构的程序框图的相互转 化. 3.能正确设计程序框图,解决有关实际问 题.(难点) 循环结构的概念及相关内容 【问题导思】 伦敦举办了 2012 年第 30 届夏季奥运会, 你知道在申办奥运会的最后阶段, 国际奥委会 是如何通过投票决定主办权归属吗?对竞选出的 5 个申办城市进行表决的操作程序是: 首先 进行第一轮投票,如果有一个城市得票超过总票数的一半,那么该城市就获得主办权;如果 1.掌握两种循环结构的程序框图的画法.(重 点)

所有申办城市得票数都不超过总票数的一半, 则将得票最少的城市淘汰, 然后重复上述过程, 直到选出一个申办城市为止. 1.上述投票选举城市申办奥运会是算法吗? 【提示】 是. 2.该算法若用框图表示,只有顺序结构与条件结构可以吗? 【提示】 不可以. 3.在该算法中,要多次重复操作,那么控制重复操作的条件及重复的内容是什么? 【提示】 控制重复操作的条件为是否有城市得票超过总票数的一半, 重复的内容是淘 汰得票最少的城市. 1.循环结构:按照一定的条件反复执行某些步骤的情况. 2.循环体:反复执行的步骤. 3.循环结构的分类及特征 名称 直到型循环 当型循环

结构

特征

先执行循环体, 后判断条件, 若条件不满 足, 继续执行循环体, 直到条件满足终止 循环

先判断条件, 若条件满足, 则执行循环体, 否则终止循环

利用循环结构解决累加(乘)问题 设计一个算法,求 13+23+?+993+1003 的值,并画出程序框图. 【思路探究】 确定计数变量、累计变量和循环体后利用循环结构画出框图. 【自主解答】 算法如下: 第一步,令 S=0. 第二步,令 I=1. 第三步,S=S+I3. 第四步,I=I+1. 第五步,若 I≤100,则返回第三步;否则,输出 S,算法结束. 程序框图如图所示.

1.若算法问题中涉及的运算进行了多次重复,且参与运算的数前后有规律可循,就可 引入变量采用循环结构. 2.在循环结构中,要注意根据条件设置合理的计数变量,累加 (乘)变量,同时条件的 表述要恰当、精确. 3.累加变量的初始值一般为 0,而累乘变量的初始值一般为 1. 设计一个算法,计算 1×2×3×?×100 的值,并画出程序框图. 【解】 算法如下: 第一步,令 i=1,S=1. 第二步,i=i+1. 第三步,S=S×i. 第四步,判断 i≥100 是否成立,若成立,则输出 S;否则执行第二步. 第五步,输出 S. 程序框图:

利用循环结构寻数 写出一个求满足 1×3×5×7×?×n>50 000 的最小正整数 n 的算法, 并画出相 应的程序框图. 【思路探究】 利用循环结构,重复操作,可求出最小正整数. 【自主解答】 算法如下: 第一步,S=1. 第二步,i=3. 第三步,如果 S≤50 000,那么 S=S×i,i=i+2,重复第三步;否则,执行第四步. 第四步,i=i-2. 第五步,输出 i. 程序框图如图所示:

解决该类问题的一般步骤: 1.明确题意,根据条件写出算法; 2.根据算法设计出相应的程序框图; 3.依据框图确定循环结束时循环变量的取值; 4.得出结论. 求使 1+2+3+4+5+?+n>100 成立的最小自然数 n 的值,只画出程序框图. 【解】 程序框图如下:

用循环结构解决实际问题 用分期付款的方式购买价格为 2 150 元的冰箱,如果购买时先付 1 150 元,以 后每月付 50 元,并加付欠款的利息,若一个月后付第一个月的分期付款,月利率为 1%, 那么购冰箱钱全部付清后,实际共付出款额多少元?画出程序框图. 【思路探究】 购买时付款 1 150 元, 余款 1 000 元分 20 次分期付款, 每次的付款数为: a1=50+(2 150-1 150)×1%=60(元), a2=50+(2 150-1 150-50)×1%=59.5(元), ?? an=50+[2 150-1 150-(n-1)×50]×1% 1 =60- (n-1). 2 1 ∴a20=60- ×19=50.5(元), 2 总和 S=1 150+60+59.5+?+50.5=2 255(元). 【自主解答】 程序框图如图:

用循环结构设计算法解决应用问题的步骤: 1.审题; 2.建立数学模型; 3.用自然语言表述算法步骤; 4.确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,对于要重复执行的步骤,通常用循环结构 来设计,并用相应的程序框图表示,得到表示该步骤的程序框图; 5.将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程 序框图. 某班共有学生 50 人,在一次数学测试中,要搜索出测试中及格(60 分及以上)的成绩, 试设计一个算法,并画出程序框图.

【解】 算法步骤如下: 第一步,把计数变量 n 的初始值设为 1. 第二步,输入一个成绩 r,比较 r 与 60 的大小.若 r≥60,则输出 r,然后执行下一步; 若 r<60,则执行下一步. 第三步,使计数变量 n 的值增加 1. 第四步,判断计数变量 n 与学生个数 50 的大小,若 n≤50,返回第二步;若 n>50,则 结束.

程 图









右 .

(见学生用书第 12 页)

对程序框图的细节处理不正确而出错 画出求 S=1 +24+34+?+104 的程序框图. 【错解】 法一 程序框图如图(1) 法二 程序框图如图(2)
4

(1) (2) 4 【错因分析】 图(1)中将 S=S+i 与 i=i+1 的顺序写反了.由于 S=0,i=1,第一次 执行 i=i+1 后 i=2,再执行 S=S+i4 得 S=0+24,这样执行的最后结果中没有 1;另外, 当执行到 i=10 时,执行 i=i+1 后 i=11,S=S+114,故执行的最后结果中多了 114.由此可 知,若将两者的顺序写反,所得结果比真实值多 114-1,即大了 14 640. 图(2)中缺少了“i=i+1”,程序成为“死循环”. 【防范措施】 1.循环结构中对循环次数的控制非常关键,它直接影响着运算的结果. 2.控制循环次数要引入循环变量,其取值如何限制,要弄清两个问题:一是需要运算 的次数;二是循环结构的形式,是“当型”还是“直到型”. 3.要特别注意判断框中计数变量的取值限制,是“>”“<”,还是“≥”“≤”,它们的 含义是不同的. 【正解】 程序框图如图:

当型循环结构与直到型循环结构的联系与区别 1.联系 (1)当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化; (2)循环结构中必然包含条件结构,以保证在适当的时候终止循环; (3)循环结构只有一个入口和一个出口; (4)循环结构内不存在死循环,即不存在无终止的循环. 2.区别 直到型循环结构是先执行一次循环体, 然后再判断是否继续执行循环体, 当型循环结构 是先判断是否执行循环体; 直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体, 当型循环结构是 在条件满足时执行循环体,要掌握这两种循环结构,必须抓住它们的区别.

(见学生用书第 13 页) 1.在循环结构中,每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断,当条件满足时执行 循环体,不满足则停止,这样的循环结构是( ) A.分支型循环 B.直到型循环 C.条件型循环 D.当型循环 【解析】 由循环结构的特征知 D 项正确. 【答案】 D 2.如图 1-1-15 所示的程序框图,输出的结果为________.

图 1-1-15

【解析】 S=1×5×4=20. 【答案】 20 3.运行如图 1-1-16 程序框图,输出的结果为________.

图 1-1-16 【解析】 S=1+2+3+4+5+6+7=28. 【答案】 28 4.如图 1-1-17 所示的程序的输出结果为 sum=132,求判断框中的条件.

图 1-1-17 【解】 ∵i 初始值为 12,sum 初始值为 1,第一次循环 sum=1×12=12,第二次 sum =12×11=132,只循环 2 次,∴i≥11. ∴ 判 断 框 中 应 填 的 条 ? 件 为 “i≥11 ? ” 或 ”.

“i>10

(见学生用书第 85 页)

一、选择题

图 1-1-18 1.如图 1-1-18 所示,是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是( ) A.①是循环变量初始化,循环就要开始 B.②是循环体 C.③是判断是否继续循环的终止条件 D.①可以省略不写 【解析】 ①是循环变量初始化,表示循环就要开始,不可以省略不写,故选 D. 【答案】 D

图 1-1-19 2.(2013· 烟台高一检测)执行如图 1-1-19 的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出 的 p 是( ) A.120 B.720 C.1 440 D.5 040 【解析】 当 k=2,p=2, 当 k=3,p=2×3=6, 当 k=4,p=6×4=24, 当 k=5,p=24×5=120, 当 k=6,p=120×6=720,循环结束. 【答案】 B

图 1-1-20 3. (2013· 大连高一检测)阅读如图 1-1-20 框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为( A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 i=1 时,a=1×1+1=2, i=2 时,a=2×2+1=5, i=3 时,a=3×5+1=16, i=4 时,a=4×16+1=65>50, ∴输出 i=4. 【答案】 B

)

图 1-1-21 4.某程序框图如图 1-1-21 所示,若输出的 s=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7? 【解析】 由题意 k=1 时,s=1, 当 k=2 时,s=2×1+2=4, 当 k=3 时,s=2×4+3=11, 当 k=4 时,s=2×11+4=26, 当 k=5 时,s=2×26+5=57,此时输出结果一致,故 k>4 时循环终止. 【答案】 A 5.阅读如图 1-1-22 所示程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依 次是( )

图 1-1-22 A.2 500,2 500 B.2 550,2 550 C.2 500,2 550 D.2 550,2 500 【解析】 令 n 的初值为 100,一步步执行列出求 S 与 T 的算式.由程序框图可知, S=100+98+96+?+2=2 550, T=99+97+95+?+1=2 500. 【答案】 D 二、填空题 6.若执行如图 1-1-23 所示的程序框图,输入 x1=1,x2=2,x3=3, x =2,则输出 的数等于________.

图 1-1-23 【解析】 i=1,s=0+(x1- x ) =(1-2)2=1,
2

i=2,s=1+(x2- x )2=1+(2-2)2=1, i=3,s=1+(x3- x )2=1+(3-2)2=2, 1 1 2 s= ×s= ×2= . i 3 3 2 【答案】 3

1 1 1 1 7.如图 1-1-24 是计算 + + +?+ 的值的一个程序框图,其中判断框内填入的 2 4 6 20 条件是________.

图 1-1-24 1 【解析】 S=0+ ,n=4,i=2, 2 1 1 S=0+ + ,n=6,i=3, 2 4 1 1 1 S=0+ + +?+ ,i=11. 2 4 20 由于满足条件退出循环,故填“i>10?”或“i≥11?”. 【答案】 i>10?或 i≥11? 8.如图 1-1-25,该程序框图的算法功能是________.

图 1-1-25 【解析】 ∵初始值 N=1,I=2,且循环体为 N=N· I,I=I+1,循环中条件是 I≤5. ∴该算法的功能是求 1×2×3×4×5 的值. 【答案】 求 1×2×3×4×5 的值 三、解答题 1 1 1 9.画出计算 1+ + +?+ 的值的一个程序框图. 2 3 999 【解】 程序框图如图.

10. 2013 年某地森林面积为 1 000 km2, 且每年增长 5%.到哪一年该地森林面积超过 2 000 km ?(只画出程序框图) 【解】 程序框图如下:
2

11.设计一个算法:输出 1 000 以内能被 3 和 5 整除的所有正整数,画出程序框图. 【解】 本题是计数型循环结构,能被 3 和 5 整除的正整数都是 15 的倍数,而 1 000 =15×66+10,因此 1 000 以内一共有 66 个这样的正整数,引入变量 a 表示输出的数,引 入计数变量 n,n 可以取 1~66,反复输出 a,就能输出 1 000 以内的所有能被 3 和 5 整除的 正整数. 算法如下: 第一步,n=1. 第二步,若 n≤66,则执行第三步;否则,执行第六步. 第三步,a=15n. 第四步,输出 a. 第五步,n=n+1,返回第二步. 第六步,结束. 程序框图如图所示.

(教师用书独具)

设计一个求满足 10<x2<1 000 的所有正整数 x 的值的程序框图. 【思路探究】 可以从最小的正整数 1 开始进行判断,判断是否满足 10<x2<1 000.若满 足,则输出 x 的值;若不满足,则对 1 进行累加后再进行判断,依次下去,直到 x2≥1 000 为止,结束程序. 【自主解答】 程序框图如下图:

已知 a1=1,an+1=an+n(n∈N*),画出输入 n(n≥2),求 an 的程序框图. 【解】 程序框图如下图:


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